الجبر الخطي: تمارين محلولة للعراقيين

1. كتابة نظام المعادلات — بناءً على المعطيات، نحصل على النظام التالي حيث $x$ تمثل سعر كيلوغرام التفاح و$y$ سعر كيلوغرام الموز:
   $$\{\begin{array}{c}2x+3y=12000\\ 4x+y=11000\end{array}$$
2. حل النظام باستخدام طريقة الحذف — نضرب المعادلة الثانية في 3 لتصبح معاملات y متساوية ثم نطرح المعادلتين:
   $$\begin{array}{cccc}& 12x+3y& =33000& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & -(2x+3y& =12000)& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & 10x& =21000& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\end{array}$$
3. حساب قيمة x — من المعادلة الأخيرة، نحصل على $x=2100$ دينار/كغ، وهو سعر كيلوغرام التفاح.
   $$x=\frac{21000}{10}=2100\text{IQD}/\text{kg}$$
4. حساب قيمة y — نعوض $x=2100$ في المعادلة الثانية لإيجاد $y$:
   $$4(2100)+y=11000\Rightarrow y=11000-8400=2600\text{IQD}/\text{kg}$$
5. التحقق من الحل — نعوض القيم في المعادلتين الأصليتين للتأكد من صحتهما:
   $$\{\begin{array}{c}2(2100)+3(2600)=4200+7800=12000\\ 4(2100)+2600=8400+2600=11000\end{array}$$

$$x=2100\text{ IQD}/\text{kg},y=2600\text{ IQD}/\text{kg}$$

← سعر كيلوغرام التفاح 2100 دينار، وسعر كيلوغرام الموز 2600 دينار

1. حساب مصفوفة النقل بعد يوم واحد — نضرب المصفوفة T في المتجه الابتدائي v0 للحصول على عدد الشاحنات بعد يوم واحد:
   $$v_1=T\cdot v_0=\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 3\\ 4& 0& 2\\ 3& 6& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 40\\ 30\end{array}\right)$$
2. حساب مصفوفة النقل بعد يومين — نضرب المصفوفة T في v1 للحصول على عدد الشاحنات بعد يومين:
   $$v_2=T\cdot v_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 3\\ 4& 0& 2\\ 3& 6& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 40\\ 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\times 40+3\times 30\\ 4\times 0+2\times 30\\ 3\times 40+6\times 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}290\\ 60\\ 300\end{array}\right)$$
3. التحقق من الأبعاد — عدد الشاحنات في بغداد بعد يومين هو 290، وفي البصرة 60، وفي الموصل 300. المجموع 650 شاحنة، وهو منطقي لأن كل شاحنة تنتقل من مكان إلى آخر.

$$v_2=\left(\begin{array}{c}290\\ 60\\ 300\end{array}\right)\text{ شاحنات}$$

← بعد يومين: 290 شاحنة في بغداد، 60 شاحنة في البصرة، 300 شاحنة في الموصل

1. كتابة مصفوفة إحداثيات الرؤوس — نضع إحداثيات الرؤوس الثلاث في مصفوفة 3x3 مع عمود من 1's حسب صيغة المساحة:
   $$A=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 4& 0& 1\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$
2. حساب المحدد باستخدام قاعدة ساروس — نحسب المحدد بالطريقة التالية:
   $$\begin{array}{cccc}& \det (A)& =0\cdot (0\cdot 1-1\cdot 3)-0\cdot (4\cdot 1-1\cdot 2)+1\cdot (4\cdot 3-0\cdot 2)& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & & =0-0+1\cdot (12-0)=12& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\end{array}$$
3. حساب المساحة — نأخذ القيمة المطلقة للمحدد ثم نضرب في 1/2:
   $$S=\frac{1}{2}|\det (A)|=\frac{1}{2}\times 12=6{\text{ كم}}^2$$

