دليل مراجعة: المتتاليات الحسابية والهندسية للبكالوريا العراقي | ORBITECH

ما هي المتتالية الحسابية؟

المتتالية الحسابية هي متتالية يكون الفرق بين حدين متتاليين ثابتاً ويسمى «الفرق المشترك» $r$ . $u_{n} = u_{1} + (n - 1) \times r$
تذكر: «الفرق ثابت» هو مفتاح المتتاليات الحسابية!
مثال من العراق: إذا كان سعر كيلو الأرز في 2023 هو 1500 دينار، ويزداد السعر 200 دينار كل سنة، فما سعره في 2028؟ $u_{6} = 1500 + (6 - 1) \times 200 = 2500 دينار$
عدد السنوات = 2028 - 2023 = 5 سنوات → الحد السادس u₆
قانون مجموع المتتالية الحسابية: $S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$ أو $S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) r]$ . $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) r)$
«نصف عدد الحدود» × «مجموع الحد الأول والأخير»

u_{n} = u_{1} + (n - 1) r

المتتالية الهندسية هي متتالية يكون فيها كل حد يساوي الحد السابق مضروباً في «النسبة المشتركة» $r$ . $u_{n} = u_{1} \times r^{n - 1}$
«كل حد يضرب في نفس الرقم» - مثل الفوائد البنكية!
مثال واقعي: إذا وضع طالب 1000000 دينار في بنك بنسبة فائدة 5% سنوياً، فما رصيده بعد 4 سنوات؟ $u_{5} = 1000000 \times {(1.05)}^{4} \approx 1215506 دينار$
الزيادة 5% → النسبة r = 1.05 (ليس 0.05)
قانون مجموع المتتالية الهندسية: $S_{n} = u_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$ إذا $r \neq 1$ . $S_{n} = u_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$
«الحد الأول» × «(1 - ر^ن) على (1 - ر)» - تذكر أن r ≠ 1

u_{n} = u_{1} \times r^{n - 1}

إذا كان الفرق ثابتاً (مثل 200 دينار) → متتالية حسابية. إذا كان النسبة ثابتة (مثل ×1.05) → متتالية هندسية.
اسأل نفسك: «هل الأرقام تزيد بمقدار ثابت أم بنسبة ثابتة؟»
في مسائل السوق: إذا زاد سعر الخضار 500 دينار كل شهر → حسابية. إذا زاد بنسبة 10% كل شهر → هندسية.
«كم» (مقدار) → حسابية | «في كم» (نسبة) → هندسية
في مسائل الفوائد: الفائدة البسيطة → حسابية. الفائدة المركبة → هندسية.
«مركب» = هندسية! «بسيط» = حسابية

تكاليف الدراسة: إذا كانت مصاريف الجامعة 7000000 دينار في السنة الأولى وتزداد 500000 دينار سنوياً، فما إجمالي المصاريف ل4 سنوات؟ $S_{4} = \frac{4}{2} [2 \times 7000000 + (4 - 1) \times 500000] = 31000000 دينار$
«4 سنوات» → n=4، «الزيادة 500000» → r=500000
أسعار السوق: إذا كان سعر كيلو الدجاج 8000 دينار في 2023 ويزداد بنسبة 8% سنوياً، فما سعره في 2026؟ $u_{4} = 8000 \times {(1.08)}^{3} \approx 10077 دينار$
«8% زيادة» → r = 1.08 (ليس 0.08)
الادخار: إذا ادخر طالب 200000 دينار شهرياً بمعدل فائدة 6% سنوياً (مقسمة على 12 شهراً)، فما رصيده بعد 3 سنوات؟ $u_{36} = 200000 \times 12 \times \frac{{(1 + \frac{0.06}{12})}^{36} - 1}{\frac{0.06}{12}} \approx 7694568 دينار$
ادخار شهري → متتالية هندسية مركبة! استخدم القانون المعدل للادخار الشهري

تنسى كتابة الوحدة (دينار، سنة، كيلوغرام) في الإجابة النهائية.
«الوحدة مهمة جداً» - اكتبها دائماً!
تخلط بين r في المتتاليات الحسابية والهندسية (في الحسابية r = الفرق، في الهندسية r = النسبة).
«فرق» (حسابية) | «نسبة» (هندسية) - كلمة واحدة تفرق!
تنسى أن r في المتتالية الهندسية يمكن أن يكون كسراً (مثل 0.95 للإنخفاض).
«الانخفاض 5%» → r = 0.95 (ليس 1.05)
تستخدم القانون الخطأ للمجموع: تستخدم قانون الحسابية للمتتالية الهندسية أو العكس.
«حسابية = فرق» | «هندسية = نسبة» - راجع القوانين قبل الحل!

منهج المتتاليات في البكالوريا العراقي يشمل المتتاليات الحسابية والهندسية منذ عام 2010: تمت إضافة مسائل تطبيقية على الاقتصاد المحلي في المناهج الحديثة
سؤال المتتاليات يمثل 15-20% من درجة مادة الرياضيات في البكالوريا: عادة ما يأتي سؤالين: واحد حسابي وآخر هندسي في نفس الامتحان
أعلى درجة سجلت في مسألة متتاليات كانت 18/20 في بغداد عام 2019: الطالب استخدم أمثلة من سوق الشورجة في حله!