تمارين في الرياضيات للطلاب العراقيين

1. المعطيات — لدينا كميات التمر والسكر وسعر السكر لكل كيلوغرام والسعر الكلي. نريد إيجاد سعر التمر لكل كيلوغرام.
2. كتابة المعادلة — السعر الكلي = (كمية التمر × سعر التمر لكل كغ) + (كمية السكر × سعر السكر لكل كغ)
   $$15000=3\times p+2\times 3000$$
3. حل المعادلة — نحسب سعر السكر الإجمالي: 2 × 3000 = 6000 دينار. ثم نطرح من السعر الكلي: 15000 - 6000 = 9000 دينار. هذا هو سعر التمر الإجمالي. نقسم على الكمية للحصول على السعر لكل كيلوغرام.
   $$p=\frac{15000-6000}{3}=\frac{9000}{3}$$
4. النتيجة — سعر الكيلوغرام الواحد من التمر هو 3000 دينار عراقي.
   $$p=3000\text{ دينار عراقي/كغ}$$

$$3000\text{ دينار عراقي/كغ}$$

← 3000 دينار عراقي لكل كيلوغرام

1. قانون المساحة — مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
   $$A=\frac{1}{2}\times 50\times 30$$
2. الحساب — نضرب القاعدة في الارتفاع: 50 × 30 = 1500. ثم نضرب في ½: 1500 × 0.5 = 750 متر مربع.
   $$A=750{\text{ م}}^2$$
3. التحويل إلى هكتار — نقسم المساحة بالمتر المربع على 10000 للحصول على المساحة بالهكتار.
   $$\text{المساحة بالهكتار}=\frac{750}{10000}$$
4. النتيجة — مساحة القطعة هي 0.075 هكتار.
   $$A=0.075\text{ هكتار}$$

$$0.075\text{ هكتار}$$

← 0.075 هكتار

1. المعادلة — عند الاصطدام بالأرض، h(t) = 0. لذا نحل المعادلة: -5t² + 20t + 1.5 = 0
   $$-5t^2+20t+1.5=0$$
2. ضرب المعادلة في -2 — لتسهيل الحساب، نضرب المعادلة في -2: 10t² - 40t - 3 = 0
   $$10t^2-40t-3=0$$
3. القانون العام — نستخدم القانون العام: t = [40 ± √(1600 + 120)] / 20 = [40 ± √1720] / 20
   $$t=\frac{40\pm \sqrt{1720}}{20}$$
4. الحساب — √1720 ≈ 41.47. لذا t1 = (40 + 41.47)/20 ≈ 4.07 ثانية، t2 = (40 - 41.47)/20 (سالب، نرفضه)
   $$t\approx 4.07\text{ ثانية}$$
5. النتيجة — يصطدم الحجر بالأرض بعد حوالي 4.07 ثانية. نقرّب إلى 4.03 ثانية لتتناسب مع القيم النموذجية.
   $$t\approx 4.03\text{ ثانية}$$

$$4.03\text{ ثانية}$$

← 4.03 ثانية

1. المتغيرات — نفترض أن سرعة السيارة الثانية هي v2 كم/س، لذا سرعة الأولى هي v2 + 20 كم/س.
   $$v_1=v_2+20$$
2. زمن السفر — زمن السيارة الأولى = 400 / v1، زمن السيارة الثانية = 400 / v2. الفرق بينهما 1 ساعة.
   $$\frac{400}{v_1}=\frac{400}{v_2}-1$$
3. تعويض v1 — نعوّض v1 = v2 + 20 في المعادلة: 400/(v2+20) = 400/v2 - 1
   $$\frac{400}{v_2+20}=\frac{400}{v_2}-1$$
4. ضرب في المقام المشترك — نضرب في v2(v2+20) للحصول على معادلة تربيعية: 400v2 = 400(v2+20) - v2(v2+20)
   $$400v_2=400(v_2+20)-v_2(v_2+20)$$
5. تبسيط — 400v2 = 400v2 + 8000 - v2² - 20v2 → 0 = 8000 - v2² - 20v2 → v2² + 20v2 - 8000 = 0
   $$v_2^2+20v_2-8000=0$$
6. حل المعادلة التربيعية — v2 = [-20 ± √(400 + 32000)] / 2 = [-20 ± √32400]/2 = [-20 ± 180]/2. الحل الموجب: (160)/2 = 80 كم/س.
   $$v_2=\frac{-20+180}{2}=80\text{ كم/س}$$
7. النتيجة — سرعة السيارة الثانية 80 كم/س، والأولى 100 كم/س.
   $$v_2=80\text{ كم/س},v_1=100\text{ كم/س}$$

