تمارين في حساب التفاضل والتكامل 1 لطلاب العراق

1. حساب القيم — نحسب سعر الكيلوغرامين الأول والأخير بالتعويض في دالة السعر
   $$p(2)=0.5{(2)}^2-2(2)+10=2-4+10=8\text{ دينار}p(4)=0.5{(4)}^2-2(4)+10=8-8+10=10\text{ دينار}$$
2. معدل التغير — نطبق قانون معدل التغير لحساب معدل تغير السعر بالنسبة للكمية
   $$\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{p(4)-p(2)}{4-2}=\frac{10-8}{2}=\frac{2}{2}=1\text{ دينار/كجم}$$

$$1\text{دينار/كجم}$$

← معدل تغير السعر هو 1 دينار لكل كيلوغرام

1. اشتقاق الدالة — نشتق كل حد من حدود الدالة P(x) باستخدام قاعدة القوة
   $$P^{\prime }(x)=-0.1(3)x^2+3(2)x+50=-0.3x^2+6x+50$$
2. التعويض بقيمة x — نعوض x=10 في المشتقة لحساب معدل تغير الربح عند هذه الكمية
   $$P^{\prime }(10)=-0.3{(10)}^2+6(10)+50=-30+60+50=80\text{ دينار/علبة}$$

$$80\text{دينار/علبة}$$

← معدل تغير الربح عند إنتاج 10 علب هو 80 دينار لكل علبة

1. إعداد التكامل — المسافة هي تكامل دالة السرعة على الفترة الزمنية [0, 3]
   $$d={\int }_0^{3}v(t)dt={\int }_0^3(3t^2-2t+5)dt$$
2. حساب التكامل غير المحدد — نجد التكامل غير المحدد لكل حد
   $$\int (3t^2-2t+5)dt=t^3-t^2+5t+C$$
3. تطبيق الحدود — نطبق النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بفرض الحدود 0 و 3
   $$d={[t^3-t^2+5t]}_0^3=(27-9+15)-(0-0+0)=33\text{ م}$$

$$33\text{م}$$

← المسافة الكلية التي تقطعها جزيئات المياه هي 33 متر

1. إعداد التكامل — كمية المياه الكلية هي تكامل دالة معدل التدفق على الفترة [0, 5]
   $$V={\int }_0^{5}f(t)dt={\int }_0^5(4t^3-6t^2+2t)dt$$
2. حساب التكامل غير المحدد — نجد التكامل غير المحدد لكل حد
   $$\int (4t^3-6t^2+2t)dt=t^4-2t^3+t^2+C$$
3. تطبيق الحدود — نطبق النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بفرض الحدود 0 و 5
   $$V={[t^4-2t^3+t^2]}_0^5=(625-250+25)-(0-0+0)=400\text{ لتر}$$

$$400\text{لتر}$$

← كمية المياه الكلية التي تضخها المضخة هي 400 لتر

1. دالة المحيط — نكتب المحيط بدلالة العرض w فقط
   $$P(w)=2(w+(w+2))=2(2w+2)=4w+4$$
2. دالة المساحة — نستخدم المساحة 12 = w(w+2) لإيجاد العلاقة بين w و L
   $$w(w+2)=12w^2+2w-12=0$$
3. حل المعادلة التربيعية — نحل المعادلة لإيجاد قيم w الممكنة
   $$w=\frac{-2\pm \sqrt{4+48}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{52}}{2}=-1\pm \sqrt{13}w=-1+\sqrt{13}\approx 2.61\text{ م}(\text{ل}\text{أ}\text{ن}\text{ا}\text{ل}\text{ع}\text{ر}\text{ض}\text{ل}\text{ا}\text{ي}\text{م}\text{ك}\text{ن}\text{أ}\text{ن}\text{ي}\text{ك}\text{و}\text{ن}\text{س}\text{ا}\text{ل}\text{ب}\text{ً}\text{ا})$$
4. الأبعاد النهائية — نحسب الطول من العلاقة L = w + 2
   $$L=2.61+2=4.61\text{ م}P=2(2.61+4.61)=14.44\text{ م}$$

$$w\approx 2.61\text{م},L\approx 4.61\text{م}$$

← العرض الأمثل 2.61 متر والطول الأمثل 4.61 متر

1. إعداد التكامل — المسافة هي تكامل دالة السرعة على الفترة [0, 3]
   $$d={\int }_0^{3}v(t)dt={\int }_0^3(40+0.5t^2)dt$$
2. حساب التكامل غير المحدد — نجد التكامل غير المحدد لكل حد
   $$\int (40+0.5t^2)dt=40t+\frac{0.5t^3}{3}+C=40t+\frac{t^3}{6}+C$$
3. تطبيق الحدود — نطبق النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بفرض الحدود 0 و 3
   $$d={[40t+\frac{t^3}{6}]}_0^3=(120+\frac{27}{6})-(0+0)=120+4.5=124.5\text{ كم}$$

