حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في العراق: تمارين محلولة

1. المشتقة الجزئية — نحسب المشتقة الجزئية للدالة $P(c,w)$ بالنسبة للمتغير $c$ (سعر الدجاج).
   $$\frac{\partial P}{\partial c}=3$$
2. تطبيق قاعدة السلسلة — نستخدم قاعدة السلسلة لحساب التغير في سعر اللحم. بما أن سعر القمح ثابت، فإن التغير يعتمد فقط على سعر الدجاج.
   $$\mathrm{\Delta }P\approx \frac{\partial P}{\partial c}\times \mathrm{\Delta }c$$
3. الحساب النهائي — نضرب المشتقة الجزئية في التغير في سعر الدجاج للحصول على التغير في سعر اللحم.
   $$\mathrm{\Delta }P=3\times 200=600$$

$$600\text{IQD}$$

← يزداد سعر الكيلوغرام من اللحم بمقدار 600 دينار عراقي.

1. المشتقة الجزئية بالنسبة لـ x — نحسب المشتقة الجزئية للدالة $H(x,y)$ بالنسبة للمتغير $x$.
   $$\frac{\partial H}{\partial x}=4x-4$$
2. المشتقة الجزئية بالنسبة لـ y — نحسب المشتقة الجزئية للدالة $H(x,y)$ بالنسبة للمتغير $y$.
   $$\frac{\partial H}{\partial y}=6y+6$$
3. تعويض القيم — نعوّض القيم $x=2$ m و$y=1$ m في المشتقات الجزئية.
   $$\frac{\partial H}{\partial x}{|}_{(\mathrm{2,1})}=4(2)-4=4\text{و}\frac{\partial H}{\partial y}{|}_{(\mathrm{2,1})}=6(1)+6=12$$
4. متجه التدرج — نجمع المشتقات الجزئية في متجه التدرج.
   $$\nabla H(\mathrm{2,1})=(4,12)$$

$$\nabla H(\mathrm{2,1})=(4,12)\text{m/m}$$

← متجه التدرج عند النقطة (2, 1) هو (4, 12) متر لكل متر.

1. التكامل الداخلي (بالنسبة لـ x) — نحسب التكامل الداخلي للدالة بالنسبة للمتغير $x$، مع اعتبار $y$ ثابتاً.
   $${\int }_0^{20}(100-0.1x^2-0.2y^2)dx={[100x-\frac{0.1x^3}{3}-0.2y^{2}x]}_0^{20}$$
2. تعويض حدود التكامل الداخلي — نعوّض القيم $x=0$ و$x=20$ في التعبير.
   $$=(100(20)-\frac{0.1{(20)}^3}{3}-0.2y^2(20))-(0-0-0)=2000-\frac{800}{3}-4y^2$$
3. التكامل الخارجي (بالنسبة لـ y) — نأخذ النتيجة من التكامل الداخلي ونكاملها بالنسبة للمتغير $y$ من 0 إلى 10.
   $${\int }_0^{10}(2000-\frac{800}{3}-4y^2)dy={[(2000-\frac{800}{3})y-\frac{4y^3}{3}]}_0^{10}$$
4. تعويض حدود التكامل الخارجي — نعوّض القيم $y=0$ و$y=10$ في التعبير.
   $$=(2000-\frac{800}{3})(10)-\frac{4{(10)}^3}{3}=\frac{52000}{3}-\frac{4000}{3}=\frac{48000}{3}=16000$$

$$16000\text{kg}$$

← إجمالي محصول القمح من الحقل هو 16000 كيلوغرام.

