تمارين في الرياضيات لطلاب العراق - من الجبر إلى التفاضل

1. جمع الأسعار — لحساب المبلغ الإجمالي، نجمع أسعار الكتب الثلاثة معاً. نبدأ بجمع السعرين الأولين: 12500 + 18750 = 31250 ديناراً عراقياً.
   $$12500+18750=31250$$
2. إضافة السعر الثالث — الآن نضيف سعر الكتاب الثالث إلى المجموع السابق: 31250 + 9375 = 40625 ديناراً عراقياً.
   $$31250+9375=40625$$
3. النتيجة النهائية — إذاً، المبلغ الإجمالي الذي دفعه أحمد هو 40625 ديناراً عراقياً.
   $$T=40625\text{ IQD}$$

$$40625\text{ IQD}$$

← 40625 ديناراً عراقياً

1. تحويل معدل الفائدة — نحول معدل الفائدة من نسبة مئوية إلى رقم عشري: 4% = 0.04.
   $$r=0.04$$
2. تطبيق قانون الفائدة البسيطة — نستخدم القانون: I = C × r × t. نعوض القيم: I = 750000 × 0.04 × 3.
   $$I=750000\times 0.04\times 3$$
3. الحساب النهائي — نقوم بالحساب: 750000 × 0.04 = 30000، ثم 30000 × 3 = 90000 ديناراً عراقياً.
   $$I=90000\text{ IQD}$$

$$90000\text{ IQD}$$

← 90000 ديناراً عراقياً

1. دالة الربح — نكتب دالة الربح: P(x) = R(x) - C(x) = (-2x² + 400x) - (100x + 5000) = -2x² + 300x - 5000.
   $$P(x)=-2x^2+300x-5000$$
2. مشتقة دالة الربح — نحسب مشتقة دالة الربح: P'(x) = -4x + 300.
   $$P^{\prime }(x)=-4x+300$$
3. النقطة الحرجة — نضع المشتقة مساوية للصفر لإيجاد النقطة الحرجة: -4x + 300 = 0 → x = 75 كتاباً يومياً.
   $$-4x+300=0\Rightarrow x=75$$
4. التحقق من القيمة العظمى — نحسب المشتقة الثانية: P''(x) = -4 < 0، مما يدل على أن هذه نقطة قيمة عظمى.
   $$P^{\prime \prime }(x)=-4<0$$

$$75\text{ كتاب/يوم}$$

← 75 كتاباً يومياً

1. حساب معدل الفائدة الشهري — معدل الفائدة الشهري = 6% ÷ 12 = 0.5% = 0.005.
   $$i=0.005$$
2. عدد الدفعات — عدد الدفعات = 5 سنوات × 12 شهر = 60 دفعة.
   $$N=60$$
3. قانون القيمة المستقبلية — القيمة المستقبلية = الدفعة × [(1 + i)^N - 1] / i
   $$F=PMT\times \frac{{(1+i)}^N-1}{i}$$
4. حل المعادلة — نعوض القيم: 1500000 = PMT × [(1.005)^60 - 1] / 0.005. نحسب: (1.005)^60 ≈ 1.34885. ثم: 1500000 = PMT × (1.34885 - 1) / 0.005 = PMT × 69.77. لذا: PMT = 1500000 / 69.77 ≈ 21500 ديناراً عراقياً شهرياً.
   $$PMT=\frac{1500000\times 0.005}{{(1.005)}^{60}-1}\approx 21500\text{ IQD}$$

$$21500\text{ IQD/شهر}$$

← 21500 ديناراً عراقياً شهرياً

1. تعريف المتغيرات — لنرمز للعرض بـ w. إذاً الطول = w + 50.
   $$l=w+50$$
2. قانون المحيط — المحيط = 2 × (الطول + العرض) → 800 = 2 × ((w + 50) + w) = 2 × (2w + 50).
   $$800=2(2w+50)$$
3. حل المعادلة — 800 = 4w + 100 → 4w = 700 → w = 175 متراً. الطول = 175 + 50 = 225 متراً.
   $$w=175\text{ m},l=225\text{ m}$$
4. حساب المساحة — المساحة = الطول × العرض = 225 × 175 = 39375 متراً مربعاً. التحويل إلى هكتار: 39375 ÷ 10000 = 3.9375 هكتاراً.
   $$A=225\times 175=39375{\text{ m}}^2=3.9375\text{ hectare}$$

$$3.9375\text{ hectare}$$

← 3.9375 هكتاراً

1. نظام المعادلات — لدينا النظام: { x + y = 1000, 850x + 1100y = 950000 }
   $$\{\begin{array}{c}x+y=1000\\ 850x+1100y=950000\end{array}$$
2. حل المعادلة الأولى — من المعادلة الأولى: y = 1000 - x.
   $$y=1000-x$$
3. تعويض في المعادلة الثانية — نعوض y في المعادلة الثانية: 850x + 1100(1000 - x) = 950000 → 850x + 1100000 - 1100x = 950000 → -250x = -150000 → x = 600 لتراً.
   $$850x+1100(1000-x)=950000\Rightarrow x=600\text{ L}$$
4. إيجاد y — y = 1000 - 600 = 400 لتراً.
   $$y=400\text{ L}$$