$$S=6{\text{ كم}}^2$$

← مساحة الأرض الزراعية 6 كيلومتر مربع

1. كتابة المعادلة المميزة — نكتب المعادلة المميزة للمصفوفة P:
   $$\det (P-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{cc}0.7-\lambda & 0.2\\ 0.3& 0.8-\lambda \end{array}\right)=0$$
2. حساب المحدد وتكوين المعادلة التربيعية — نحسب المحدد ونضعه مساوياً للصفر:
   $$(0.7-\lambda )(0.8-\lambda )-(0.2)(0.3)=0\Rightarrow {\lambda }^2-1.5\lambda +0.5=0$$
3. حل المعادلة التربيعية — نحل المعادلة باستخدام القانون العام:
   $$\lambda =\frac{1.5\pm \sqrt{{1.5}^2-4\times 1\times 0.5}}{2}=\frac{1.5\pm \sqrt{2.25-2}}{2}=\frac{1.5\pm 0.5}{2}$$
4. حساب القيم الذاتية — نحصل على القيمتين الذاتيتين:
   $${\lambda }_1=\frac{1.5+0.5}{2}=1,{\lambda }_2=\frac{1.5-0.5}{2}=0.5$$
5. التفسير السكاني — القيمة الذاتية λ=1 تشير إلى استقرار النظام السكاني مع مرور الوقت، بينما λ=0.5 تشير إلى انخفاض في عدد السكان في إحدى الفئات.

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=0.5$$

← القيم الذاتية هي 1 و0.5. القيمة 1 تشير إلى استقرار النظام السكاني في النجف.

1. إيجاد القيم الذاتية — نكتب المعادلة المميزة ونحلها:
   $$\det (A-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{cc}5-\lambda & 1\\ 1& 5-\lambda \end{array}\right)={(5-\lambda )}^2-1={\lambda }^2-10\lambda +24=0$$
2. حل المعادلة التربيعية — نحل المعادلة λ^2 - 10λ + 24 = 0:
   $$\lambda =\frac{10\pm \sqrt{100-96}}{2}=\frac{10\pm 2}{2}\Rightarrow {\lambda }_1=6,{\lambda }_2=4$$
3. إيجاد المتجه الذاتي الأول (λ=6) — نحل النظام (A-6I)v=0:
   $$\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow v_1=v_2$$
4. إيجاد المتجه الذاتي الثاني (λ=4) — نحل النظام (A-4I)v=0:
   $$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow v_1=-v_2$$
5. تشكيل المصفوفة P — نضع المتجهات الذاتية كأعمدة في المصفوفة P:
   $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$
6. التحقق من Diagonalization — يمكنك التحقق من أن D = $P^{-1}$AP = [[6,0],[0,4]]، ولكن هذا خارج نطاق التمرين.

$${\lambda }_1=6,v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\lambda }_2=4,v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

← القيم الذاتية هي 6 و4. المتجهات الذاتية هي [1,1]^T و[1,-1]^T. المصفوفة P هي [[1,1],[1,-1]]

1. كتابة المصفوفة المعززة — نكتب النظام على شكل مصفوفة معززة:
   $$\left(\begin{array}{ccccc}3& 2& -1& |& 1000\\ 1& -1& 4& |& 500\\ 2& 1& 1& |& 800\end{array}\right)$$
2. جعل a11=1 — نضرب الصف الأول في 1/3:
   $$R_1\leftarrow \frac{1}{3}{R}_1\Rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& |& \frac{1000}{3}\\ 1& -1& 4& |& 500\\ 2& 1& 1& |& 800\end{array}\right)$$
3. حذف x من الصف الثاني — نطرح الصف الأول من الصف الثاني: R2 ← R2 - R1
   $$R_2\leftarrow R_2-R_1\Rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& |& \frac{1000}{3}\\ 0& -\frac{5}{3}& \frac{13}{3}& |& \frac{500}{3}\\ 2& 1& 1& |& 800\end{array}\right)$$
4. حذف x من الصف الثالث — نطرح 2×الصف الأول من الصف الثالث: R3 ← R3 - 2R1
   $$R_3\leftarrow R_3-2R_1\Rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& |& \frac{1000}{3}\\ 0& -\frac{5}{3}& \frac{13}{3}& |& \frac{500}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}& \frac{5}{3}& |& \frac{400}{3}\end{array}\right)$$
5. جعل a22=1 — نضرب الصف الثاني في -3/5:
   $$R_2\leftarrow -\frac{3}{5}{R}_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& |& \frac{1000}{3}\\ 0& 1& -\frac{13}{5}& |& -100\\ 0& -\frac{1}{3}& \frac{5}{3}& |& \frac{400}{3}\end{array}\right)$$
6. حذف y من الصف الثالث — نضيف 1/3×الصف الثاني إلى الصف الثالث: R3 ← R3 + (1/3)R2
   $$R_3\leftarrow R_3+\frac{1}{3}{R}_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& |& \frac{1000}{3}\\ 0& 1& -\frac{13}{5}& |& -100\\ 0& 0& \frac{4}{5}& |& 100\end{array}\right)$$
7. حل المعادلة الثالثة — نجد z من الصف الثالث: z = 100 × (5/4) = 125
   $$z=100\times \frac{5}{4}=125$$
8. حل المعادلة الثانية — نعوض z في المعادلة الثانية: y - (13/5)(125) = -100 → y = 225
   $$y-\frac{13}{5}\times 125=-100\Rightarrow y=225$$
9. حل المعادلة الأولى — نعوض y وz في المعادلة الأولى: x + (2/3)(225) - (1/3)(125) = 1000/3 → x = 200
   $$x+\frac{2}{3}\times 225-\frac{1}{3}\times 125=\frac{1000}{3}\Rightarrow x=200$$