1. المشتقات الجزئية — نحسب المشتقات الجزئية الأولى للدالة $\mathrm{\Pi }(L,T)$ بالنسبة للمتغيرين $L$ و$T$.
   $$\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial L}=500-4L-T\text{و}\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial T}=800-6T-L$$
2. نظام المعادلات — نضع المشتقات الجزئية تساوي الصفر ونشكل نظام المعادلات الخطية.
   $$\{\begin{array}{c}500-4L-T=0\\ 800-6T-L=0\end{array}$$
3. حل النظام — نحل النظام لحساب قيم $L$ و$T$. من المعادلة الأولى: $T=500-4L$. نعوّض في المعادلة الثانية.
   $$800-6(500-4L)-L=0\to 800-3000+24L-L=0\to 23L=2200\to L=\frac{2200}{23}\approx 95.65$$
4. التحقق من الحدود — نلاحظ أن $L\approx 95.65$ يتجاوز الحد الأقصى 40. لذا، نبحث عن القيم القصوى على حدود المنطقة المسموحة.
   نحسب الربح على حدود $L=40$ و$T=30$، وكذلك على حدود $L=0$ و$T=0$. ParseError: Can't use function '$' in math mode at position 21: …الربح على حدود $̲L=40$ و$T=30$، …
5. حساب الربح على الحدود — نحسب الربح عند النقاط الحرجة وعلى الحدود.
   $$\begin{array}{cc}\mathrm{\Pi }(40,T)& =500(40)+800T-2{(40)}^2-3T^2-40T=18400+760T-3T^2\\ \mathrm{\Pi }(L,30)& =500L+800(30)-2L^2-3{(30)}^2-30L=15300+470L-2L^2\end{array}$$
6. البحث عن القيم القصوى على الحدود — نجد القيم القصوى للدوال في متغير واحد على الحدود.
   $$\begin{array}{cc}\text{For }\mathrm{\Pi }(40,T):\frac{d\mathrm{\Pi }}{dT}& =760-6T=0\to T=\frac{760}{6}\approx 126.67\text{ (out of bounds)}\to \text{Check }T=30:\mathrm{\Pi }(\mathrm{40,30})=18400+760(30)-3{(30)}^2=39700\text{ IQD}\\ \text{For }\mathrm{\Pi }(L,30):\frac{d\mathrm{\Pi }}{dL}& =470-4L=0\to L=117.5\text{ (out of bounds)}\to \text{Check }L=40:\mathrm{\Pi }(\mathrm{40,30})=39700\text{ IQD (same as above)}\end{array}$$
7. البحث في الزوايا — نحسب الربح عند زوايا المنطقة المسموحة: (0,0), (40,0), (0,30), (40,30).
   $$\mathrm{\Pi }(\mathrm{0,0})=0\mathrm{\Pi }(\mathrm{40,0})=18400\mathrm{\Pi }(\mathrm{0,30})=15300\mathrm{\Pi }(\mathrm{40,30})=39700$$

$${\mathrm{\Pi }}_{\text{max}}=39700\text{IQD}\text{عند}L=40,T=30$$

← أقصى ربح محقق هو 39700 دينار عراقي باستخدام 40 عامل و30 طاولة.

1. بارامترية المسار — نكتب المسار المستقيم من A(0,0) إلى B(2,4) باستخدام بارامتر $t$ حيث $0\le t\le 1$.
   $$x(t)=2t,y(t)=4t,0\le t\le 1$$
2. حساب التفاضلات — نحسب التفاضلات $dx$ و$dy$ بالنسبة لـ $t$.
   $$dx=2dt,dy=4dt$$
3. تعويض في التكامل — نعوّض المسار والمجال المتجهي في صيغة التكامل الخطي.
   $${\int }_C𝐯\cdot d𝐫={\int }_0^1𝐯(x(t),y(t))\cdot (dx,dy)={\int }_0^1(2y(t),3x{(t)}^2)\cdot (2,4)dt$$
4. حساب الجداء النقطي — نحسب الجداء النقطي بين متجه السرعة ومتجه التفاضل.
   $$={\int }_0^1(2(4t),3{(2t)}^2)\cdot (2,4)dt={\int }_0^1(8t,12t^2)\cdot (2,4)dt={\int }_0^1(16t+48t^2)dt$$
5. حساب التكامل — نكامل التعبير الناتج بالنسبة لـ $t$ من 0 إلى 1.
   $$={[8t^2+16t^3]}_0^1=8{(1)}^2+16{(1)}^3-0=24$$

$$24\text{m}$$

← المسافة الكلية التي يقطعها الماء معك هي 24 متر.

