المتتاليات العددية: مراجعة البكالوريا العراقية | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تطبيق صيغة الحد النوني للمتتالية الحسابية $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ على مسائل من الاقتصاد العراقي
حساب مجموع المتتالية الحسابية $S_{n}$ باستخدام الصيغة الصحيحة مع أمثلة من أسعار النفط المحلية
تمييز المتتالية الهندسية عن الحسابية باستخدام النسبة المشتركة $r$ في مسائل استثمارات البنك العراقي
تطبيق صيغة مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية $S = \frac{a_{1}}{1 - r}$ على مسائل اقتصادية واقعية
حل مسائل نموذجية من امتحانات البكالوريا العراقية حول المتتاليات مع التركيز على السياق المحلي

المتطلبات السابقة

المتتاليات
النسبة المئوية
المعادلات من الدرجة الأولى

الوقت المقدر: 15 د المستوى: ●●○○ متوسط

المتتاليات الحسابية: التعريف والحد النوني

المتتالية الحسابية هي متتالية يكون الفرق بين كل حدين متتالين ثابتاً ويسمى أساس المتتالية $d$ . مثال: 3, 7, 11, 15... حيث $d = 4$ . $u_{n + 1} - u_{n} = d$
تذكر أن الأساس $d$ يمكن أن يكون سالباً!
الحد النوني للمتتالية الحسابية يُعطى بالصيغة $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . استخدم هذه الصيغة لحساب أي حد في المتتالية. $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
عندما تطلب الحد العاشر، ضع $n = 10$ مباشرة!
إذا كان سعر برميل النفط في اليوم الأول من الشهر 50 دولاراً وارتفع كل يوم بمقدار 2 دولار، فما سعره في اليوم الخامس عشر؟ $a_{15} = 50 + (15 - 1) \times 2 = 78 دولار$
حول المسألة إلى متتالية حسابية: $a_{1} = 50$ , $d = 2$

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

مجموع المتتالية الحسابية: من الرياضيات إلى الاقتصاد العراقي

مجموع أول $n$ حداً من المتتالية الحسابية يُحسب بالصيغة $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ أو $S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$ . $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$
استخدم الصيغة التي تحتوي على $a_{n}$ إذا كنت تعرف الحد الأخير!
خلال 10 أيام متتالية، ارتفع سعر كيلو التمر في سوق بغداد من 5000 دينار إلى 6800 دينار بزيادة ثابتة كل يوم. ما هو مجموع السعر خلال هذه الأيام؟ $S_{10} = \frac{10}{2} (5000 + 6800) = 59000 دينار$
احسب أساس المتتالية أولاً: $d = (6800 - 5000) / 9 = 200$ دينار
في عام 2023، ارتفع سعر برميل النفط العراقي من 45 دولاراً إلى 85 دولاراً خلال 20 يوماً بزيادة ثابتة. ما هو متوسط السعر اليومي؟ $S_{20} = \frac{20}{2} (45 + 85) = 1300 دولار$
متوسط السعر هو مجموع السعر اليومي مقسوم على 20 يوماً

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]

المتتاليات الهندسية: النمو والانهيار في الاقتصاد العراقي

المتتالية الهندسية هي متتالية يكون فيها كل حد يساوي الحد السابق مضروباً في نسبة ثابتة $r$ تسمى النسبة المشتركة. مثال: 2, 6, 18, 54... حيث $r = 3$ . $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = r$
إذا كانت النسبة $r$ بين 0 و1، فإن المتتالية تتناقص!
الحد النوني للمتتالية الهندسية يُعطى بالصيغة $a_{n} = a_{1} \times r^{n - 1}$ . استخدم هذه الصيغة لحساب أي حد. $a_{n} = a_{1} \times r^{n - 1}$
عندما تطلب الحد الرابع، ضع $n = 4$ مباشرة!
استثمرت شركة عراقية 10000 دولار في مشروع بترولي بزيادة سنوية قدرها 10%. ما هو رأس المال بعد 5 سنوات؟ $a_{5} = 10000 \times {(1.10)}^{4} = 14641 دولار$
النسبة $r = 1.10$ تمثل زيادة 10% (1 + 0.10)

a_{n} = a_{1} \times r^{n - 1}

مجموع المتتالية الهندسية: من البنوك إلى الاستثمارات المحلية

مجموع أول $n$ حداً من المتتالية الهندسية يُحسب بالصيغة $S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$ حيث $r \neq 1$ . $S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$
تذكر أن المقام يجب أن يكون $1 - r$ وليس $r - 1$ !
أودعت عائلة عراقية 5000 دولار في بنك محلي بفائدة سنوية 8% مركبة سنوياً. ما هو مجموع المبلغ بعد 6 سنوات؟ $S_{6} = 5000 \times \frac{1 - {1.08}^{6}}{1 - 1.08} = 38968.50 دولار$
هذه صيغة الفائدة المركبة: $S_{n} = a_{1} {(1 + r)}^{n}$ هي حالة خاصة!
إذا كان سعر سيارة في بغداد ينخفض بنسبة 15% سنوياً، فما هو مجموع سعرها بعد 4 سنوات إذا كان سعرها الأصلي 20000 دولار؟ $S_{4} = 20000 \times \frac{1 - {0.85}^{4}}{1 - 0.85} = 63642.50 دولار$
النسبة $r = 0.85$ تمثل انخفاض 15% (1 - 0.15)

