تمارين رياضية: التصويت والأغلبية الفائقة في العملية الدستورية -ال

1. صيغة التوافيق — عدد الطرق لاختيار 101 نائباً من 150 هو عدد توافيق 150 اختيار 101
   $$C=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{150}{101}\right)$$
2. التبسيط الرياضي — باستخدام خاصية التوافيق C(n,k) = C(n,n-k)، يمكننا تبسيط الحساب إلى C(150,49)
   $$C=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{150}{49}\right)=\frac{150!}{49!\times 101!}$$
3. النتيجة النهائية — هذا هو العدد الإجمالي للطرق الممكنة لتشكيل الأغلبية الفائقة
   $$C=1.65\times {10}^{42}$$

$$1.65\times {10}^{42}$$

← هناك 1.65 × 10^42 طريقة ممكنة لتشكيل الأغلبية الفائقة المكونة من 101 نائب من 150 نائب

1. صيغة التوزيع ذو الحدين — احتمال الحصول على العدد الدقيق k من الأصوات هو P(X=k) = C(75,k) × 0.6^k × 0.4^(75-k)
   $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{75}{k}\right)\times {0.6}^k\times {0.4}^{75-k}$$
2. حساب الاحتمال التراكمي — الاحتمال المطلوب هو مجموع الاحتمالات من 46 إلى 75 صوتاً
   $$P(X\ge 46)=\sum _{k=46}^{75}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{75}{k}\right)\times {0.6}^k\times {0.4}^{75-k}$$
3. النتيجة النهائية — باستخدام الآلة الحاسبة أو جدول التوزيع ذو الحدين، نجد أن الاحتمال يساوي تقريباً 0.9999999999999999 (تقريباً 1)
   $$P(X\ge 46)\approx 1$$

$$1$$

← الاحتمال أن يحصل التعديل على 46 صوتاً أو أكثر هو تقريباً 1 (100%)

1. الحساب المباشر — عدد المحافظات المطلوبة هو 3/4 من 18
   $$N=\frac{3}{4}\times 18$$
2. القرابة إلى عدد صحيح — 13.5 لا يمكن أن يكون عدداً صحيحاً من المحافظات، لذا نقرّب إلى الأعلى للحصول على أغلبية فائقة
   $$N=14$$

$$14$$

← تحتاج إلى موافقة 14 محافظة للتصديق على التعديل الدستوري

1. عدد الوحدات في بغداد — عدد وحدات 1000 نسمة في بغداد هو 8000000 / 1000 = 8000 وحدة
   $$U_b=\frac{8000000}{1000}=8000$$
2. تكلفة بغداد — تكلفة الحملة في بغداد هي 8000 × 500000 دينار
   $$T_b=8000\times 500000=4000000000\text{ IQD}$$
3. عدد الوحدات في البصرة — عدد وحدات 1000 نسمة في البصرة هو 3000000 / 1000 = 3000 وحدة
   $$U_s=\frac{3000000}{1000}=3000$$
4. تكلفة البصرة — تكلفة الحملة في البصرة هي 3000 × 350000 دينار
   $$T_s=3000\times 350000=1050000000\text{ IQD}$$
5. التكلفة الإجمالية — التكلفة الإجمالية هي مجموع تكلفة بغداد والبصرة
   $$T=T_b+T_s=4000000000+1050000000=5050000000\text{ IQD}$$

$$5050000000\text{IQD}$$

← التكلفة الإجمالية لحملة التعديل الدستوري في بغداد والبصرة هي 5,050,000,000 دينار عراقي

1. صيغة المتتالية الهندسية — عدد الأصوات في السنة n هو $a_n$ = $a_1$ × r^(n-1)
   $$a_n=a_1\times r^{n-1}$$
2. حساب السنة الخامسة — عدد الأصوات في السنة الخامسة هو $a_5$ = 200 × (1.05)^4
   $$a_5=200\times {1.05}^4$$
3. الخطوات الحسابية — أولاً احسب 1.05^4 = 1.21550625، ثم اضرب في 200
   $$a_5=200\times 1.21550625=243.10125$$

