مراجعة شاملة: الدوال التربيعية - البكالوريا العراقي | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تحديد شكل الدالة التربيعية وتمييزها عن الدوال الأخرى باستخدام a وb وc
رسم الدالة التربيعية بيانياً وتحديد رأس القطع ومحور التماثل باستخدام القانون $h = - \frac{b}{2 a}$
حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ وتحديد عدد الحلول الحقيقية
تطبيق الدوال التربيعية في مسائل واقعية عراقية مثل حساب أرباح المتاجر أو المساحات الزراعية
تفسير المميز Δ = b² - 4ac وتحديد عدد الحلول الحقيقية بدون حل المعادلة

المتطلبات السابقة

الدوال الخطية
حل المعادلات من الدرجة الأولى
التمثيل البياني للنقاط على المحاور
العمليات الحسابية الأساسية

الوقت المقدر: 12 د المستوى: ●●○○ متوسط

ما هي الدالة التربيعية؟

الدالة التربيعية هي دالة من الشكل $f (x) = a x^{2} + b x + c$ حيث $a \neq 0$ . $f (x) = a x^{2} + b x + c$
تذكر: إذا اختفى الحد x²، فهي ليست تربيعية! مثل $f (x) = 3 x + 2$
تسمى a معامل x²، b معامل x، وc الحد الثابت. إذا كان $a = 0$ تصبح الدالة خطية.
a决定 شكل القطع: موجب→U، سالب→∩. فكر في جسر في بغداد!
الرسم البياني للدالة التربيعية يسمى قطع مكافئ، وهو شكل متناظر يشبه حرف U أو ∩.
مثل شكل قوس النصر في بغداد أو قبة جامع الإمام الأعظم
إذا كان $a > 0$ ، ينفتح القطع للأعلى (شكل U) وإذا كان $a < 0$ ينفتح للأسفل (شكل ∩).
مثل كوب الشاي: إذا وضعته رأساً على عقب (a<0) أو بشكل عادي (a>0)
نقطة تقاطع الدالة مع محور y هي دائماً (0,c).
عند x=0، يبقى فقط الحد c. جرب بالتعويض!

f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

كيف نرسم الدالة التربيعية؟

رأس القطع المكافئ هو النقطة $(h, k)$ حيث $h = - \frac{b}{2 a}$ و $k = f (h)$ . $V e r t e x : (- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))$
احفظ القانون: h = -b/2a. مثل مركز الدائرة في الرياضيات!
محور التماثل هو الخط العمودي $x = h$ الذي يقسم القطع إلى نصفين متماثلين. $x = - \frac{b}{2 a}$
مثل نهر دجلة: يقسم بغداد إلى نصفين متماثلين
نقطة تقاطع الدالة مع محور y هي دائماً (0,c).
عند x=0، يبقى فقط الحد c. جرب بالتعويض!
إذا كان المميز Δ>0، يقطع المنحنى محور x في نقطتين. إذا Δ=0، يمس المنحنى محور x في نقطة واحدة. إذا Δ<0، لا يقطع محور x. $D e l t a = b^{2} - 4 a c$
Δ>0: نقطتان، Δ=0: نقطة واحدة، Δ<0: لا شيء. مثل عدد الجسور فوق دجلة!
لرسم الدالة، احسب رأس القطع، نقاط التقاطع مع المحاور، ثم ارسم المنحنى بسلاسة.
ابدأ بالرأس، ثم نقاط التقاطع، ثم صل النقاط بسلاسة. مثل رسم خريطة بغداد!

V e r t e x : (- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))

كيف تحل المعادلة التربيعية؟

القانون العام لحل المعادلة $a x^{2} + b x + c = 0$ هو $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ . $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
احفظ القانون: سالب b ± جذر المميز على 2a. مثل وصفة الطبخ!
المميز Δ = b² - 4ac يحدد عدد الحلول الحقيقية بدون حل المعادلة. $D e l t a = b^{2} - 4 a c$
Δ>0: حلان، Δ=0: حل واحد، Δ<0: لا حلول. مثل عدد الأبواب في بيتك!
إذا كان Δ>0، للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان. إذا Δ=0، حل حقيقي واحد مكرر. إذا Δ<0، حلان مركبان.
حلان مختلفان: مثل شخصين مختلفين. حل مكرر: مثل نفس الشخص مرتين!
يمكنك أيضاً حل المعادلة بالتعميل إذا كانت قابلة للتعميل.
ابحث عن عددين حاصل ضربهما ac ومجموعهما b. مثل لعبة الأرقام!
طريقة إكمال المربع مفيدة لفهم أصل القانون العام.
اكتب المعادلة على شكل مربع كامل زائد حد ثابت. مثل بناء بيت!

