تمارين في المتتاليات الهندسية: تطبيقات عراقية

1. صيغة المتتالية — نستخدم الصيغة العامة للمتتالية الهندسية لحساب الحد الخامس عشر: $u_n=u_0\times r^n$ حيث $u_0$ هو السعر الأولي و$r$ هو النسبة و$n$ هو رقم الحد.
   $$u_n=u_0\times r^n$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم المعروفة في الصيغة: السعر الأولي 1500 دينار، النسبة 1.04، وعدد السنوات 15.
   $$u_{15}=1500\times {(1.04)}^{15}$$
3. الحساب النهائي — نحسب القيمة العددية باستخدام الآلة الحاسبة: ${(1.04)}^{15}\approx 1.8009$، ثم نضرب في السعر الأولي.
   $$u_{15}=1500\times 1.8009\approx 2701.35$$

$$2701.35\text{دينار}$$

← السعر بعد 15 عاماً هو 2701.35 دينار عراقي

1. صيغة المجموع — نستخدم صيغة مجموع المتتالية الهندسية: $S_n=a\frac{r^n-1}{r-1}$ حيث $a$ هو الحد الأول و$r$ هو النسبة.
   $$S_n=a\frac{r^n-1}{r-1}$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم: 500000 دينار، نسبة 1.03، وعدد السنوات 10.
   $$S_{10}=500000\times \frac{{(1.03)}^{10}-1}{1.03-1}$$
3. الحساب النهائي — نحسب ${(1.03)}^{10}\approx 1.3439$، ثم نكمل الحسابات.
   $$S_{10}=500000\times \frac{1.3439-1}{0.03}=500000\times 11.4633\approx 5731650$$

$$5731650\text{دينار}$$

← المبلغ الإجمالي للصيانة خلال 10 سنوات هو 5,731,650 دينار عراقي

1. صيغة النمو الأسي — نستخدم الصيغة $P_t=P_0\times {(1+r)}^t$ حيث $P_t$ هو عدد السكان بعد $t$ سنوات و$r$ هو معدل النمو السنوي.
   $$P_t=P_0\times {(1+r)}^t$$
2. حساب النسبة r — نقوم بتعويض القيم المعروفة: $1.8=1.5\times {(1+r)}^5$. نقسم الطرفين على 1.5 ثم نأخذ الجذر الخامس.
   $$1+r={\left(\frac{1.8}{1.5}\right)}^{1/5}={1.2}^{0.2}\approx 1.0371$$
3. النسبة المئوية — نطرح 1 من النتيجة السابقة ونضرب في 100 للحصول على النسبة المئوية: $r\approx 0.0371$ أو 3.71%.
   $$r\approx 3.71\%$$
4. التنبؤ لسكان 2030 — نستخدم نفس الصيغة مع $t=10$ سنوات من 2020 إلى 2030.
   $$P_{10}=1.5\times {(1.0371)}^{10}\approx 1.5\times 1.4356\approx 2.1534$$

← معدل النمو السنوي 3.71%، وسكان أربيل في 2030 حوالي 2.15 مليون نسمة

1. القيمة المستقبلية — نحسب القيمة المستقبلية للذهب بعد 7 سنوات باستخدام المتتالية الهندسية.
   $$p_7=p_0\times r^7$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم: 150000 دينار، نسبة 1.08، و7 سنوات.
   $$p_7=150000\times {(1.08)}^7$$
3. الحساب النهائي — نحسب ${(1.08)}^7\approx 1.7138$، ثم نضرب في السعر الأولي.
   $$p_7=150000\times 1.7138\approx 257070$$

$$257070\text{دينار/غرام}$$

← يجب أن يكون سعر الذهب 257070 دينار/غرام على الأقل بعد 7 سنوات حتى لا يخسر أحمد

1. صيغة المجموع — نستخدم صيغة مجموع المتتالية الهندسية لحساب المبلغ الإجمالي.
   $$S_n=a\frac{r^n-1}{r-1}$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم: 20 مليون دينار، نسبة 1.025، وعدد السنوات 20.
   $$S_{20}=20000000\times \frac{{(1.025)}^{20}-1}{1.025-1}$$
3. الحساب النهائي — نحسب ${(1.025)}^{20}\approx 1.6386$، ثم نكمل الحسابات.
   $$S_{20}=20000000\times \frac{1.6386-1}{0.025}=20000000\times 25.544\approx 510880000$$

$$510880000\text{دينار}$$

← المبلغ الإجمالي اللازم لترميم الزقورة على مدى 20 عاماً هو 510,880,000 دينار عراقي

