تمارين في المتتاليات والمتسلسلات للطلاب في العراق

1. المعطيات — المعطيات هي الكمية الأولية ($a_1$) والفرق الثابت بين الحدود ($d$).
   $$a_1=10\text{kg},d=3\text{kg}$$
2. الصيغة العامة — نستخدم الصيغة العامة للمتتالية الحسابية لحساب أي حد.
   $$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$
3. الحساب — نعوض القيم المعطاة في الصيغة لحساب الحد الخامس ($a_5$).
   $$a_5=10+(5-1)\times 3=10+12=22$$
4. النتيجة — إذن، سيبيع البائع 22 كيلوغراماً من الطماطم في اليوم الخامس.

$$22\text{kg}$$

← سيبيع البائع 22 كيلوغراماً من الطماطم في اليوم الخامس.

1. المعطيات — الاستثمار الأولي هو 5 ملايين دينار، والنسبة بين الحدود هي 2، وعدد الفترات هو 3.
   $$a_0=5000000\text{IQD},r=2,n=3$$
2. الصيغة العامة — نستخدم الصيغة العامة للمتتالية الهندسية لحساب الحد الثالث ($a_3$).
   $$a_n=a_0\times r^n$$
3. الحساب — نعوض القيم في الصيغة لحساب قيمة الاستثمار بعد 9 سنوات.
   $$a_3=5000000\times 2^3=5000000\times 8=40000000$$
4. النتيجة — إذن، سيبلغ الاستثمار 40 مليون دينار عراقي بعد 9 سنوات.

$$40000000\text{IQD}$$

← سيبلغ الاستثمار 40 مليون دينار عراقي بعد 9 سنوات.

1. المعطيات — عدد المسائل في اليوم الأول هو 5، والفرق بين الأيام هو 2 مسألة، وعدد الأيام هو 7.
   $$a_1=5\text{problèmes},d=2\text{problèmes/jour},n=7\text{jours}$$
2. الصيغة — نستخدم صيغة مجموع المتتالية الحسابية.
   $$S_n=\frac{n}{2}\times (2a_1+(n-1)d)$$
3. الحساب — نعوض القيم في الصيغة لحساب المجموع الكلي.
   $$S_7=\frac{7}{2}\times (2\times 5+(7-1)\times 2)=\frac{7}{2}\times (10+12)=\frac{7}{2}\times 22=77$$
4. النتيجة — إذن، سيحل الطلاب 77 مسألة في الأسبوع.

$$77\text{problèmes}$$

← سيحل الطلاب 77 مسألة في الأسبوع.

1. المعطيات — تكلفة الشجرة الأولى 100000 دينار، والفرق بين الشجرتين 5000 دينار (تناقص)، وعدد الأشجار 10.
   $$a_1=100000\text{IQD},d=-5000\text{IQD},n=10$$
2. الصيغة — نستخدم صيغة مجموع المتتالية الحسابية.
   $$S_n=\frac{n}{2}\times (2a_1+(n-1)d)$$
3. الحساب — نعوض القيم في الصيغة لحساب التكلفة الإجمالية.
   $$S_{10}=\frac{10}{2}\times (2\times 100000+(10-1)\times (-5000))=5\times (200000-45000)=5\times 155000=775000$$
4. النتيجة — إذن، التكلفة الإجمالية لشراء 10 أشجار هي 775000 دينار عراقي.

$$775000\text{IQD}$$

← التكلفة الإجمالية لشراء 10 أشجار هي 775000 دينار عراقي.

1. صيغة اختبار النسبة — نحسب النسبة بين الحدين المتتاليين.
   $$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{3^{n+1}/(n+1)!}{3^n/n!}\right|$$
2. تبسيط النسبة — نبسّط التعبير باستخدام خصائص factorials.
   $$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{3}{n+1}\right|=0$$
3. النتيجة — بما أن $L=0<1$، فإن المتسلسلة متقاربة.

$$\text{متقاربة}$$

← المتسلسلة متقاربة.

1. المعطيات — القرض 100 مليون دينار، الفائدة السنوية 12%، والتركيب شهري (12 مرة في السنة).
   $$P=100000000\text{IQD},r=0.12,n=12$$
2. الصيغة — نحسب المبلغ بعد شهر واحد باستخدام الفائدة المركبة.
   $$A=P{(1+\frac{r}{n})}^{n\times t}\text{حيث}t=\frac{1}{12}$$
3. الحساب — نعوض القيم لحساب الفائدة الشهرية.
   $$A=100000000\times {(1+\frac{0.12}{12})}^1=100000000\times 1.01=101000000$$
4. الفائدة الشهرية — الفائدة الشهرية هي الفرق بين المبلغ الجديد والمبلغ الأصلي.
   $$I=A-P=101000000-100000000=1000000$$

$$1000000\text{IQD}$$

← الفائدة الشهرية هي 1 مليون دينار عراقي.

1. المقارنة — نقارن الحد العام للمتسلسلة بمتسلسلة p المعروفة.
   $$\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2}\text{لأن}{n}^2+n>n^2$$
2. اختبار التقارب — متسلسلة $\sum \frac{1}{n^2}$ متقاربة لأنها متسلسلة p مع $p=2>1$.
3. الاستنتاج — بما أن الحدود أصغر من حدود متسلسلة متقاربة، فإن المتسلسلة الأصلية متقاربة.

$$\text{متقاربة}$$

← المتسلسلة متقاربة.

1. المعطيات — درجات الحرارة تنخفض بمقدار 2°م كل يوم، بدءاً من 42°م في اليوم الأول.
   $$T_1=42\text{°C},d=-2\text{°C/jour},n=8$$
2. الصيغة — نستخدم الصيغة العامة للمتتالية الحسابية لحساب درجة الحرارة في اليوم الثامن.
   $$T_n=T_1+(n-1)d$$
3. الحساب — نعوض القيم في الصيغة لحساب درجة الحرارة المتوقعة.
   $$T_8=42+(8-1)\times (-2)=42-14=28$$
4. النتيجة — إذن، من المتوقع أن تصل درجة الحرارة إلى 28°م في اليوم الثامن.

$$28\text{°C}$$

← من المتوقع أن تصل درجة الحرارة إلى 28°م في اليوم الثامن.