تمارين رياضية حول باكستان: نماذج من الحياة الحقيقية

1. الصيغة العامة — نستخدم الصيغة الأساسية للنمو الأسي لحساب عدد السكان بعد مرور زمن معين.
   $$N_t=N_0\times {(1+r)}^t$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم المعروفة في الصيغة: عدد السكان الأولي 220 مليون، معدل النمو 2% (0.02)، لمدة 5 سنوات.
   $$N_5=220000000\times {(1+0.02)}^5$$
3. الحساب التدريجي — نقوم أولاً بحساب (1.02)^5 ثم نضرب في العدد الأولي. يمكنك استخدام الآلة الحاسبة لحساب القوة.
   $$N_5=220000000\times 1.1040808032\approx 242900000$$

$$242900000\text{ نسمة}$$

← عدد السكان المتوقع في باكستان عام 2025 هو حوالي 243 مليون نسمة

1. صيغة معدل النمو — نستخدم الصيغة الأساسية لحساب معدل النمو المئوي بين قيمتين.
   $$r=\left(\frac{P_1-P_0}{P_0}\right)\times 100\%$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم المعروفة: الفرق بين 10.5 و9.8 مليون بالة، مقسوم على 9.8 مليون.
   $$r=\left(\frac{10.5-9.8}{9.8}\right)\times 100\%$$
3. الحساب النهائي — نقوم بحساب الفرق (0.7) ثم قسمته على 9.8، ثم ضرب الناتج في 100 للحصول على النسبة المئوية.
   $$r=0.0714286\times 100\%\approx 7.14\%$$

$$7.14\%$$

← معدل النمو السنوي لإنتاج القطن في باكستان هو 7.14% تقريباً

1. الصيغة المناسبة — نظراً لأن معدل النمو شهري، نستخدم نفس الصيغة للنمو الأسي ولكن بفترات زمنية شهرية.
   $$S_n=S_0\times {(1+r)}^n$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم: 180 مليون مشترك، معدل نمو 1.5% شهرياً، لمدة 8 أشهر.
   $$S_8=180000000\times {(1+0.015)}^8$$
3. الحساب التدريجي — نقوم أولاً بحساب (1.015)^8 باستخدام الآلة الحاسبة، ثم نضرب في 180 مليون.
   $$S_8=180000000\times 1.126492587\approx 202768666$$

$$202768666\text{ مشترك}$$

← عدد المشتركين المتوقع بعد 8 أشهر هو حوالي 202.8 مليون مشترك

1. تحويل الدرجات إلى راديان — نقوم بتحويل جميع الزوايا من الدرجات إلى راديان باستخدام الصيغة: راديان = درجة × (π/180).
   $${\varphi }_1=31.5\times \frac{\pi }{180}\approx 0.5498\text{ rad},{\varphi }_2=33.7\times \frac{\pi }{180}\approx 0.5882\text{ rad}$$
2. حساب الفرق في خطوط الطول — نقوم بحساب الفرق بين خطي الطول: Δλ = |74.3 - 73.1| = 1.2 درجة.
   $$\mathrm{\Delta }\lambda =|74.3-73.1|=1.2°=1.2\times \frac{\pi }{180}\approx 0.0209\text{ rad}$$
3. حساب الجيب وجيب التمام — نقوم بحساب القيم المثلثية اللازمة للصيغة.
   $$\sin {\varphi }_1\approx 0.5150,\sin {\varphi }_2\approx 0.5544,\cos {\varphi }_1\approx 0.8572,\cos {\varphi }_2\approx 0.8323$$
4. تعويض الصيغة — نقوم بتعويض جميع القيم في صيغة المسافة.
   $$d=6371\times \arccos (0.5150\times 0.5544+0.8572\times 0.8323\times \cos (0.0209))$$
5. الحساب النهائي — نقوم بحساب القيمة داخل الأقواس أولاً، ثم نأخذ الاركتانوس، ثم نضرب في نصف قطر الأرض.
   $$d\approx 6371\times \arccos (0.2855+0.7136\times 0.9998)\approx 6371\times 0.1396\approx 889.4$$

$$889.4\text{ km}$$

← المسافة بين لاهور وإسلام آباد هي حوالي 890 كيلومتر

1. صياغة القيود — نقوم بصياغة قيود المشكلة: المساحة الكلية والميزانية.
   $$x+y=100\text{(المساحة الكلية)}$$
2. الميزانية — تكلفة زراعة x هكتار قمح وy هكتار أرز يجب ألا تتجاوز 60 مليون دينار.
   $$500000x+700000y\le 60000000$$
3. دالة الهدف — نريد تعظيم الربح، لذا نكتب دالة الربح.
   $$R=300000x+450000y$$
4. حل النظام — من معادلة المساحة: y = 100 - x. نعوض في معادلة الميزانية: 500000x + 700000(100-x) ≤ 60000000
   $$500000x+70000000-700000x\le 60000000$$
5. حساب المساحة — نقوم بحل المتراجحة: -200000x ≤ -10000000 → x ≥ 50
   $$x\ge 50$$
6. تعظيم الربح — بما أن ربح الأرز أعلى، نخصص أكبر مساحة ممكنة للأرز ضمن القيود. أقصى مساحة أرز هي 50 هكتار (عندما x=50).
   $$R=300000(50)+450000(50)=15000000+22500000=37500000$$

