تمارين في الرياضيات لطلاب الجامعات في العراق

1. المعطيات — لدينا كتلة الدجاج المشتراة وهي 3 كيلوغرامات، والمبلغ المدفوع هو 12000 دينار عراقي.
2. صياغة المعادلة — السعر = المبلغ المدفوع ÷ الكتلة
   $$p=\frac{T}{m}$$
3. الحساب — نقوم بتعويض القيم في المعادلة
   $$p=\frac{12000}{3}=4000$$
4. النتيجة — إذن سعر الكيلوغرام الواحد من الدجاج هو 4000 دينار عراقي.

$$4000\text{IQD/kg}$$

← سعر الكيلوغرام الواحد من الدجاج هو 4000 دينار عراقي

1. حساب المساحة بالأمتار المربعة — نحسب مساحة الحقل باستخدام قانون مساحة المستطيل
   $$A_{m^2}=L\times l$$
2. التحويل إلى هكتارات — نحول المساحة من متر مربع إلى هكتار
   $$A_{ha}=\frac{A_{m^2}}{10000}$$

$$0.96\text{ha}$$

← مساحة الحقل هي 0.96 هكتار

1. المعطيات — لدينا كتلة التفاح 5 كغم، وكتلة البرتقال 3 كغم، وسعر البرتقال 4000 دينار/كغم.
2. المساواة في السعر — سعر 5 كغم تفاح = سعر 3 كغم برتقال
   $$m_A\times p_A=m_O\times p_O$$
3. حل المعادلة — نعوض القيم المعروفة ونحل من أجل سعر التفاح
   $$5\times p_A=3\times 4000$$
4. الحساب النهائي — نقوم بإجراء القسمة للحصول على سعر الكيلوغرام الواحد من التفاح
   $$p_A=\frac{12000}{5}=2400$$

$$2400\text{IQD/kg}$$

← سعر الكيلوغرام الواحد من التفاح هو 2400 دينار عراقي

1. حساب مساحة القاعدة — نحسب مساحة القاعدة الدائرية باستخدام قانون مساحة الدائرة
   $$A=\pi r^2$$
2. حساب الحجم — نضرب مساحة القاعدة في الارتفاع للحصول على الحجم
   $$V=A\times h=\pi r^{2}h$$

$$21.2058{\text{m}}^3$$

← حجم خزان المياه هو 21.21 متر مكعب تقريباً

1. التناسب بين المثلثات — المثلثات المتشابهة (مثلث العمود وظلّه، ومثلث المئذنة وظلّها) لها نفس النسب
   $$\frac{h_m}{s_m}=\frac{h_c}{s_c}$$
2. حل المعادلة — نعوض القيم المعروفة ونحل من أجل ارتفاع المئذنة
   $$h_m=\frac{h_c\times s_m}{s_c}$$
3. الحساب — نقوم بإجراء الحسابات للحصول على الارتفاع النهائي
   $$h_m=\frac{2\times 22.5}{1.5}=30$$

$$30\text{m}$$

← ارتفاع مئذنة جامع الإمام الأعظم هو 30 متر

1. المساواة بين الطول والعرض — للحصول على الشكل المربع الذي يقلل المحيط (وبالتالي التكلفة) للمساحة المعطاة
   $$L=l$$
2. حساب الأبعاد — بما أن L = l، فإن المساحة = L² = 2000
   $$L=\sqrt{A}=\sqrt{2000}$$
3. حساب المحيط — المحيط = 4 × L (للمربع)
   $$P=4L$$
4. حساب التكلفة — التكلفة = المحيط × تكلفة المتر الطولي
   $$C=P\times c=4L\times 1500$$

$$L=l=44.72\text{m},C=268320\text{IQD}$$

← الأبعاد المثلى هي 44.72 متر × 44.72 متر، والتكلفة الدنيا 268320 دينار عراقي

1. تحويل معدل النمو — نحول 5% إلى 0.05
   $$r=0.05$$
2. صياغة المعادلة — نستخدم قانون النمو الأسي
   $$P_n=P_0\times {(1+r)}^n$$
3. الحساب — نعوض القيم ونحسب الإنتاج بعد 3 سنوات
   $$P_3=200000\times {(1.05)}^3$$

$$231525\text{barrel/day}$$

← الإنتاج المتوقع بعد 3 سنوات هو 231525 برميل يومياً

1. حساب المتوسط — نقوم بجمع جميع الدرجات ثم نقسم على عدد الطلاب (10)
   $$mean=\frac{{\sum }_{i=1}^{10}grad{e}_i}{10}$$
2. ترتيب الدرجات — نرتب الدرجات من الأصغر إلى الأكبر
   [45, 52, 56, 63, 67, 72, 77, 78, 85, 88]
3. حساب الوسيط — بما أن عدد الدرجات 10 (عدد زوجي)، الوسيط هو متوسط القيمتين 5 و6
   $$median=\frac{67+72}{2}$$

$$mean=68.3,median=69.5$$

← المتوسط الحسابي 68.3، والوسيط 69.5

1. حساب مساحات المربعات الصغيرة — مساحة المربع الأول = أ² = 9، مساحة المربع الثاني = ب² = 16
   $$A_1=a^2=9,A_2=b^2=16$$
2. حساب مساحة المربع الكبير — مساحة المربع الكبير = (أ + ب)² = 7² = 49
   $$A_{big}={(a+b)}^2=7^2=49$$
3. حساب المساحة باستخدام المثلثات — المربع الكبير يتكون من المربعين الصغيرين plus 4 مثلثات قائمة متطابقة
   $$A_{big}=A_1+A_2+4\times (\frac{1}{2}ab)$$
4. إثبات المبرهنة — بمساواة التعبيرين، نثبت أن أ² + ب² = ج²
   $${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2ab$$

$$3^2+4^2=5^2$$

← تم إثبات أن 3² + 4² = 5²، أي 9 + 16 = 25

1. صياغة معادلة المحيط — المحيط المستخدم = 2ص + س = 100
   $$2y+x=100$$
2. التعبير عن المساحة بدلالة متغير واحد — المساحة = س × ص = س × (50 - 0.5س)
   $$A=x\times y=x\times (50-0.5x)=50x-0.5x^2$$
3. إيجاد المشتقة ومساواة بالصفر — المشتقة الأولى للمساحة = 50 - س
   $$\frac{dA}{dx}=50-x$$
4. حساب الأبعاد المثلى — نساوي المشتقة بالصفر: 50 - س = 0 → س = 50
   $$x=50\text{m},y=25\text{m}$$
5. حساب أقصى مساحة — نعوض في معادلة المساحة
   $$A_{max}=50\times 25=1250{\text{m}}^2$$

$$x=50\text{m},y=25\text{m},A_{max}=1250{\text{m}}^2$$

← أقصى مساحة هي 1250 متر مربع، والأبعاد 50 متر × 25 متر

1. صياغة المعادلة التفاضلية — معدل التغير في عدد السكان يتناسب مع عدد السكان الحالي
   $$\frac{dN}{dt}=rN$$
2. حل المعادلة — حل المعادلة التفاضلية يعطي دالة النمو الأسي
   $$N(t)=N_0{e}^{rt}$$
3. تحويل معدل النمو — نحول 2% إلى 0.02
   $$r=0.02$$
4. حساب السكان بعد 5 سنوات — نعوض في المعادلة
   $$N(5)=1.5\times e^{0.02\times 5}$$

$$N(5)=1.657\text{million}$$

← عدد السكان بعد 5 سنوات سيكون 1.657 مليون نسمة تقريباً