1. التكامل الداخلي (بالنسبة لـ z) — نحسب التكامل الداخلي للدالة الثابتة 1 بالنسبة لـ $z$ من 0 إلى $h(x,y)$.
   $${\int }_0^{h(x,y)}dz=h(x,y)-0=2+0.1x+0.2y$$
2. التكامل الثنائي الناتج — نأخذ النتيجة من التكامل الداخلي ونكاملها بالنسبة لـ $x$ و$y$ على المنطقة المستطيلة.
   $$V={\int }_0^5{\int }_0^{10}(2+0.1x+0.2y)dxdy$$
3. التكامل بالنسبة لـ x — نكامل التعبير بالنسبة لـ $x$ أولاً، مع اعتبار $y$ ثابتاً.
   $${\int }_0^{10}(2+0.1x+0.2y)dx={[2x+0.05x^2+0.2yx]}_0^{10}=20+5+2y=25+2y$$
4. التكامل النهائي بالنسبة لـ y — نكامل النتيجة السابقة بالنسبة لـ $y$ من 0 إلى 5.
   $${\int }_0^5(25+2y)dy={[25y+y^2]}_0^5=125+25=150$$

$$150{\text{m}}^3$$

← حجم النفط داخل الخزان هو 150 متر مكعب.

1. حساب التباعد — نحسب تباعد المجال المتجهي $𝐅(x,y,z)$.
   $$\nabla \cdot 𝐅=\frac{\partial }{\partial x}(x^{2}y)+\frac{\partial }{\partial y}(xyz)+\frac{\partial }{\partial z}(z^3)=2xy+xz+3z^2$$
2. التكامل الثلاثي للتباعد — نحسب التكامل الثلاثي للدالة $2xy+xz+3z^2$ على المنطقة المكعبة [0,2]×[0,2]×[0,2].
   $$\mathrm{\Phi }={\int }_0^2{\int }_0^2{\int }_0^2(2xy+xz+3z^2)dzdydx$$
3. التكامل بالنسبة لـ z أولاً — نكامل بالنسبة لـ $z$ من 0 إلى 2، مع اعتبار $x$ و$y$ ثابتين.
   $${\int }_0^2(2xy+xz+3z^2)dz={[2xyz+\frac{x{z}^2}{2}+z^3]}_0^2=4xy+2x+8$$
4. التكامل بالنسبة لـ y — نكامل النتيجة السابقة بالنسبة لـ $y$ من 0 إلى 2.
   $${\int }_0^2(4xy+2x+8)dy={[2x{y}^2+2xy+8y]}_0^2=8x+4x+16=12x+16$$
5. التكامل النهائي بالنسبة لـ x — نكامل النتيجة النهائية بالنسبة لـ $x$ من 0 إلى 2.
   $${\int }_0^2(12x+16)dx={[6x^2+16x]}_0^2=24+32=56$$

$$56{\text{m}}^3/\text{s}$$

← صافي التدفق الخارج من النظام هو 56 متر مكعب في الثانية.