S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}

المتتاليات الهندسية اللانهائية: الاقتصاد العراقي والمستقبل

مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية (عندما $| r | < 1$ ) يُعطى بالصيغة $S = \frac{a_{1}}{1 - r}$ . استخدم هذه الصيغة للتنبؤات طويلة الأمد. $S = \frac{a_{1}}{1 - r} إذا | r | < 1$
يجب أن تكون النسبة $r$ بين -1 و1، وإلا لا يوجد مجموع!
إذا كان استثمار ما يولد أرباحاً سنوية تبلغ 1000 دولار وتنمو بنسبة 5% سنوياً، فما هو مجموع الأرباح المستقبلية؟ $S = \frac{1000}{1 - 1.05} (غير موجود لأن r > 1)$
عندما $r > 1$ ، لا يوجد مجموع لانهائي - الأرباح تنمو بلا حدود!
في مشروع زراعي، تتوقع شركة عراقية أرباحاً سنوية تبلغ 5000 دولار وتتناقص بنسبة 2% سنوياً (أي $r = 0.98$ ). ما هو مجموع الأرباح المتوقع؟ $S = \frac{5000}{1 - 0.98} = 250000 دولار$
هذه طريقة حساب القيمة الحالية للاستثمارات طويلة الأمد

S = \frac{a_{1}}{1 - r} (| r | < 1)

تمارين نموذجية: اختبار نفسك قبل الامتحان!

في سوق الموصل، ارتفع سعر كيلو الأرز من 3000 دينار إلى 4500 دينار خلال 12 يوماً بزيادة ثابتة. احسب سعره في اليوم الثامن. $a_{8} = 3000 + (8 - 1) \times 125 = 3875 دينار$
احسب أساس المتتالية أولاً: $d = (4500 - 3000) / 11 = 125$ دينار
استثمرت مؤسسة خيرية في بغداد 2000 دولار بفائدة سنوية 6% مركبة سنوياً. ما هو المبلغ بعد 8 سنوات؟ $a_{8} = 2000 \times {1.06}^{7} = 3187.70 دولار$
السنوات 7 وليس 8 لأن الفائدة تبدأ من السنة الأولى!
إذا كان سعر برميل النفط العراقي 60 دولاراً اليوم وانخفض بنسبة 3% شهرياً، فما هو سعره بعد 5 أشهر؟ $a_{5} = 60 \times {0.97}^{4} = 53.03 دولار$
النسبة $r = 0.97$ تمثل انخفاض 3% (1 - 0.03)
في مشروع تجاري في أربيل، تتوقع شركة أرباحاً سنوية تبلغ 8000 دولار وتنمو بنسبة 4% سنوياً. ما هو مجموع الأرباح المتوقع على المدى البعيد؟ $S = \frac{8000}{1 - 1.04} (غير موجود لأن r > 1)$
عندما تكون النسبة أكبر من 1، لا يوجد مجموع لانهائي!

Points clés

سعر النفط العراقي 2023-01: بلغ متوسط سعر برميل النفط العراقي حوالي 50 دولاراً في بداية عام 2023، ثم ارتفع إلى 85 دولاراً بنهاية العام بسبب تقلبات السوق العالمية
سعر صرف الدينار 2024: بلغ سعر صرف الدولار الأمريكي حوالي 1300 دينار عراقي في عام 2024، مما أثر على أسعار السلع المستوردة
أزمة النفط 2020: في عام 2020، انخفض سعر برميل النفط إلى 20 دولاراً بسبب جائحة كورونا، مما أثر بشدة على الاقتصاد العراقي
استثمارات محلية 2022: شهدت محافظات العراق like البصرة investments كبيرة في مشاريع الطاقة والبنية التحتية بعد تعافي أسعار النفط

المتتاليات الحسابية: التعريف والحد النوني

مجموع المتتالية الحسابية: من الرياضيات إلى الاقتصاد العراقي

المتتاليات الهندسية: النمو والانهيار في الاقتصاد العراقي

مجموع المتتالية الهندسية: من البنوك إلى الاستثمارات المحلية

المتتاليات الهندسية اللانهائية: الاقتصاد العراقي والمستقبل

تمارين نموذجية: اختبار نفسك قبل الامتحان!

Points clés

المصادر