1. قيمة الاستثمار A — نحسب قيمة الاستثمار A بعد 10 سنوات باستخدام الفائدة المركبة.
   $$V_A=C\times {(1+r_A)}^n$$
2. تعويض قيم الاستثمار A — نقوم بتعويض القيم: 1000000 دينار، نسبة 1.07، و10 سنوات.
   $$V_A=1000000\times {(1.07)}^{10}$$
3. حساب الاستثمار A — نحسب ${(1.07)}^{10}\approx 1.9672$، ثم نضرب في رأس المال.
   $$V_A=1000000\times 1.9672\approx 1967200$$
4. قيمة الاستثمار B — نحسب قيمة الاستثمار B بعد 10 سنوات. الفائدة ثابتة 50000 دينار سنوياً.
   $$V_B=C+n\times r_B$$
5. تعويض قيم الاستثمار B — نقوم بتعويض القيم: 1000000 دينار، 10 سنوات، و50000 دينار سنوياً.
   $$V_B=1000000+10\times 50000=1000000+500000=1500000$$

← قيمة الاستثمار A بعد 10 سنوات: 1,967,200 دينار. قيمة الاستثمار B بعد 10 سنوات: 1,500,000 دينار. الاستثمار A أفضل.

1. عدد الزائرين في 2032 — نحسب عدد الزائرين بعد 10 سنوات باستخدام المتتالية الهندسية.
   $$Z_{10}=Z_0\times r^{10}$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم: 250000 زائر، نسبة 1.12، و10 سنوات.
   $$Z_{10}=250000\times {(1.12)}^{10}$$
3. الحساب — نحسب ${(1.12)}^{10}\approx 3.1058$، ثم نضرب في العدد الأولي.
   $$Z_{10}=250000\times 3.1058\approx 776450$$
4. زمن المضاعفة — نستخدم الصيغة $2={(1.12)}^{t_2}$ لحساب الزمن اللازم لمضاعفة العدد.
   $$2={(1.12)}^{t_2}$$
5. أخذ اللوغاريتم — نأخذ لوغاريتم الطرفين: $\log (2)=t_2\times \log (1.12)$
   $$\log (2)=t_2\times \log (1.12)$$
6. حساب t₂ — نحسب $t_2=\frac{\log (2)}{\log (1.12)}\approx \frac{0.3010}{0.0492}\approx 6.12$ سنوات.
   $$t_2\approx 6.12\text{سنوات}$$

← عدد الزائرين المتوقع في 2032: 776450 زائر. الزمن اللازم لمضاعفة العدد: 6.12 سنوات

1. التكلفة بعد 8 سنوات — نحسب التكلفة بعد 8 سنوات باستخدام معدل النمو الحالي 6%.
   $$C_8=C_0\times {(1.06)}^8$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم: 200000 دينار، نسبة 1.06، و8 سنوات.
   $$C_8=200000\times {(1.06)}^8$$
3. الحساب — نحسب ${(1.06)}^8\approx 1.5938$، ثم نضرب في التكلفة الأولية.
   $$C_8=200000\times 1.5938\approx 318760$$
4. أقصى معدل نمو مسموح به — نستخدم الصيغة $C_{target}=C_0\times {(1+r_{max})}^n$ لحساب أقصى معدل نمو.
   $$300000=200000\times {(1+r_{max})}^8$$
5. حل المعادلة — نقوم بتبسيط المعادلة: $1.5={(1+r_{max})}^8$. نأخذ الجذر الثامن للطرفين.
   $$1+r_{max}={1.5}^{1/8}\approx 1.0516$$
6. النتيجة النهائية — نطرح 1 للحصول على النسبة المئوية: $r_{max}\approx 0.0516$ أو 5.16%.
   $$r_{max}\approx 5.16\%$$

← التكلفة بعد 8 سنوات: 318760 دينار. أقصى معدل نمو مسموح به: 5.16% سنوياً

1. صيغة النمو — نستخدم الصيغة $I_t=I_0\times r^t$ لحساب الزمن اللازم للوصول إلى المليون دينار.
   $$I_t=I_0\times r^t$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم: 1000 دينار، نسبة 1.25، و1000000 دينار.
   $$1000000=1000\times {(1.25)}^t$$
3. تبسيط المعادلة — نقوم بتبسيط المعادلة إلى $1000={(1.25)}^t$.
   $$1000={(1.25)}^t$$
4. أخذ اللوغاريتم — نأخذ لوغاريتم الطرفين لحل المعادلة.
   $$\log (1000)=t\times \log (1.25)$$
5. حساب t — نحسب $t=\frac{\log (1000)}{\log (1.25)}\approx \frac{3}{0.09691}\approx 30.96$ سنوات.
   $$t\approx 30.96\text{سنوات}$$
6. السنة النهائية — نضيف 30.96 سنة إلى عام 2020 للحصول على السنة النهائية.
   $$2020+30.96\approx 2051$$

← سيصل الاستثمار إلى 1000000 دينار بعد 31 عاماً تقريباً، أي في عام 2051