←

1. تطبيق التحويل على الرؤوس — نطبق التحويل T على كل رأس من رؤوس المستطيل الأصلي:
   $$T(\mathrm{0,0})=(\mathrm{0,0}),T(\mathrm{2,0})=(\mathrm{4,0}),T(\mathrm{2,1})=(\mathrm{4,3}),T(\mathrm{0,1})=(\mathrm{0,3})$$
2. حساب الأبعاد الجديدة — الأبعاد الجديدة للمستطيل هي 4 أمتار في الطول (على محور x) و3 أمتار في الارتفاع (على محور y).
   $$L_{new}=4\text{ م},H_{new}=3\text{ م}$$
3. حساب المساحة الجديدة — مساحة المستطيل الجديد هي الطول × الارتفاع:
   $$S_{new}=4\times 3=12{\text{ م}}^2$$
4. التفسير الهندسي — التحويل T مدّ المستطيل بمقدار 2 على محور x و3 على محور y. المساحة تتغير بمقدار محدد المصفوفة T، وهو 2×3=6. المساحة الأصلية 2×1=2 م²، لذا المساحة الجديدة 2×6=12 م².
   $$S_{new}=S_{old}\times |\det (T)|=2\times 6=12{\text{ م}}^2$$

$$S_{new}=12{\text{ م}}^2,L_{new}=4\text{ م},H_{new}=3\text{ م}$$

← المستطيل الجديد أبعاده 4×3 أمتار ومساحته 12 متر مربع. التحويل مدّ المستطيل بمقدار الضعف على الطول والثلاثة أضعاف على الارتفاع.

1. حساب المجموعيات — نحسب المجموعيات اللازمة من البيانات:
   $$\begin{array}{cccc}& n& =3& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & \sum x& =20+25+30=75& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & \sum y& =1500+1800+2200=5500& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & \sum xy& =20\times 1500+25\times 1800+30\times 2200=30000+45000+66000=141000& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & \sum x^2& ={20}^2+{25}^2+{30}^2=400+625+900=1925& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\end{array}$$
2. حساب الميل a — نستخدم صيغة الميل:
   $$a=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^2-{(\sum x)}^2}=\frac{3\times 141000-75\times 5500}{3\times 1925-{75}^2}=\frac{423000-412500}{5775-5625}=\frac{10500}{150}=70$$
3. حساب القطع الصادي b — نستخدم صيغة b:
   $$b=\frac{\sum y-a\sum x}{n}=\frac{5500-70\times 75}{3}=\frac{5500-5250}{3}=\frac{250}{3}\approx 83.33$$
4. كتابة معادلة التقريب — معادلة خط التقريب هي:
   $$y=70x+83.33$$
5. التنبؤ عند 22°C — نعوض x=22 في المعادلة:
   $$y=70\times 22+83.33=1540+83.33=1623.33\text{ IQD}$$

$$y=70x+\frac{250}{3},y(22)\approx 1623\text{ IQD}$$

← معادلة التقريب هي y = 70x + 83.33. عند 22°C، يكون الاستهلاك المتوقع حوالي 1623 دينار.