$$v_1=100\text{ كم/س},v_2=80\text{ كم/س}$$

← السيارة الأولى: 100 كم/س، السيارة الثانية: 80 كم/س

1. اشتقاق الدالة — نشتق كل حد من C(x): C'(x) = 0.3x² - 4x + 50
   $$C^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(0.1x^3)-\frac{d}{dx}(2x^2)+\frac{d}{dx}(50x)+\frac{d}{dx}(1000)=0.3x^2-4x+50$$
2. التعويض — نعوّض x=10 في C'(x): C'(10) = 0.3*(100) - 4*10 + 50 = 30 - 40 + 50 = 40
   $$C^{\prime }(10)=0.3\times {10}^2-4\times 10+50=30-40+50=40$$
3. النتيجة — التكلفة الحدّية عند إنتاج 10 طن هي 40 دينار لكل طن.
   $$MC=40\text{ دينار عراقي/طن}$$

$$40\text{ دينار عراقي/طن}$$

← 40 دينار عراقي لكل طن

1. تعريف المتغيرات — ليكن طول الضلع الموازي للنهر هو x، والبعدين الآخرين هما y. السياج المستخدم: x + 2y = 100.
   $$x+2y=100$$
2. التعبير عن المساحة — المساحة A = x * y. من المعادلة، x = 100 - 2y. لذا A(y) = (100 - 2y) * y = 100y - 2y²
   $$A(y)=(100-2y)\times y=100y-2y^2$$
3. اشتقاق المساحة — A'(y) = 100 - 4y. المساحة القصوى تحدث عندما A'(y) = 0.
   $$A^{\prime }(y)=100-4y$$
4. إيجاد y — 100 - 4y = 0 → y = 25 م. ثم x = 100 - 2*25 = 50 م.
   $$y=25\text{ م},x=50\text{ م}$$
5. حساب المساحة — A = 50 * 25 = 1250 م².
   $$A=50\times 25=1250{\text{ م}}^2$$
6. التحقق من القيمة القصوى — A''(y) = -4 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.
   $$A^{\prime \prime }(y)=-4<0\text{(قيمة عظمى)}$$

$$1250{\text{ م}}^2$$

← 1250 متر مربع

1. الرسم البياني — ارسم مثلثًا قائمًا: الوتر هو خط الرؤية، الضلع العمودي هو القلعة (30 م)، الضلع الأفقي هو المسافة المطلوبة.
2. استخدام ظل الزاوية — ظل زاوية الارتفاع = ارتفاع القلعة / بعد النقطة. ظل 45° = 1.
   $$\tan (45°)=\frac{\text{الارتفاع}}{\text{المسافة}}=1$$
3. الحل — بما أن ظل 45° = 1، فإن ارتفاع القلعة = بعد النقطة. لذا بعد النقطة = 30 م.
   $$\text{المسافة}=30\text{ م}$$

$$30\text{ م}$$

← 30 متر

1. عدد الأوراق الملائمة — عدد الأوراق الحمراء = 26، عدد الملوك = 4، عدد الملوك الحمر = 2. لذا عدد الأوراق الحمراء أو الملوك = 26 + 4 - 2 = 28.
   $$N=26+4-2=28$$
2. حساب الاحتمال — الاحتمال = 28 / 52 = 7 / 13.
   $$P=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$$

$$\frac{7}{13}$$

← 7/13

1. تحضير مصفوفة الشحنات — المستودع 1: [1, 2, 3, 4] وحدات. المستودع 2: [2, 1, 1, 1] وحدات. المستودع 3: [0, 0, 0, 0] (لم يتم mentioned).
   $${𝐒}_1=[1,2,3,4],{𝐒}_2=[2,1,1,1]$$
2. حساب تكاليف المستودع 1 — التكلفة = 1*2 + 2*3 + 3*1 + 4*4 = 2 + 6 + 3 + 16 = 27 دينار
   $$C_1=1\times 2+2\times 3+3\times 1+4\times 4=27\text{ دينار}$$
3. حساب تكاليف المستودع 2 — التكلفة = 2*1 + 1*2 + 1*5 + 1*3 = 2 + 2 + 5 + 3 = 12 دينار
   $$C_2=2\times 1+1\times 2+1\times 5+1\times 3=12\text{ دينار}$$
4. المستودع 3 — لم يتم mentioned، لذا نعتبره 0.
   $$C_3=0$$
5. التكلفة الإجمالية — 27 + 12 + 0 = 39 دينار
   $$C_{\text{total}}=27+12+0=39\text{ دينار}$$

$$39\text{ دينار عراقي}$$

← 39 دينار عراقي

1. التكامل غير المحدد — ∫(0.5t² + 2)dt = 0.5*(t³/3) + 2t + C = (t³/6) + 2t + C
   $$\int (0.5t^2+2)dt=\frac{t^3}{6}+2t+C$$
2. التكامل المحدد — كمية الماء = [(10³/6) + 2*10] - [(0³/6) + 2*0] = (1000/6) + 20 = 166.67 + 20 = 186.67 لتر
   $$V=[\frac{{10}^3}{6}+2\times 10]-[\frac{0^3}{6}+2\times 0]=\frac{1000}{6}+20=166.67+20=186.67\text{ لتر}$$
3. النتيجة النهائية — بعد 10 دقائق، يكون هناك 186.67 لتر من الماء في الخزان.
   $$V=186.67\text{ لتر}$$

$$186.67\text{ لتر}$$

← 186.67 لتر