تمارين في النظريات الرياضية الأساسية للعراق

1. قانون المحيط — نقوم بكتابة قانون حساب محيط المستطيل الذي درسته في المدرسة الثانوية
   $$P=2\times (L+l)$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم المعطاة في القانون مع مراعاة الوحدات
   $$P=2\times (45\text{m}+28\text{m})$$
3. الحساب النهائي — نقوم بإجراء العملية الحسابية النهائية للحصول على المحيطRequired
   $$P=2\times 73\text{m}=146\text{m}$$

$$146\text{m}$$

← طول السورRequired هو 146 متراً

1. قانون الربح — نقوم بكتابة العلاقة بين سعر البيع وسعر الشراء ونسبة الربح
   $$V=C\times (1+\frac{p}{100})$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم المعطاة في القانون مع مراعاة تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري
   $$V=2400\text{IQD}\times (1+\frac{40}{100})=2400\text{IQD}\times 1.4$$
3. الحساب النهائي — نقوم بإجراء العملية الحسابية النهائية للحصول على سعر البيعRequired
   $$V=3360\text{IQD}$$

$$3360\text{IQD}$$

← سعر بيع الكيلوغرام الواحدRequired هو 3360 دينار عراقي

1. حساب نصف القطر — نقوم أولاً بحساب نصف قطر الدائرةRequired
   $$r=\frac{D}{2}=\frac{85\text{m}}{2}=42.5\text{m}$$
2. قانون مساحة الدائرة — نقوم بكتابة قانون حساب مساحة الدائرة
   $$A=\pi \times r^2$$
3. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم في القانون مع استخدام القيمة التقريبية لـ π
   $$A\approx 3.1416\times {(42.5\text{m})}^2$$
4. الحساب النهائي — نقوم بإجراء العملية الحسابية النهائية للحصول على المساحةRequired
   $$A\approx 3.1416\times 1806.25{\text{m}}^2\approx 5674.5{\text{m}}^2$$

$$5675{\text{m}}^2$$

← مساحة الأرضRequired هي 5674.5 متر مربع (يمكن تقريبها إلى 5675 m²)

1. قانون المتتالية الهندسية — نقوم بكتابة القانون العام للمتتالية الهندسية المتناقصة
   $$P_n=P_0\times {(1-r)}^n$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم المعطاة في القانون مع تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري
   $$P_6=5000\text{برميل}\times {(1-0.02)}^6=5000\text{برميل}\times {(0.98)}^6$$
3. حساب القوة — نقوم بحساب (0.98)⁶ باستخدام الآلة الحاسبة
   $${(0.98)}^6\approx 0.8858$$
4. الحساب النهائي — نقوم بإجراء العملية الحسابية النهائية للحصول على الإنتاجRequired بعد 6 أشهر
   $$P_6\approx 5000\times 0.8858\approx 4429\text{برميل/شهر}$$

$$4429\text{برميل/شهر}$$

← الإنتاج المتوقع بعد 6 أشهر هو 4429 برميلاً في الشهر

1. الرسم البياني — نقوم برسم مثلث ABC ثم نرسم خطاً DE موازياً للضلع BC ماراً بالنقطة A. هذا الخط سينشأ زوايا متناوبة مع الزوايا B وC.
2. تحديد الزوايا المتناوبة — الزاوية DAB هي زاوية متناوبة مع الزاوية B، والزاوية EAC هي زاوية متناوبة مع الزاوية C
   $$\angle DAB=\angle B\text{و}\angle EAC=\angle C$$
3. مجموع الزوايا على الخط المستقيم — الزوايا DAB وBAC وEAC تشكل معاً زاوية مستقيمة على الخط DE، لذا مجموعها يساوي 180 درجة
   $$\angle DAB+\angle BAC+\angle EAC=180°$$
4. الاستنتاج النهائي — بما أن $\angle$ DAB = $\angle$ B و$\angle$ EAC = $\angle$ C، فإن مجموع زوايا المثلث ABC يساوي 180 درجة
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$

$$180°$$

← مجموع زوايا أي مثلث في المستوى الإقليدي يساوي 180 درجة

1. دالة الكمية المباعة — نقوم بكتابة دالة الكمية المباعة بدلالة السعر الجديد P
   $$Q(P)=Q_0-k\times \frac{P-P_0}{1000}=100-5\times \frac{P-25000}{1000}$$
2. دالة الربح — نقوم بكتابة دالة الربح بدلالة السعر
   $$\text{Profit}(P)=(P-C)\times Q(P)=(P-15000)\times (100-\frac{P-25000}{200})$$
3. تبسيط دالة الربح — نقوم بتبسيط دالة الربح لتصبح في شكل تربيعي سهل التعامل معه
   $$\text{Profit}(P)=(P-15000)\times (100-\frac{P}{200}+125)=(P-15000)\times (225-\frac{P}{200})$$
4. إيجاد القيمة العظمى — نقوم بإيجاد القيمة العظمى للدالة التربيعية باستخدام طريقةVertex form أو التفاضل
   $$\text{Profit}(P)=-\frac{1}{200}{P}^2+292.5P-3375000$$
5. حساب السعر الأمثل — السعر الأمثل للدالة التربيعية ax² + bx + c هو عند P = -b/(2a)
   $$P_{opt}=-\frac{292.5}{2\times (-\frac{1}{200})}=29250\text{IQD}$$
6. حساب الربح الأقصى — نقوم بحساب الربح عند السعر الأمثل
   $$Q_{opt}=100-5\times \frac{29250-25000}{1000}=100-21.25=78.75\approx 79\text{قميص/أسبوع}$$
7. الربح النهائي — نقوم بحساب الربح الأقصى باستخدام السعر الأمثل والكمية المثلى
   $${\text{Profit}}_{max}=(29250-15000)\times 79=14250\times 79=1125750\text{IQD}$$

$$P_{opt}=29250\text{IQD},Q_{opt}=79\text{قميص/أسبوع},{\text{Profit}}_{max}=1125750\text{IQD}$$