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

تطبيقات عملية: متى نستخدم الدوال التربيعية في العراق؟

حساب أقصى ارتفاع لقذيفة أو كرة: $h (t) = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ حيث v₀ السرعة الابتدائية وh₀ الارتفاع الابتدائي. $h (t) = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$
مثل كرة القدم في ملعب الزوراء! استخدم t=الزمن، h=الارتفاع
حساب أرباح متجر: إذا كان الربح $P = - 2 x^{2} + 120 x - 800$ حيث x عدد المنتجات المباعة، فأوجد عدد المنتجات لتحقيق ربح 1000 دينار عراقي. $P = - 2 x^{2} + 120 x - 800$
اجعل P=1000 ثم حل المعادلة التربيعية. مثل حساب أرباح السوق في السعدون!
حساب مساحة مستطيل بأبعاد متغيرة: إذا كان طول مستطيل 100 متر وعرضه (100-2x) متر، فمساحته $A = x (100 - 2 x)$ . $A = x (100 - 2 x)$
مثل قطعة أرض في الكرخ. جرب x=20 لترى المساحة
تصميم جسر أو قبة: الدوال التربيعية تصف الأشكال المنحنية في الهندسة المعمارية.
انظر إلى جسر الأئمة في بغداد أو قبة جامع الإمام الأعظم!
حساب أقصى مساحة لمزرعة مستطيلة محاطة بسور: $A = x (L - 2 x)$ حيث L طول السور. $A = x (L - 2 x)$
مثل مزرعة في البصرة. جرب قيم مختلفة لـ x!

P = - 2 x^{2} + 120 x - 800

الأخطاء الشائعة: ما الذي يخطئه طلاب البكالوريا العراقي؟

نسيان أن a لا يمكن أن يساوي صفراً في الدالة التربيعية.
إذا كان a=0، فهي دالة خطية. راجع تعريف الدالة!
حساب رأس القطع بطريقة خاطئة: يجب استخدام $h = - \frac{b}{2 a}$ وليس أي طريقة أخرى.
لا تخمن! استخدم القانون مباشرة. مثل كتابة رقم الهاتف!
عدم حساب المميز Δ قبل حل المعادلة، مما يضيع الوقت في حل معادلات لا حلول حقيقية لها.
احسب Δ أولاً! إذا كان سالباً، لا تضيع وقتك في الحل. مثل فحصWeather قبل الخروج!
الخلط بين إشارة a (موجب/سالب) وشكل القطع المكافئ.
a>0: U، a<0: ∩. ارسم شكلاً صغيراً لتتذكر!
نسيان أن القانون العام يعطي حلين (موجب وسالب الجذر).
± تعني حلين! لا تنسى السالب. مثل طريقين في الصحراء!

Points clés

القانون العام لحل المعادلات التربيعية يعود إلى العالم الهندي براهماغوبتا في القرن السابع الميلادي: وضع براهماغوبتا الصيغة الأولى لحل المعادلات التربيعية في كتابه 'براهما-سفهوتا-سiddhanta'
القطع المكافئ اكتشف من قبل علماء الرياضيات الإغريق في القرن الثالث قبل الميلاد: درس أرخميدس خصائص القطع المكافئ في أبحاثه عن الهندسة
نظام الإحداثيات الديكارتية الذي مكن من دراسة الدوال بيانياً نشره رينيه ديكارت في عام 1637: نشر ديكارت كتابه 'الهندسة' الذي قدم فيه نظام الإحداثيات الديكارتية
الدوال التربيعية تستخدم في الهندسة المعمارية الإسلامية منذ القرن التاسع الميلادي: القباب والجسور في المساجد والقصور العربية تستخدم أشكالاً منحنية شبيهة بالقطع المكافئ
أول استخدام للدوال التربيعية في الاقتصاد كان في القرن الثامن عشر في أوروبا: استخدم الاقتصاديون الدوال التربيعية لوصف العلاقات بين الكمية والسعر

المصادر

en.wikipedia.org