منطق رياضي: تمارين محلّية لطلاب العراق

1. إنشاء جدول القيم — ننشئ جدولاً بجميع التركيبات الثمانية للقيم المنطقية (صحيح/خاطئ) للعبارات p, q, r.
   $$\begin{array}{cccccc}p& q& \neg q& p\vee \neg q& r& (p\vee \neg q)\to r\\ T& T& F& T& T& T\\ T& F& T& T& T& T\\ F& T& F& T& T& T\\ F& F& T& T& F& F\\ T& T& F& T& F& F\\ T& F& T& T& F& F\\ F& T& F& F& T& T\\ F& F& T& T& F& F\end{array}$$
2. تحديد الحالات الخاطئة — العبارة $(p\vee \neg q)\to r$ تكون خاطئة فقط عندما تكون العبارة قبل السهم صحيحة والعبارة بعد السهم خاطئة.

$$\text{خاطئة في 3 حالات من أصل 8}$$

← العبارة خاطئة فقط في الحالات الثلاث التالية: (p=خاطئ, q=خاطئ, r=خاطئ), (p=صحيح, q=خاطئ, r=خاطئ), (p=خاطئ, q=صحيح, r=خاطئ)

1. كتابة العبارتين — العبارة A: $(p\vee q)\to r$
   $$A=(p\vee q)\to r$$
2. تحويل العبارة B — العبارة B: $\neg (p\vee q)\vee r$
   $$B=\neg (p\vee q)\vee r$$
3. إثبات التكافؤ — نستخدم قانون الإزالة: $X\to Y$ يكافئ $\neg X\vee Y$. نطبقه على العبارة A: $(p\vee q)\to r$ تصبح $\neg (p\vee q)\vee r$، وهي بالضبط العبارة B.
   $$\begin{array}{cc}A& =(p\vee q)\to r\\ & =\neg (p\vee q)\vee r\text{(قانون الإزالة)}\\ & =B\end{array}$$

$$A\equiv B$$

← العبارتان متكافئتان لأن كلتيهما يمكن كتابتهما على الصورة $\neg (p\vee q)\vee r$.

1. ترميز الفرضيات — نفترض أن لدينا الفرضيتين التاليتين: 1) ∀x (T(x) → G(x)) حيث T(x): 'x حل جميع التمارين' و G(x): 'درجة x ≥ 85%'. 2) G(أحمد) = 90%.
   $$\begin{array}{cc}& 1.\forall x(T(x)\to G(x))\\ & 2.G(\text{أحمد})=90\%\end{array}$$
2. محاولة الاستنتاج — لإثبات أن أحمد حل جميع التمارين (T(أحمد))، نحتاج إلى الفرضية العكسية: إذا لم يحل أحمد جميع التمارين (¬T(أحمد))، فإن درجة أحمد يجب أن تكون أقل من 85%. لكننا نعرف أن درجة أحمد 90%، وهو أكبر من 85%. هذا لا ينفي أن أحمد لم يحل جميع التمارين، لأنه قد يحصل على درجة عالية بطرق أخرى (مثل الامتحانات).
   $$\begin{array}{cc}& \text{نفترض }\neg T(\text{أحمد})\\ & \Rightarrow G(\text{أحمد})<85\%\text{(من الفرضية 1)}\\ & \text{لكن }G(\text{أحمد})=90\%\\ & \Rightarrow 90\%<85\%\text{(تناقض)}\end{array}$$
3. النتيجة — الاستنتاج خاطئ. لا يمكننا من الفرضيتين الاستنتاج أن أحمد قد حل جميع التمارين، لأن درجة 90% يمكن أن تأتي من مصادر أخرى غير حل جميع التمارين.
   $$\text{الاستنتاج غير صحيح: }\frac{G(\text{أحمد})=90\%}{\therefore T(\text{أحمد})}\text{ ليس استنتاجاً صالحاً}$$

$$\text{الاستنتاج غير صحيح}$$

← لا، لا يمكن للأستاذ علي أن يستنتج أن أحمد قد حل جميع التمارين بناءً على المعلومات المتاحة.

1. حساب الكتب في A أو B — نستخدم مبدأ включение-استبعاد لحساب عدد الكتب في الرياضيات أو الفيزياء.
   $$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=120+85-30=175\text{ كتاب}$$
2. إضافة الكتب الأخرى — نضيف الكتب التي لا تنتمي لأي من المجموعتين للحصول على المجموع الكلي.
   $$|A\cup B\cup C|=|A\cup B|+|C|=175+25=200\text{ كتاب}$$

$$200\text{ كتاب}$$

← يوجد 200 كتاباً إجمالاً في مكتبة الجامعة.

1. تفسير العبارة — العبارة ∃x (طالب(x) ∧ ¬حضر(x)) تعني وجود طالب واحد على الأقل لم يحضر المحاضرة.
   $$\exists x(\text{طالب}(x)\wedge \neg \text{حضر}(x))$$
2. عدد الغائبين — بما أن العبارة صحيحة، فإن عدد الطلاب الغائبين يكون ≥1. لكننا لا نعرف العددExact بدون معلومات أكثر.
   $$1\le \text{عدد الغائبين}\le 39$$

$$1\le \text{عدد الغائبين}\le 39$$

← العبارة تعني 'هناك طالب واحد على الأقل لم يحضر'. لا يمكننا تحديد العددExact، لكننا نعلم أنه بين 1 و 39 طالباً.

