نمذجة رياضية في العراق: تمارين عملية

1. العلاقة الخطية — افترض أن السعر $p$ يرتبط بالكمية $q$ بعلاقة خطية: $p=m\cdot q+b$.
   $$p=m\cdot q+b$$
2. حساب الميل — باستخدام السعرين المعطيين، نكتب المعادلتين: $5000=m\cdot 1+b$ و$15500=m\cdot 3+b$. بطرح المعادلتين نحصل على $10500=2m$، لذا $m=5250$.
   $$m=\frac{15500-5000}{3-1}=5250$$
3. حساب السعر الثابت — نعوض $m=5250$ في المعادلة الأولى: $5000=5250\cdot 1+b$، لذا $b=-250$.
   $$b=5000-5250=-250$$
4. السعر لكل كيلوغرام — السعر لكل كيلوغرام هو الميل $m$ لأن $b$ يمثل السعر الثابت (الذي قد يكون صفراً في هذه الحالة). لذا السعر = 5250 دينار لكل كيلوغرام.
   $$p=5250\text{ دينار/كيلوغرام}$$

$$5250\text{ دينار لكل كيلوغرام}$$

← السعر هو 5250 دينار لكل كيلوغرام من المانجو.

1. الصيغة الأساسية — عدد السكان بعد $n$ سنة يُعطى بالعلاقة $P_n=P_0{(1+r)}^n$.
   $$P_n=P_0{(1+r)}^n$$
2. تعويض القيم — نعوض القيم المعطاة: $P_5=2000000\times {(1+0.02)}^5$.
   $$P_5=2\times {10}^6\times {(1.02)}^5$$
3. حساب الأس — نحسب ${(1.02)}^5$ باستخدام الآلة الحاسبة: ${(1.02)}^5\approx 1.10408$.
   $${(1.02)}^5\approx 1.10408$$
4. النتيجة النهائية — بضرب $2\times {10}^6$ في $1.10408$ نحصل على $2208160$ نسمة تقريباً.
   $$P_5\approx 2\times {10}^6\times 1.10408=2208160$$

$$2208160\text{ نسمة}$$

← عدد سكان البصرة المتوقع في 2025 هو 2,208,160 نسمة تقريباً.

1. المعادلة التفاضلية — نموذج الانتشار يُعطى بالمعادلة التفاضلية $\frac{dI}{dt}=\beta IN$، حيث $I$ عدد المصابين، $N$ عدد السكان، $\beta$ معدل الانتشار.
   $$\frac{dI}{dt}=\beta IN$$
2. حل المعادلة — حل المعادلة التفاضلية يعطي $I(t)=I_0{e}^{\beta Nt}$، حيث $I_0$ عدد المصابين في البداية.
   $$I(t)=I_0{e}^{\beta Nt}$$
3. تعويض القيم — نعوض القيم: $I(10)=500\times e^{0.0002\times 1500000\times 10}$.
   $$I(10)=500\times e^{0.0002\times 1.5\times {10}^6\times 10}$$
4. حساب الأس — نحسب الأس: $0.0002\times 1500000\times 10=300$. لذا $I(10)=500\times e^{300}$.
   $$e^{300}$$
5. النتيجة النهائية — عدد المصابين بعد 10 أيام ضخم جداً (حوالي $1.3\times {10}^{131}$) مما يدل على أن النموذج غير واقعي لفترة طويلة. لكن في الواقع، يجب أن نأخذ في الاعتبار نقصان عدد الأصحاء، لذا نستخدم نموذج SIR الحقيقي. لكن لهذا التمرين، نكتفي بالإجابة النظرية.
   $$I(10)=500\times e^{300}\approx 1.3\times {10}^{131}$$

$$500\times e^{300}\text{ شخص}$$

← عدد المصابين بعد 10 أيام حسب هذا النموذج هو ضخم جداً (حوالي 1.3×10^131 شخص) مما يدل على أن النموذج غير صالح لفترة طويلة.

