تمارين في الهندسة الإقليدية ونظرية الأعداد للعراق

1. فهم البيانات — لدينا مثلثان متشابهان: الأول مكون من الزقورة وظلالها، والثاني مكون من العمود المرجعي (ارتفاع 1.5 متر) وظله (2 متر). الظل الثاني للزقورة هو 12 متر.
2. إنشاء التناسب — بما أن المثلثين متشابهان، فإن نسبة الارتفاع إلى طول الظل متساوية في كليهما.
   $$\frac{h_z}{L_z}=\frac{h_c}{L_c}$$
3. تعويض القيم — نعوض القيم المعروفة في المعادلة.
   $$\frac{h_z}{12}=\frac{1.5}{2}$$
4. حل المعادلة — بضرب طرفي المعادلة في 12 نحصل على ارتفاع الزقورة.
   $$h_z=\frac{1.5\times 12}{2}=9$$

$$9\text{متر}$$

← ارتفاع الزقورة هو 9 أمتار.

1. حساب حجم الجدار — حجم الجدار = الطول × الارتفاع × السمك.
   $$V=L\times h\times e$$
2. تعويض القيم — نعوض القيم المعروفة لحساب الحجم.
   $$V=500\times 3\times 0.5=750\text{متر مكعب}$$
3. حساب التكلفة الإجمالية — التكلفة = الحجم × تكلفة المتر المكعب الواحد.
   $$C=V\times c$$
4. تعويض القيم النهائية — نحسب التكلفة النهائية باستخدام القيم المعروفة.
   $$C=750\times 15000=11250000\text{دينار عراقي}$$

$$11250000\text{دينار عراقي}$$

← التكلفة الإجمالية للمشروع هي 11,250,000 دينار عراقي.

1. تحويل أبعاد الجدار إلى سنتيمتر — نحول جميع أبعاد الجدار من متر إلى سنتيمتر.
   $$L_m=100\text{م}=10000\text{سم},h_m=4\text{م}=400\text{سم},e_m=30\text{سم}$$
2. حساب حجم الجدار بالسنتيمتر المكعب — حجم الجدار = الطول × الارتفاع × السمك.
   $$V_m=10000\times 400\times 30=1200000000\text{سم مكعب}$$
3. حساب حجم الطوب الواحد — حجم الطوب = الطول × العرض × الارتفاع.
   $$V_p=20\times 10\times 5=1000\text{سم مكعب}$$
4. حساب عدد الطوب — عدد الطوب = حجم الجدار ÷ حجم الطوب الواحد.
   $$N=\frac{V_m}{V_p}=\frac{1200000000}{1000}=1200000$$

$$1200000$$

← يلزم 1,200,000 طوبة لبناء الجدار.

1. حساب المبلغ الإجمالي — المبلغ = الكتلة × السعر لكل كيلوغرام.
   $$T=m\times p$$
2. تعويض القيم — نعوض القيم المعروفة.
   $$T=3\times 4500=13500\text{دينار}$$
3. فحص الآحاد — ننظر إلى رقم الآحاد في المبلغ 13500. رقم الآحاد هو 0، لذا يقبل القسمة على 5.
4. التحقق باستخدام القسمة — نقسم المبلغ على 5 للتأكد.
   $$13500÷5=2700$$

$$13500\text{دينار يقبل القسمة على 5}$$

← المبلغ الإجمالي 13,500 دينار يقبل القسمة على 5 بدون باقي.

1. حساب مساحة الحديقة — مساحة المستطيل = الطول × العرض.
   $$A_g=L\times l$$
2. تعويض القيم — نعوض القيم المعروفة.
   $$A_g=12\times 8=96\text{متر مربع}$$
3. حساب مساحة النافورة — مساحة الدائرة = π × نصف القطر².
   $$A_f=\pi \times r^2$$
4. تعويض القيم للنافورة — نعوض القيم المعروفة لحساب مساحة النافورة.
   $$A_f=3.14\times {1.5}^2=3.14\times 2.25=7.065\text{متر مربع}$$
5. حساب المساحة المتبقية — المساحة المتبقية = مساحة الحديقة - مساحة النافورة.
   $$A_r=A_g-A_f=96-7.065=88.935\text{متر مربع}$$

$$88.94\text{متر مربع}$$

← المساحة المتبقية للزراعة هي 88.94 متر مربع (مقربة إلى منزلتين عشريتين).

