هندسة الفضاء: مراجعة شاملة لامتحان البكالوريا العراقي | ORBITECH

ما ستتعلمه

تعرّف على نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد في الفضاء
احسب المسافة بين نقطتين في الفضاء باستخدام قانون المسافة
اكتب معادلة مستوى في الفضاء باستخدام المتجه الطبيعي
احسب الزاوية بين متجهين في الفضاء باستخدام الضرب القياسي
حل مسائل تطبيقية على هندسة الفضاء مثل حساب حجم متوازي المستطيلات ومساحة المثلثات الفضائية

الوقت المقدر: 15 د المستوى: ●●○○ متوسط

لماذا ندرس هندسة الفضاء؟

الهندسة الفضائية تستخدم في تصميم المباني الأثرية مثل الزقورة في أور وسور بابل في العراق القديم.
تخيل الغرفة التي تجلس فيها الآن، كل جدرانها وسقفها هي أمثلة على مستويين في الفضاء!
تساعدك في حساب المسافات بين المدن العراقية مثل بغداد وأربيل باستخدام الإحداثيات الفضائية.
مثل حساب المسافة بين الساعة في ساحة الخلاني وقصر الثقافة في بغداد
ضرورية لفهم الرسومات الهندسية في الامتحانات، خصوصًا في قسم الرياضيات التطبيقية.
كل 3 نقاط في الفضاء تحدد مستوى واحدًا فقط!

الفضاء الثلاثي الأبعاد يتكون من ثلاثة محاور: س (طول)، ص (عرض)، ع (ارتفاع).
استخدم يدك اليمنى: الإبهام س، السبابة ص، الوسطى ع!
نقطة في الفضاء تمثل بثلاث إحداثيات (س، ص، ع). $(x, y, z)$
مثل موقع قصر السلام في بغداد: (33.3128°N, 44.3615°E, 34m)
المسافة بين نقطتين A(x₁,y₁,z₁) وB(x₂,y₂,z₂) تحسب بقانون المسافة الفضائي. $A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$
مثل حساب المسافة بين جامع الإمام الأعظم ومتحف بغداد

A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}

المتجه في الفضاء له ثلاثة مركبات: \v = (a,b,c). $\vec{v} = (a, b, c)$
think of it as an arrow pointing from origin to (a,b,c)
طول المتجه \v = (a,b,c) هو \|\v\| = $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ . $| \vec{v} | = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
مثل طول سلك يمتد من الأرض إلى سقف الغرفة!
الجمع والطرح: \v ± \w = (a±d, b±e, c±f). $\vec{v} \pm \vec{w} = (a \pm d, b \pm e, c \pm f)$
مثل تحريك صندوق من مكان لآخر في ثلاثة اتجاهات

| \vec{v} | = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

معادلة المستوى: أ(س - س₀) + ب(ص - ص₀) + ج(ع - ع₀) = 0 حيث (أ,ب,ج) هو المتجه الطبيعي. $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$
المتجه الطبيعي عمودي على المستوى!
إذا مر المستوى بنقطة الأصل، تصبح المعادلة أ س + ب ص + ج ع = 0. $a x + b y + c z = 0$
مثل سطح الماء في حوض الاستحمام عندما يكون مستويًا
المسافة بين نقطة \P(س₁,ص₁,ع₁) والمستوى أ س + ب ص + ج ع + د = 0 تحسب بالعلاقة التالية. $d = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$
مثل بعد مئذنة جامع الإمام الأعظم عن جدار السور العباسي

d = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

الزاوية بين متجهين \v و\w تحسب باستخدام الضرب القياسي. $\cos θ = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{| \vec{v} | | \vec{w} |}$
مثل زاوية ميل سقف قصر الثقافة في بغداد عن الأرض
المسافة بين مستقيمين متوازيين في الفضاء تساوي المسافة بين أي نقطة على أحدهما والمستقيم الآخر.
مثل بعد سلكين متوازيين في غرفة الفصل
المسافة بين مستقيم ومستوى متوازيين تساوي المسافة بين أي نقطة على المستقيم والمستوى.
مثل بعد سلك كهربائي عن أرضية الغرفة

\cos θ = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{| \vec{v} | | \vec{w} |}

احسب حجم متوازي المستطيلات الذي أبعاده 3، 4، 5 وحدات. الحل: الحجم = الطول × العرض × الارتفاع = 60 وحدة مكعبة. $V = l \times w \times h$
مثل حجم صندوق الفواكه في سوق الشورجة
اكتب معادلة المستوى المار بالنقطة (1,2,3) والمتجه الطبيعي (2,-1,3). الحل: 2(س-1) -1(ص-2) +3(ع-3) = 0. $2 (x - 1) - (y - 2) + 3 (z - 3) = 0$
مثل جدار غرفة الصف الذي يمر بنقطة معينة
احسب الزاوية بين المتجهين \v=(1,2,3) و\w=(4,5,6). الحل: cosθ = 66/√914 ≈ 0.69 → θ≈46.1°. $\cos θ = \frac{1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} \times \sqrt{4^{2} + 5^{2} + 6^{2}}}$
مثل زاوية ميل سلكين في غرفة الفصل

V = l \times w \times h

اخترع البابليون القدماء نظام الإحداثيات قبل 5000 عام: استخدموا نظام الإحداثيات في بناء الزقورات مثل زقورة أور بالقرب من الناصرية
اكتشف علماء الرياضيات العرب في العصر الذهبي نظام الإحداثيات الديكارتية: طوروا طرقًا لحساب المساحات والأحجام في الفضاء ثلاثي الأبعاد
أول استخدام رسمي لهندسة الفضاء في المناهج العراقية كان في ستينيات القرن العشرين: عندما أدخلت وزارة التربية منهج الرياضيات الحديثة في المدارس الثانوية