1. الافتراض الأولي — نفترض أن √2 عدد نسبي، لذا يمكن كتابته على الصورة √2 = p/q حيث p و q عددان صحيحان موجبان، و p و q أوليان فيما بينهما (أي لا يوجد قاسم مشترك غير 1).
   $$\sqrt{2}=\frac{p}{q},\text{حيث }p,q\in {\mathbb{Z}}^{+},\gcd (p,q)=1$$
2. تربيع الطرفين — نربّع الطرفين للحصول على 2 = p²/q²، ثم نضرب الطرفين في q².
   $$2=\frac{p^2}{q^2}\Rightarrow 2q^2=p^2$$
3. تحليل الزوجية — بما أن p² = 2q²، فإن p² عدد زوجي. إذا كان مربع عدد زوجي، فإن العدد نفسه زوجي. لذا p = 2k لبعض العدد الصحيح k.
   $$p^2\text{ زوجي }\Rightarrow p\text{ زوجي }\Rightarrow p=2k$$
4. الاستبدال — نعوّض p = 2k في المعادلة: (2k)² = 2q² → 4k² = 2q² → 2k² = q²
   $${(2k)}^2=2q^2\Rightarrow 4k^2=2q^2\Rightarrow 2k^2=q^2$$
5. النتيجة — نجد أن q² = 2k²، لذا q² عدد زوجي، مما يعني أن q عدد زوجي أيضاً. لكن هذا يتناقض مع افتراضنا أن p و q أوليان فيما بينهما (كلاهما زوجيان، لذا لهما قاسم مشترك 2).
   $$q^2=2k^2\Rightarrow q\text{ زوجي }\Rightarrow \gcd (p,q)\ge 2\text{ (تناقض)}$$
6. الاستنتاج — تناقضنا ينشأ من افتراضنا الأولي أن √2 عدد نسبي. لذا √2 يجب أن يكون عدداً غير نسبي.
   $$\therefore \sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$$

$$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$$

← √2 عدد غير نسبي، كما أثبتنا باستخدام برهان التناقض.

1. ترميز القواعد — نكتب القواعد الثلاث على شكل عبارات منطقية:
   $$\begin{array}{cc}& 1.\neg (R\wedge Y\wedge G)\\ & 2.G\to \neg Y\\ & 3.Y\to \neg R\end{array}$$
2. إنشاء جدول الحقيقة — ننشئ جدولاً بجميع التركيبات الثمانية للقيم R, Y, G، ثم نتحقق من استيفاء جميع القواعد الثلاث.
   $$\begin{array}{ccccccc}R& Y& G& \neg (R\wedge Y\wedge G)& G\to \neg Y& Y\to \neg R& \text{صالح؟}\\ T& T& T& F& T& F& F\\ T& T& F& F& T& F& F\\ T& F& T& T& T& T& T\\ T& F& F& T& T& T& T\\ F& T& T& F& T& F& F\\ F& T& F& T& T& T& T\\ F& F& T& T& T& T& T\\ F& F& F& T& T& T& T\end{array}$$
3. تحديد التركيبات الصالحة — التركيبات الصالحة هي تلك التي تكون فيها جميع القواعد صحيحة (العمود الأخير 'صالح؟' = T).
   $$\text{التركيبات الصالحة: }(R,T,G),(R,F,G),(F,T,G),(F,F,G),(F,T,F),(F,F,F)$$

$$6\text{ تركيبات صالحة}$$

← هناك 6 تركيبات منطقية صالحة للنظام: R فقط، R و G، Y فقط، Y و G، G فقط، ولا شيء (جميع الإشارات خاملة).

1. صيغة المجموع — المبلغ المدخر في اليوم n هو 1000n دينار. لذا المجموع بعد n يوماً هو مجموع المتتالية الحسابية 1000(1 + 2 + ... + n).
   $$S_n=1000\sum _{i=1}^{n}i=1000\cdot \frac{n(n+1)}{2}=500n(n+1)$$
2. الأساس (n=1) — عندما n=1، $S_1$ = 1000 دينار. According to formula: 500*1*(1+1) = 1000 دينار. الأساس صحيح.
   $$S_1=1000=500\cdot 1\cdot 2$$
3. الفرضية الاستقرائية — افترض أن $S_k$ = 500k(k+1) صحيحة لبعض k ≥ 1.
   $$S_k=500k(k+1)$$
4. الخطوة الاستقرائية — نثبت أن $S_{k+1}$ = 500(k+1)(k+2). $S_{k+1}$ = $S_k$ + $a_{k+1}$ = 500k(k+1) + 1000(k+1) = 500(k+1)(k + 2).
   $$\begin{array}{cc}{S}_{k+1}& =S_k+a_{k+1}\\ & =500k(k+1)+1000(k+1)\\ & =500(k+1)(k+2)\end{array}$$
5. الاستنتاج — بموجب مبدأ الاستقراء الرياضي، الصيغة $S_n$ = 500n(n+1) صحيحة لجميع n ≥ 1.
   $$\therefore S_n=500n(n+1)\forall n\ge 1$$

$$S_n=500n(n+1)\text{ دينار عراقي}$$

← المجموع بعد n يوماً يساوي 500n(n+1) دينار عراقي، كما ثبت باستخدام الاستقراء الرياضي.