← السعر الأمثل هو 29250 دينار عراقي، والكمية المباعة 79 قميصاً، وأقصى ربح أسبوعي 1125750 دينار عراقي

1. الرسم البياني — نقوم برسم مثلث ABC ثم نمد الضلع BC إلى النقطة D بحيث BC = CD. ثم نصل A بـ D. هذا سيشكل مثلث متساوي الساقين ABD.
2. مثلث متساوي الساقين — في المثلث ABD، الضلعان AB وAD متساويان لأنهما ضلعان في مثلث متساوي الساقين (BD = 2BC)
   $$AB=AD$$
3. مجموع الأضلاع — في المثلث ACD، مجموع الضلعين AC وCD أكبر من الضلع AD (بموجب المتباينة المثلثية نفسها)
   $$AC+CD>AD$$
4. الاستنتاج — بما أن AB = AD وCD = BC، فإننا نحصل على AB + AC > BC
   $$AB+AC>BC$$

$$AB+AC>BC$$

← مجموع طولي أي ضلعين في مثلث أكبر من طول الضلع الثالث

1. نموذج SIR المبسط — نقوم بكتابة المعادلة التفاضلية الأساسية لنموذج انتشار المرض
   $$\frac{dI}{dt}=\beta I-\gamma I=(\beta -\gamma )I$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم المعطاة لمعدلات العدوى والشفاء
   $$\frac{dI}{dt}=(0.4-0.1)I=0.3I$$
3. حل المعادلة التفاضلية — نقوم بحل المعادلة التفاضلية باستخدام طريقة الفصل المتغيرات
   $$\frac{dI}{I}=0.3dt$$
4. تكامل الطرفين — نقوم بتكامل الطرفين للحصول على الحل العام
   $$\int \frac{dI}{I}=\int 0.3dt\Rightarrow \ln |I|=0.3t+C$$
5. حل من أجل I(t) — نقوم بحل المعادلة للحصول على عدد المرضى كدالة في الزمن
   $$I(t)=I_0{e}^{0.3t}$$
6. تفسير الحل — الحل العام I(t) = I₀e^(0.3t) يوضح أن عدد المرضى ينمو أسياً بمعدل 0.3 يومياً. هذا يعني أن المرض ينتشر بسرعة في الموصل.

$$\frac{dI}{dt}=0.3I,I(t)=I_0{e}^{0.3t}$$

← المعادلة التفاضلية هي dI/dt = 0.3I والحل العام هو I(t) = I₀e^(0.3t)

1. تبسيط الدالة — نقوم بتبسيط دالة درجة الحرارة باستخدام متطابقة مثلثية: sin(θ - π/2) = -cos(θ)
   $$T(t)=25+10\sin (\frac{\pi t}{6}-\frac{\pi }{2})=25-10\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$$
2. متوسط درجة الحرارة السنوي — نقوم بحساب متوسط درجة الحرارة السنوي باستخدام خاصية الدوال المثلثية: متوسط sin(πt/6) على 12 شهراً هو صفر
   $$T_{avg}=\frac{1}{12}{\int }_0^{12}T(t)dt=\frac{1}{12}{\int }_0^{12}(25-10\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right))dt=25-0=25°\text{C}$$
3. القيمة العظمى للدالة — نقوم بإيجاد القيمة العظمى للدالة T(t) من خلال تحليل دالة جيب التمام
   $$T_{max}=25-10\times (-1)=35°\text{C}$$
4. الشهر الأكثر سخونة — القيمة العظمى لدالة جيب التمام cos(πt/6) تحدث عندما πt/6 = 0، 2π، 4π، ... أي عندما t = 0، 12، 24، ... وبما أن t=1 هو يناير، فإن t=7 هو يوليو
   $$t_{max}=7\text{(شهر يوليو)}$$
5. التحقق من خلال الحساب — نقوم بحساب T(7) للتأكد من أنها القيمة العظمى
   $$T(7)=25-10\cos \left(\frac{7\pi }{6}\right)=25-10\cos (\pi +\frac{\pi }{6})=25+10\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=25+10\times 0.866=33.66°\text{C}$$
6. الدقة والتقريب — القيمة 33.66 درجة مئوية هي القيمة الدقيقة، لكننا نقول أن الشهر الأكثر سخونة هو يوليو بمتوسط 34 درجة مئوية تقريباً

$$T_{avg}=25°\text{C},t_{max}=7\text{(يوليو)}$$

← متوسط درجة الحرارة السنوي هو 25 درجة مئوية، والشهر الأكثر سخونة هو يوليو بمتوسط 34 درجة مئوية تقريباً