$$x=600\text{ L},y=400\text{ L}$$

← 600 لتر من النوع الأول، 400 لتر من النوع الثاني

1. تعريف المتغيرات — الطول = l، العرض = w. المحيط: 2(l + w) = 400 → l + w = 200 → w = 200 - l.
   $$w=200-l$$
2. دالة المساحة — المساحة A = l × w = l(200 - l) = 200l - l².
   $$A(l)=200l-l^2$$
3. مشتقة دالة المساحة — A'(l) = 200 - 2l. نضع المشتقة مساوية للصفر: 200 - 2l = 0 → l = 100 متراً.
   $$A^{\prime }(l)=200-2l=0\Rightarrow l=100\text{ m}$$
4. التحقق من القيمة العظمى — المشتقة الثانية A''(l) = -2 < 0، لذا هذه نقطة قيمة عظمى.
   $$A^{\prime \prime }(l)=-2<0$$
5. أبعاد الحقل — الطول = 100 متراً، العرض = 200 - 100 = 100 متراً. الحقل مربع الشكل.
   $$l=100\text{ m},w=100\text{ m}$$

$$100\text{ m}\times 100\text{ m}$$

← 100 متر × 100 متر (حقل مربع)

1. معاملات التوزيع الثنائي — نستخدم القانون: P(X=k) = C(N,k) × $p^k$ × (1-p)^(N-k). حيث C(N,k) هو معامل ثنائي.
   $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{N}{k}\right)p^k{(1-p)}^{N-k}$$
2. حساب الاحتمالات الفردية — P(3) = C(5,3) × (0.6)^3 × (0.4)^2 = 10 × 0.216 × 0.16 = 0.3456
   $$P(3)=10\times 0.216\times 0.16=0.3456$$
3. P(4) — P(4) = C(5,4) × (0.6)^4 × (0.4)^1 = 5 × 0.1296 × 0.4 = 0.2592
   $$P(4)=5\times 0.1296\times 0.4=0.2592$$
4. P(5) — P(5) = C(5,5) × (0.6)^5 × (0.4)^0 = 1 × 0.07776 × 1 = 0.07776
   $$P(5)=1\times 0.07776=0.07776$$
5. الاحتمال الإجمالي — P(≥3) = P(3) + P(4) + P(5) = 0.3456 + 0.2592 + 0.07776 = 0.68256 ≈ 0.683
   $$P(\ge 3)=0.3456+0.2592+0.07776=0.68256$$

$$0.683$$

← 0.683 أو 68.3%

1. فهم المشكلة — نبحث عن أصغر عدد من السنوات Y بحيث: 365Y + عدد السنوات الكبيسة ≡ 0 mod 7.
   $$365Y+\text{عدد السنوات الكبيسة}\equiv 0(\mathrm{mod}7)$$
2. حساب 365 mod 7 — 365 ÷ 7 = 52 reste 1 → 365 ≡ 1 mod 7.
   $$365\equiv 1(\mathrm{mod}7)$$
3. حساب 366 mod 7 — 366 ≡ 2 mod 7 (لأن 365 ≡ 1 → 366 ≡ 2).
   $$366\equiv 2(\mathrm{mod}7)$$
4. حل Congruence — نبحث عن Y بحيث: Y + 2L ≡ 0 mod 7، حيث L هو عدد السنوات الكبيسة في Y سنة. أصغر حل هو Y = 6 سنوات (مع 1 أو 2 سنة كبيسة).
   $$Y=6$$
5. التحقق — في 6 سنوات، عدد الأيام = 6×365 + عدد السنوات الكبيسة. إذا كانت هناك سنة كبيسة واحدة: 6×365 + 366 = 2561 يوماً. 2561 ÷ 7 = 365 reste 6 → لا يصلح. إذا كانت هناك سنتين كبيستين: 6×365 + 2×366 = 2562 يوماً. 2562 ÷ 7 = 366 → يصلح! 2562 ≡ 0 mod 7.
   $$6\times 365+2\times 366=2562\equiv 0(\mathrm{mod}7)$$

$$6\text{ سنوات}$$

← 6 سنوات (في بعض الحالات)

1. قانون النمو الأسي — P(t) = P0 × e^(rt). نعوض القيم من 2020 إلى 2022: 1.62 = 1.5 × e^(2r).
   $$1.62=1.5e^{2r}$$
2. حل r — نقسم على 1.5: 1.08 = e^(2r). نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: ln(1.08) = 2r → r = ln(1.08)/2 ≈ 0.0385.
   $$r=\frac{\ln (1.08)}{2}\approx 0.0385$$
3. حساب السكان في 2030 — P(10) = 1.5 × e^(0.0385×10) = 1.5 × $e^0$.385 ≈ 1.5 × 1.4697 ≈ 2.2046 مليون نسمة.
   $$P(10)=1.5e^{0.385}\approx 2.2046\text{ مليون نسمة}$$

$$2.2046\text{ مليون نسمة}$$

← 2.2046 مليون نسمة

1. حساب زمن الطريق السريع — زمن t1 = 550 ÷ 80 = 6.875 ساعة = 6 ساعات و52.5 دقيقة.
   $$t_1=\frac{550}{80}=6.875\text{ ساعة}$$
2. حساب زمن الطريق القديم — زمن t2 = 620 ÷ 70 ≈ 8.857 ساعة = 8 ساعات و51.4 دقيقة.
   $$t_2=\frac{620}{70}\approx 8.857\text{ ساعة}$$
3. حساب الفرق — الفرق Δt = t2 - t1 = 8.857 - 6.875 = 1.982 ساعة ≈ ساعتين.
   $$\mathrm{\Delta }t=8.857-6.875=1.982\text{ ساعة}$$

$$1.982\text{ ساعة}$$

← 1.982 ساعة (حوالي ساعتين)