1. دالة لاغرانج — نشكل دالة لاغرانج باستخدام دالة المساحة والمحيط.
   $$L(x,y,\lambda )=xy-\lambda (2x+2y-800)$$
2. المشتقات الجزئية — نحسب المشتقات الجزئية الثلاثة للدالة $L$ ونضعها تساوي الصفر.
   $$\{\begin{array}{c}\frac{\partial L}{\partial x}=y-2\lambda =0\\ \frac{\partial L}{\partial y}=x-2\lambda =0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=-(2x+2y-800)=0\end{array}$$
3. حل النظام — من المعادلتين الأوليين، نجد أن $x=y$. نعوّض في معادلة المحيط.
   $$x=y\text{و}2x+2x=800\to 4x=800\to x=200\text{إذن}y=200$$
4. حساب المساحة العظمى — نحسب المساحة باستخدام الأبعاد المثلى.
   $$A_{\text{max}}=xy=200\times 200=40000$$

$$A_{\text{max}}=40000{\text{m}}^2\text{عند}x=200\text{ م},\text{[}2pt]y=200\text{ م}$$

← أكبر مساحة ممكنة هي 40000 متر مربع عندما يكون الملعب مربعاً بأبعاد 200×200 متر.

1. حساب المشتقة الجزئية الأولى بالنسبة للزمن — نحسب $\frac{\partial T}{\partial t}$ للدالة $T(x,t)$.
   $$\frac{\partial T}{\partial t}=100e^{-k{(\frac{\pi }{L})}^{2}t}\times (-k{\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2)\times \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)=-100k{\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2{e}^{-k{(\frac{\pi }{L})}^{2}t}\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)$$
2. حساب المشتقة الجزئية الثانية بالنسبة للمكان — نحسب $\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$ للدالة $T(x,t)$.
   $$\begin{array}{cc}\frac{\partial T}{\partial x}& =100e^{-k{(\frac{\pi }{L})}^{2}t}\times \frac{\pi }{L}\times \cos \left(\frac{\pi x}{L}\right)\\ \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}& =100e^{-k{(\frac{\pi }{L})}^{2}t}\times {\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2\times (-\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right))=-100{\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2{e}^{-k{(\frac{\pi }{L})}^{2}t}\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)\end{array}$$
3. تعويض في معادلة الحرارة — نعوّض المشتقتين في معادلة الحرارة للتحقق من صحتها.
   $$k\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}=k\times (-100{\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2{e}^{-k{(\frac{\pi }{L})}^{2}t}\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right))=-100k{\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2{e}^{-k{(\frac{\pi }{L})}^{2}t}\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)=\frac{\partial T}{\partial t}$$

$$\text{الحل يحقق معادلة الحرارة }\frac{\partial T}{\partial t}=k\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$

← الحل $T(x,t)=100e^{-k{(\frac{\pi }{L})}^{2}t}\sin (\frac{\pi x}{L})$ يحقق معادلة الحرارة.

1. دالة الإيرادات — نكتب دالة الإيرادات بدلالة السعر فقط، مع تعويض المسافة.
   $$n(P)=1000-2P+5(400)=3000-2P\Rightarrow R(P)=P\times (3000-2P)=3000P-2P^2$$
2. المشتقة الأولى لدالة الإيرادات — نحسب المشتقة الأولى لدالة الإيرادات بالنسبة للسعر.
   $$\frac{dR}{dP}=3000-4P$$
3. إيجاد السعر الأمثل — نضع المشتقة الأولى تساوي الصفر ونحل من أجل السعر.
   $$3000-4P=0\to 4P=3000\to P=750$$
4. المشتقة الثانية — نحسب المشتقة الثانية للتحقق من أن السعر يحقق أقصى إيرادات.
   $$\frac{d^{2}R}{d{P}^2}=-4<0\text{(إذن السعر يحقق أقصى إيرادات)}$$
5. حساب أقصى إيرادات — نحسب الإيرادات عند السعر الأمثل.
   $$R(750)=750\times (3000-2\times 750)=750\times 1500=1125000$$

$$P_{\text{opt}}=750\text{IQD},R_{\text{max}}=1125000\text{IQD}$$

← السعر الأمثل للتذكرة هو 750 دينار عراقي، مما يحقق أقصى إيرادات قدرها 1,125,000 دينار.