تمارين محلولة في كثير الحدود - العراق

1. تعويض القيمة — نعوض x = 4 في العلاقة $P(x)=25000x^2+15000x+5000$
   $$P(4)=25000\times 4^2+15000\times 4+5000$$
2. حساب الحدود — نحسب كل حد من حدود كثير الحدود على حدة
   $$25000\times 16=40000015000\times 4=600005000=5000$$
3. جمع النتائج — نجمع جميع الحدود للحصول على السعر النهائي
   $$P(4)=400000+60000+5000=465000$$

$$465000\text{دينار عراقي}$$

← سعر شراء 4 قمصان هو 465000 دينار عراقي

1. تحليل الحدود — نحلل كل حد في كثير الحدود لتحديد قيمة الأس
   $$8000d^3\to \text{الأس 3}-5000d^2\to \text{الأس 2}2000d\to \text{الأس 1}15000\to \text{الأس 0}$$
2. تحديد أعلى درجة — أعلى أس هو 3، وهو يأتي من الحد $8000d^3$
   $$n=3$$

$$3$$

← درجة كثير الحدود هي 3

1. البحث عن العوامل — نبحث عن عددين a و b بحيث a × b = 20 و a + b = -9
   $$-4\times -5=20\text{و}-4+(-5)=-9$$
2. كتابة العوامل — نكتب كثير الحدود على شكل حاصل ضرب قوسين
   $$x^2-9x+20=(x-4)(x-5)$$
3. التحقق — نضرب العوامل للتأكد من صحة التحليل
   $$(x-4)(x-5)=x^2-5x-4x+20=x^2-9x+20$$

$$(x-4)(x-5)$$

← التحليل هو $(x-4)(x-5)$

1. تحليل المعادلة — نحلل المعادلة $d^2-12d+27=0$
   $$d^2-12d+27=(d-3)(d-9)=0$$
2. حل المعادلة — نضع كل قوس مساوياً للصفر
   $$d-3=0\Rightarrow d=3d-9=0\Rightarrow d=9$$
3. تفسير النتائج — المسافتان اللتان تجعلان التكلفة 0 هما 3 كم و 9 كم. لكن في سياق النقل، نأخذ المسافة الموجبة ذات المعنى العملي.

$$3\text{كم}\text{أو}9\text{كم}$$

← المسافة هي 3 كم أو 9 كم

1. تعويض القيم — نعوض s = 80 و e = 3 في العلاقة $P(s,e)=15000000s+5000000e+20000000$
   $$P(\mathrm{80,3})=15000000\times 80+5000000\times 3+20000000$$
2. حساب الحدود — نحسب كل حد من حدود كثير الحدود على حدة
   $$15000000\times 80=12000000005000000\times 3=1500000020000000=20000000$$
3. جمع النتائج — نجمع جميع الحدود للحصول على السعر النهائي للشقة
   $$P(\mathrm{80,3})=1200000000+15000000+20000000=1235000000$$

$$1235000000\text{دينار عراقي}$$

← سعر الشقة هو 1235000000 دينار عراقي

1. البحث عن الجذور — ن试试 x = 1: $C(1)=1-6+11-6=0$. إذاً (x - 1) هو عامل.
   $$C(1)=1^3-6{(1)}^2+11(1)-6=0$$
2. القسمة على (x - 1) — نقسم كثير الحدود على (x - 1) للحصول على كثير حدود من الدرجة الثانية
   $$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)$$
3. تحليل كثير الحدود من الدرجة الثانية — نحلل $x^2-5x+6$ إلى $(x-2)(x-3)$
   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
4. كتابة التحليل النهائي — نجمع جميع العوامل للحصول على التحليل الكامل
   $$C(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$

$$(x-1)(x-2)(x-3)$$

← التحليل هو $(x-1)(x-2)(x-3)$

1. كتابة التحليل — نكتب كثير الحدود على شكل حاصل ضرب العوامل الثلاثة
   $$P(x)=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$$
2. ضرب العاملين الأولين — نضرب العاملين الأولين للحصول على كثير حدود من الدرجة الثانية
   $$(x-r_1)(x-r_2)=x^2-(r_1+r_2)x+r_1{r}_2$$
3. ضرب النتيجة في العامل الثالث — نضرب كثير الحدود من الدرجة الثانية في العامل الثالث
   $$P(x)=a[x^3-(r_1+r_2+r_3)x^2+(r_1{r}_2+r_1{r}_3+r_2{r}_3)x-r_1{r}_2{r}_3]$$
4. مقارنة المعاملات — نقارن هذا مع كثير الحدود الأصلي $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
   $$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a{x}^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1{r}_2+r_1{r}_3+r_2{r}_3)x-a{r}_1{r}_2{r}_3$$
5. استنتاج مجموع الجذور — من مقارنة معامل $x^2$، نجد أن $b=-a(r_1+r_2+r_3)$، وبالتالي $r_1+r_2+r_3=-b/a$
   $$b=-a(r_1+r_2+r_3)\Rightarrow r_1+r_2+r_3=-\frac{b}{a}$$

$$-\frac{b}{a}$$

← مجموع الجذور هو $-b/a$

1. حساب تكلفة بغداد-أربيل — نعوض d = 350 في العلاقة لحساب تكلفة النقل لكل كيلومتر
   $$C(350)=0.0002{(350)}^3-0.02{(350)}^2+0.5(350)+50$$
2. حساب الحدود — نحسب كل حد من حدود كثير الحدود
   $$0.0002\times 42875000=8575-0.02\times 122500=-24500.5\times 350=17550=50$$
3. جمع الحدود — نجمع جميع الحدود للحصول على تكلفة النقل لكل كيلومتر
   $$C(350)=8575-2450+175+50=6350$$
4. حساب تكلفة بغداد-البصرة — نعوض d = 550 في العلاقة لحساب تكلفة النقل لكل كيلومتر
   $$C(550)=0.0002{(550)}^3-0.02{(550)}^2+0.5(550)+50$$
5. حساب الحدود — نحسب كل حد من حدود كثير الحدود
   $$0.0002\times 166375000=33275-0.02\times 302500=-60500.5\times 550=27550=50$$
6. جمع الحدود — نجمع جميع الحدود للحصول على تكلفة النقل لكل كيلومتر
   $$C(550)=33275-6050+275+50=27550$$

$$6350\text{دينار/كم}\text{و}27550\text{دينار/كم}$$

← تكلفة النقل من بغداد إلى أربيل هي 6350 دينار/كم، ومن بغداد إلى البصرة هي 27550 دينار/كم