$$243$$

← عدد الأصوات المتوقع في السنة الخامسة هو 243 صوتاً تقريباً

1. افتراض عدد السكان — للتسهيل، افترض أن كل محافظة بها 1000000 نسمة
   $$S=1000000\text{ لكل محافظة}$$
2. أصوات الموافقة في المحافظات الموافقة — عدد الأصوات الموافقة = 12 محافظة × 1000000 نسمة × 0.65
   $$V_A=12\times 1000000\times 0.65=7800000$$
3. أصوات الموافقة في المحافظات الرافضة — عدد الأصوات الموافقة = 6 محافظة × 1000000 نسمة × 0.40
   $$V_R=6\times 1000000\times 0.40=2400000$$
4. إجمالي الأصوات الموافقة — إجمالي الأصوات الموافقة = 7,800,000 + 2,400,000 = 10,200,000
   $$V_{total}=7800000+2400000=10200000$$
5. معدل الموافقة الإجمالي — معدل الموافقة الإجمالي = إجمالي الأصوات الموافقة / إجمالي السكان × 100%
   $$p_{total}=\frac{10200000}{18000000}\approx 0.5667=56.67\%$$

$$56.67\%$$

← معدل الموافقة الإجمالي عبر جميع المحافظات هو 56.67%

1. عدد الروابط في المجموعة الأولى — المجموعة الأولى بها 3 محافظات. عدد الروابط الكاملة = 3(3-1)/2 = 3 روابط
   $$E_1=\frac{3(3-1)}{2}=3$$
2. عدد الروابط في المجموعة الثانية — المجموعة الثانية بها 3 محافظات أيضاً. عدد الروابط الكاملة = 3(3-1)/2 = 3 روابط
   $$E_2=\frac{3(3-1)}{2}=3$$
3. إجمالي عدد الروابط — إجمالي عدد الروابط هو مجموع الروابط في المجموعتين (لأنه لا توجد روابط بين المجموعتين)
   $$E=E_1+E_2=3+3=6$$

$$6$$

← عدد الروابط في الرسم البياني هو 6 روابط

1. حساب المدى الطبيعي — المدى الطبيعي هو من 100 - 10 إلى 100 + 10، أي من 90 إلى 110
   [90, 110]
2. مقارنة النتيجة — العدد الفعلي 105 يقع ضمن المدى الطبيعي [90, 110]
   $$90\le 105\le 110$$
3. النتيجة النهائية — نعم، 105 أصوات هي نتيجة طبيعية إحصائياً

$$\text{نعم}$$

← نعم، 105 أصوات هي نتيجة طبيعية إحصائياً وفقاً لقاعدة 2σ

1. الأغلبية الفائقة المطلوبة — الأغلبية الفائقة في مجلس الشيوخ هي 3/4 من 75 = 56.25، لذا نحتاج إلى 57 صوتاً (لأنه يجب أن يكون عدداً صحيحاً)
   $$V_{s\_min}=\lceil \frac{3}{4}\times 75\rceil =\lceil 56.25\rceil =57$$
2. التحقق من مجلس النواب — مجلس النواب يحتاج إلى 101 صوتاً، وقد حصل على 102 صوتاً، لذا فهو موافق
   $$102\ge 101\text{(موافق)}$$

$$57$$

← الحد الأدنى لعدد الأصوات المطلوبة في مجلس الشيوخ هو 57 صوتاً

1. حساب المتوسط — المتوسط μ = 150 × 0.65 = 97.5 صوتاً
   $$\mu =150\times 0.65=97.5$$
2. حساب الانحراف المعياري — الانحراف المعياري σ = √(150 × 0.65 × 0.35) = √33.9375 ≈ 5.825 أصوات
   $$\sigma =\sqrt{150\times 0.65\times 0.35}\approx 5.825$$
3. تحويل الحدود إلى قيم z — القيمة z للحد 95 = (95 - 97.5) / 5.825 ≈ -0.43
   $$z_{95}=\frac{95-97.5}{5.825}\approx -0.43$$
4. القيمة z للحد 105 — القيمة z للحد 105 = (105 - 97.5) / 5.825 ≈ 1.29
   $$z_{105}=\frac{105-97.5}{5.825}\approx 1.29$$
5. حساب الاحتمال باستخدام جدول التوزيع الطبيعي — الاحتمال = Φ(1.29) - Φ(-0.43) ≈ 0.8997 - 0.3336 = 0.5661
   $$P(95\le X\le 105)\approx 0.8997-0.3336=0.5661$$

$$56.61\%$$

← الاحتمال أن يحصل التعديل على ما بين 95 و 105 صوتاً مؤيداً هو 56.61%