$$(x,y)=(\mathrm{50,50})\text{ هكتار},R=37500000\text{ دينار عراقي}$$

← التوزيع الأمثل هو زراعة 50 هكتار قمح و50 هكتار أرز، مما يعطي ربحاً صافياً قدره 37.5 مليون دينار عراقي

1. الصين — حساب صافي الميزان التجاري مع الصين: الصادرات ناقص الواردات.
   $$B_c=X_c-M_c=12-8=4\text{ مليار دولار}$$
2. العراق — حساب صافي الميزان التجاري مع العراق بنفس الطريقة.
   $$B_i=X_i-M_i=3-1.5=1.5\text{ مليار دولار}$$
3. التحليل — باكستان تحقق فائضاً تجارياً مع كلا البلدين، لكن الفائض مع الصين أكبر بكثير.

$$B_c=4\text{ مليار دولار},B_i=1.5\text{ مليار دولار}$$

← صافي الميزان التجاري لباكستان مع الصين هو 4 مليار دولار، ومع العراق هو 1.5 مليار دولار

1. إنتاج الفرد في باكستان — نقوم بقسمة الإنتاج الكلي لعدد السكان.
   $$Y_p=\frac{10.5\text{ مليون بالة}}{240\text{ مليون نسمة}}=0.04375\text{ بالة/فرد}$$
2. إنتاج الفرد في العراق — نقوم بنفس الحساب للعراق.
   $$Y_i=\frac{0.2\text{ مليون بالة}}{43\text{ مليون نسمة}}=0.004651\text{ بالة/فرد}$$
3. حساب النسبة — نقوم بقسمة إنتاج الفرد لباكستان على إنتاج الفرد للعراق.
   $$R=\frac{Y_p}{Y_i}=\frac{0.04375}{0.004651}\approx 9.41$$

$$Y_p=0.04375\text{ بالة/فرد},Y_i=0.004651\text{ بالة/فرد},R\approx 9.41$$

← إنتاج القطن لكل فرد في باكستان هو 0.04375 بالة، وفي العراق 0.004651 بالة. باكستان تنتج أكثر بحوالي 9.4 مرة لكل فرد مقارنة بالعراق

1. الصيغة الأساسية — نستخدم صيغة النمو الأسي لحساب الناتج بعد 10 سنوات.
   $$G_{10}=G_0\times {(1+r)}^{10}$$
2. تعويض القيم — نقوم بتعويض القيم المعروفة.
   $$G_{10}=263\times {(1+0.04)}^{10}$$
3. حساب القوة — نقوم أولاً بحساب (1.04)^10 باستخدام الآلة الحاسبة.
   $${(1.04)}^{10}\approx 1.480244$$
4. الناتج النهائي — نقوم بضرب الناتج الأولي في القيمة المحسوبة.
   $$G_{10}=263\times 1.480244\approx 389.3$$
5. حساب الزيادة — نقوم بطرح الناتج الأصلي من الناتج الجديد للحصول على الزيادة.
   $$\mathrm{\Delta }G=389.3-263=126.3\text{ مليار دولار}$$

$$G_{10}=389.3\text{ مليار دولار},\mathrm{\Delta }G=126.3\text{ مليار دولار}$$

← الناتج المحلي الإجمالي المتوقع بعد 10 سنوات هو 389.3 مليار دولار، بزيادة قدرها 126.3 مليار دولار عن القيمة الأصلية

1. عدد وحدات 100 كم — نقوم بقسمة المسافة الكلية على 100 للحصول على عدد وحدات 100 كم.
   $$n=\frac{1160}{100}=11.6$$
2. تكلفة طن واحد — نقوم بضرب عدد الوحدات في تكلفة كل 100 كم.
   $$C_1=11.6\times 150=1740\text{ دولار}$$
3. التكلفة الإجمالية — نقوم بضرب تكلفة طن واحد في الكمية المنقولة (25 طن).
   $$C=25\times 1740=43500\text{ دولار}$$

$$43500\text{ دولار}$$

← تكلفة نقل 25 طن من البضائع من كراتشي إلى لاهور هي 43500 دولار