1. تطبيق نظرية فيثاغورس على الخريطة — في المثلث القائم، الوتر² = الضلع الأول² + الضلع الثاني².
   $$d_{bb}^2=d_{bk}^2+d_{bb-map}^2$$
2. تعويض القيم على الخريطة — نعوض المسافات على الخريطة.
   $$d_{bb}^2=3^2+4^2=9+16=25$$
3. حساب الوتر على الخريطة — نأخذ الجذر التربيعي للحصول على طول الوتر على الخريطة.
   $$d_{bb}=\sqrt{25}=5\text{وحدات}$$
4. تحويل إلى كيلومترات — نضرب في مقياس الخريطة (100 كيلومتر لكل وحدة).
   $$D_{bb}=5\times 100=500\text{كيلومتر}$$

$$500\text{كيلومتر}$$

← المسافة الفعلية بين بغداد والبصرة هي 500 كيلومتر.

1. حساب مجموع المتتالية الهندسية لسعر الأجهزة — نستخدم صيغة مجموع المتتالية الهندسية: $S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$.
   $$S_n=750000\times \frac{1-{1.10}^5}{1-1.10}$$
2. حساب 1.10^5 — نحسب القوة الخامسة للنسبة 1.10.
   $${1.10}^5\approx 1.61051$$
3. تعويض في الصيغة — نعوض القيم في صيغة المجموع.
   $$S_n=750000\times \frac{1-1.61051}{-0.10}=750000\times \frac{-0.61051}{-0.10}=750000\times 6.1051$$
4. حساب مجموع المتتالية — نحسب القيمة النهائية لمجموع المتتالية.
   $$S_n=750000\times 6.1051=4578825\text{دينار}$$
5. حساب التكلفة الإجمالية — نضرب في عدد الأجهزة سنوياً (10 أجهزة).
   $$S=4578825\times 10=45788250\text{دينار}$$

$$45788250\text{دينار عراقي}$$

← المبلغ الإجمالي الذي ستنفق عليه المدرسة بعد 5 سنوات هو 45,788,250 دينار عراقي.

1. عدد الخيارات في الذهاب — السائق لديه 4 طرق للاختيار من أجل الذهاب من بغداد إلى الموصل.
   $$N_{going}=4$$
2. عدد الخيارات في الإياب — في الإياب، يجب ألا يختار نفس الطريق، لذا剩下 3 طرق.
   $$N_{returning}=3$$
3. تطبيق مبدأ الضرب — العدد الإجمالي للطرق = عدد الخيارات في الذهاب × عدد الخيارات في الإياب.
   $$N=N_{going}\times N_{returning}=4\times 3=12$$

$$12$$

← عدد الطرق المختلفة المتاحة للسائق هو 12 طريق.

1. البحث عن العوامل الأولية — نبدأ باختبار قابلية القسمة على أصغر عدد أولي (2). 65 عدد فردي، لذا لا يقبل القسمة على 2.
2. اختبار القسمة على 3 — مجموع أرقام 65 هو 6+5=11، 11 لا يقبل القسمة على 3، لذا 65 لا يقبل القسمة على 3.
3. اختبار القسمة على 5 — الرقم 65 ينتهي ب 5، لذا يقبل القسمة على 5. 65 ÷ 5 = 13.
   $$65=5\times 13$$
4. التحقق من الأعداد الأولية — كل من 5 و13 هما أعداد أولية (5 لا يقبل القسمة إلا على 1 و5، و13 لا يقبل القسمة إلا على 1 و13).

$$5\times 13=65$$

← نعم، يمكن أن يكون السعر 65 دينار ناتج عن ضرب العددين الأوليين 5 و13.

1. حساب حجم الأسطوانة بالمتر المكعب — حجم الأسطوانة = π × نصف القطر² × الارتفاع.
   $$V=\pi r^{2}h$$
2. تعويض القيم — نعوض القيم المعروفة لحساب الحجم.
   $$V=3.14\times 2^2\times 5=3.14\times 4\times 5=62.8\text{متر مكعب}$$
3. تحويل إلى لتر — نضرب في 1000 لتحويل المتر المكعب إلى لتر.
   $$V_l=62.8\times 1000=62800\text{لتر}$$

$$62800\text{لتر}$$

← يمكن للخزان أن يحمل 62,800 لتر من الماء.

1. كتابة المعادلة — إجمالي الدخل = (عدد البالغين × سعر البالغ) + (عدد الأطفال × سعر الطفل).
   $$15000x+7500(100-x)=900000$$
2. تطوير المعادلة — نوزع 7500 على القوس.
   $$15000x+750000-7500x=900000$$
3. دمج الحدود المتشابهة — نجمع الحدود التي تحتوي على x.
   $$(15000-7500)x+750000=900000$$
4. حساب 15000 - 7500 — نحسب الفرق بين المعاملين.
   $$7500x+750000=900000$$
5. طرح 750000 من الطرفين — ننقل الثابت إلى الطرف الآخر.
   $$7500x=900000-750000=150000$$
6. حل المعادلة — نقسم على 7500 للحصول على x.
   $$x=\frac{150000}{7500}=20$$

$$20$$

← عدد المتفرجين البالغين هو 20 شخص.