$$124.5\text{كم}$$

← المسافة الكلية التي يقطعها القطار هي 124.5 كيلومتر

1. اشتقاق الدالة — نشتق دالة سعر الدولار باستخدام قاعدة السلسلة
   $$E^{\prime }(t)=20\cos \left(\frac{\pi t}{12}\right)\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{5\pi }{3}\cos \left(\frac{\pi t}{12}\right)$$
2. التعويض بقيمة t — نعوض t=15 في المشتقة لحساب معدل التغير عند الساعة 3 مساءً
   $$E^{\prime }(15)=\frac{5\pi }{3}\cos \left(\frac{15\pi }{12}\right)=\frac{5\pi }{3}\cos \left(\frac{5\pi }{4}\right)=\frac{5\pi }{3}(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{5\pi \sqrt{2}}{6}\approx -3.70\text{ دينار/(دولار·ساعة)}$$

$$-3.70\text{دينار/(دولار·ساعة)}$$

← معدل تغير سعر الدولار عند الساعة 3 مساءً هو -3.70 دينار لكل دولار لكل ساعة

1. إعداد التكامل — متوسط درجة الحرارة هو تكامل دالة الحرارة مقسومًا على 24 ساعة
   $$T_{avg}=\frac{1}{24}{\int }_0^{24}T(t)dt=\frac{1}{24}{\int }_0^{24}(25+10\cos \left(\frac{\pi t}{12}\right))dt$$
2. حساب التكامل — نقسم التكامل إلى جزئين: ثابت ومثلث
   $$\frac{1}{24}{[25t+\frac{120}{\pi }\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)]}_0^{24}=\frac{1}{24}[(600+0)-(0+0)]=25\text{°C}$$
3. النتيجة النهائية — الجزء المثلثي يساوي صفرًا لأن sin(2π) - sin(0) = 0

$$25\text{°C}$$

← متوسط درجة الحرارة خلال 24 ساعة هو 25 درجة مئوية

1. قانون الحجم — نستخدم قانون حجم المخروط الناقص مباشرة
   $$V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$$
2. تعويض القيم — نعوض القيم المعطاة في القانون
   $$V=\frac{1}{3}\pi (8)({10}^2+10\times 5+5^2)=\frac{8\pi }{3}(100+50+25)=\frac{8\pi }{3}(175)=\frac{1400\pi }{3}\approx 1466.08{\text{ م}}^3$$

$$\frac{1400\pi }{3}{\text{م}}^3(\approx 1466.08{\text{م}}^3)$$

← حجم القناة هو 1466.08 متر مكعب

1. إعداد التكامل — الشحنة الكهربائية الكلية هي تكامل دالة التيار على الفترة [0, 3]
   $$Q={\int }_0^{3}I(t)dt={\int }_0^{3}5e^{-0.2t}\sin (2\pi t)dt$$
2. حساب التكامل بالتجزئة — نستخدم التكامل بالتجزئة مرتين لحل هذا التكامل المعقد
   $$Q=5{\left[\frac{e^{-0.2t}}{0.04+4{\pi }^2}(-0.2\sin (2\pi t)-2\pi \cos (2\pi t))\right]}_0^3=5[\frac{e^{-0.6}}{0.04+4{\pi }^2}(-0.2\sin (6\pi )-2\pi \cos (6\pi ))-\frac{1}{0.04+4{\pi }^2}(-0.2\sin (0)-2\pi \cos (0))]=5[\frac{e^{-0.6}}{0.04+4{\pi }^2}(-2\pi )-\frac{1}{0.04+4{\pi }^2}(-2\pi )]=\frac{10\pi }{0.04+4{\pi }^2}(1-e^{-0.6})\approx 0.78\text{ كولوم}$$

$$0.78\text{كولوم}$$

← الشحنة الكهربائية الكلية هي 0.78 كولوم

1. العلاقة بين الحجم ونصف القطر — نبدأ بعلاقة حجم الكرة بنصف قطرها
   $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
2. الاشتقاق بالنسبة للزمن — نشتق الطرفين بالنسبة للزمن t للحصول على العلاقة بين معدلات التغير
   $$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$
3. حل المعادلة لـ dr/dt — نعزل dr/dt ونعوض القيم المعروفة
   $$\frac{dr}{dt}=\frac{\frac{dV}{dt}}{4\pi r^2}=\frac{100}{4\pi {(5)}^2}=\frac{100}{100\pi }=\frac{1}{\pi }\approx 0.32\text{ سم/ثانية}$$

$$\frac{1}{\pi }\text{سم/ثانية}(\approx 0.32\text{سم/ثانية})$$

← معدل تغير نصف قطر البالون هو 0.32 سم لكل ثانية

1. الحد العام — نكتب الحد العام للمتسلسلة الحسابية
   $$a_n=10+5(n-1)=5n+5$$
2. اختبار الحد العام — نحسب نهاية الحد عندما n→∞
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(5n+5)=\infty$$
3. النتيجة — بما أن نهاية الحد لا تساوي صفرًا، فإن المتسلسلة تتباعد حسب اختبار الحد العام

$$\text{المتسلسلة تتباعد}$$

← المتسلسلة تتباعد ولا يوجد لها مجموع نهائي