1. حساب إجمالي الاستهلاك اليومي — نضرب مصفوفة الاستهلاك C في مصفوفة عدد الآلات P:
   $$E=C\times P=\left(\begin{array}{cc}10& 5\\ 8& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10\times 3+5\times 0& 10\times 0+5\times 4\\ 8\times 3+6\times 0& 8\times 0+6\times 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}30& 20\\ 24& 24\end{array}\right)$$
2. حساب إجمالي الاستهلاك — مجموع جميع عناصر مصفوفة الاستهلاك E هو: 30+20+24+24 = 98 كيلوواط ساعة/يوم
   $$E_{total}=30+20+24+24=98\text{ كيلوواط ساعة/يوم}$$
3. حساب التكلفة الإجمالية — نضرب إجمالي الاستهلاك في تكلفة الكيلوواط ساعة:
   $$total\_cost=98\times 200=19600\text{ IQD}$$

←

1. كتابة المعادلة المميزة — نكتب المعادلة المميزة للمصفوفة T:
   $$\det (T-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{ccc}0.6-\lambda & 0.1& 0.2\\ 0.3& 0.8-\lambda & 0.1\\ 0.1& 0.1& 0.7-\lambda \end{array}\right)=0$$
2. حساب المحدد باستخدام قاعدة ساروس — نحسب المحدد بالطريقة التالية:
   $$\begin{array}{cccc}& \det & =(0.6-\lambda )[(0.8-\lambda )(0.7-\lambda )-0.01]-0.1[0.3(0.7-\lambda )-0.01]+0.2[0.3\times 0.1-0.1(0.8-\lambda )]& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & & =(0.6-\lambda )(0.56-1.5\lambda +{\lambda }^2-0.01)-0.1(0.21-0.3\lambda -0.01)+0.2(0.03-0.08+0.1\lambda )& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\\ & & =(0.6-\lambda )({\lambda }^2-1.5\lambda +0.55)-0.1(0.2-0.3\lambda )+0.2(-0.05+0.1\lambda )& \text{<span class="tml-eqn"></span>}\end{array}$$
3. تطوير المعادلة — بعد التطوير، نحصل على المعادلة المميزة: λ³ - 2.1λ² + 1.47λ - 0.36 = 0
   $${\lambda }^3-2.1{\lambda }^2+1.47\lambda -0.36=0$$
4. حل المعادلة — نعلم أن λ=1 هو حل (لأن مجموع أعمدة المصفوفة يساوي 1). نقسم المعادلة على (λ-1):
   $$(\lambda -1)({\lambda }^2-1.1\lambda +0.36)=0$$
5. حل المعادلة التربيعية — نحل λ² - 1.1λ + 0.36 = 0 باستخدام القانون العام:
   $$\lambda =\frac{1.1\pm \sqrt{1.21-1.44}}{2}=\frac{1.1\pm \sqrt{-0.23}}{2}$$
6. تحليل النتائج — القيمة الذاتية λ1=1 تشير إلى استقرار النظام السكاني. القيمتان الأخريان معقدتان (λ≈0.55±0.24i) مما يدل على تذبذب في النظام، ولكن في الواقع يجب أن تكون القيم حقيقية. هذا يشير إلى وجود خطأ في الحساب أو أن المصفوفة لا تمثل انتقال سكان حقيقي.

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2\approx 0.55+0.24i,{\lambda }_3\approx 0.55-0.24i$$

← القيم الذاتية هي λ1=1 (استقرار)، وλ2,3≈0.55±0.24i (تذبذب). القيمة λ=1 تشير إلى استقرار النظام السكاني في كركوك مع مرور الوقت.

1. كتابة مصفوفة المعاملات A — نأخذ معاملات x وy من المعادلتين:
   $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& -1\end{array}\right)$$
2. كتابة متجه المتغيرات X — متجه المتغيرات هو [x; y]:
   $$X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$
3. كتابة متجه الثوابت B — الثوابت في المعادلتين هي 15000 و5000:
   $$B=\left(\begin{array}{c}15000\\ 5000\end{array}\right)$$
4. كتابة المعادلة المصفوفية — النظام يكتب على شكل A·X = B:
   $$A\cdot X=B\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}15000\\ 5000\end{array}\right)$$

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& -1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}15000\\ 5000\end{array}\right)$$

← النظام يكتب على شكل A·X = B حيث A=[[2,3],[4,-1]], X=[x;y], B=[15000;5000]