1. حساب المتوسط — نجمع المبيعات: $120000+150000+180000+160000+190000=800000$. ثم نقسم على 5: $\mu =800000/5=160000$ دينار.
   $$\mu =\frac{120000+150000+180000+160000+190000}{5}=160000$$
2. حساب الفروق عن المتوسط — نحسب الفروق: ${(120000-160000)}^2=1600000000$, ${(150000-160000)}^2=10000000$, ${(180000-160000)}^2=40000000$, ${(160000-160000)}^2=0$, ${(190000-160000)}^2=90000000$.
   $${(x_i-\mu )}^2=[1600000000,10000000,40000000,0,90000000]$$
3. حساب مجموع الفروق — نجمع الفروق: $1600000000+10000000+40000000+0+90000000=1740000000$.
   $$\sum {(x_i-\mu )}^2=1740000000$$
4. حساب الانحراف المعياري — نقسم على 5 ثم نأخذ الجذر التربيعي: $\sigma =\sqrt{1740000000/5}=\sqrt{348000000}\approx 18655$ دينار.
   $$\sigma =\sqrt{\frac{1740000000}{5}}\approx 18655$$

$$\mu =160000\text{ دينار},\sigma \approx 18655\text{ دينار}$$

← المتوسط الحسابي للمبيعات هو 160000 دينار، والانحراف المعياري حوالي 18655 دينار.

1. مصفوفة المكاسب — مصفوفة أرباح فارس (بالدينار): - أحمد 8000: فارس 1000000 (إذا سعر 7000) أو 800000 (إذا سعر 9000) - أحمد 10000: فارس 1500000 (إذا سعر 7000) أو 500000 (إذا سعر 9000)
   $$R=\left[\begin{array}{cc}1000000& 800000\\ 1500000& 500000\end{array}\right]$$
2. تحليل استراتيجيات فارس — عند سعر أحمد 8000، أفضل خيار لفارس هو سعر 7000 (ربح 1000000 > 800000). عند سعر أحمد 10000، أفضل خيار لفارس هو سعر 7000 (ربح 1500000 > 500000).
   $$\text{عند }A=8000:F=7000\text{ (1000000)}\text{عند }A=10000:F=7000\text{ (1500000)}$$
3. استراتيجية أحمد المثلى — إذا اختار فارس دائماً سعر 7000، فإن أحمد: - إذا حدد سعر 8000، فإن فارس سيحدد 7000 (أفضل رد فعل). - إذا حدد سعر 10000، فإن فارس سيحدد 7000 (أفضل رد فعل). لكن أحمد يربح أكثر عند سعر 8000 (افتراضاً، لأن أرباح أحمد غير معطاة، لكننا نبحث عن استراتيجية مستقرة).
   $$A=8000\text{ هو الاستراتيجية المثلى لأن فارس سيختار دائماً }F=7000\text{ بغض النظر عن سعر أحمد.}$$
4. التوازن — التوازن يحدث عند (سعر أحمد 8000، سعر فارس 7000) لأن أي انحراف من فارس سيقلل ربحه، ولا يستطيع أحمد تحسين ربحه بمفرده.
   $$(\text{8000},\text{7000})\text{ هو توازن ناش}$$

$$(\text{8000 دينار},\text{7000 دينار})$$

← استراتيجية التوازن هي أن يحدد أحمد سعر المنتج بـ 8000 دينار وأن يحدد فارس سعره بـ 7000 دينار.

1. دالة الهدف — دالة الربح التي نريد تعظيمها هي $Z=15000x+12000y$.
   $$Z=15000x+12000y$$
2. قيود الموارد — القيود هي: $2x+3y\le 120$ (مورد), $x\ge 0$, $y\ge 0$.
   $$2x+3y\le 120,x\ge 0,y\ge 0$$
3. رسم القيود — عند $x=0$, $y=40$. عند $y=0$, $x=60$.这就是可行区域的顶点.
   $$\text{الرؤوس: }(\mathrm{0,40}),(\mathrm{60,0}),(\mathrm{30,20})$$
4. حساب الربح عند الرؤوس — عند $(\mathrm{0,40})$: $Z=15000\times 0+12000\times 40=480000$ دينار. عند $(\mathrm{60,0})$: $Z=15000\times 60+12000\times 0=900000$ دينار. عند $(\mathrm{30,20})$: $Z=15000\times 30+12000\times 20=450000+240000=690000$ دينار.
   $$Z(\mathrm{0,40})=480000Z(\mathrm{60,0})=900000Z(\mathrm{30,20})=690000$$
5. الاستنتاج — أعلى ربح يحدث عند إنتاج 60 لتر من زيت الزيتون فقط (900000 دينار).
   $$Z_{\max }=900000\text{ عند }(x,y)=(\mathrm{60,0})$$

$$x=60\text{ لتر زيت زيتون},y=0\text{ لتر زيت دوار الشمس}$$

← أفضل استراتيجية هي إنتاج 60 لتر من زيت الزيتون يومياً وعدم إنتاج زيت دوار الشمس، لتحقيق ربح يومي قدره 900000 دينار.