دوال التفاضل: قوانين وحلول لل bac العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حساب مشتقة دالة باستعمال قواعد التفاضل الأساسية (القوة، الجمع، الضرب، القسمة)
تطبيق مفهوم المشتقة في مسائل السرعة والتسارع باستخدام أمثلة من الحركة في العراق
تحليل منحنيات الدوال باستخدام المشتقة الأولى والثانية لاكتشاف النقاط الحرجة والتقعر
حل مسائل القيم العظمى والصغرى في سياقات واقعية مثل تصنيع الصناديق أو خزانات المياه
تفسير النتائج الرياضية في مسائل تطبيقية من الحياة اليومية في بغداد والبصرة

المتطلبات السابقة

الدوال العددية
النهايات
حساب المثلثات الأساسي

الوقت المقدر: 12 د المستوى: ●●○○ متوسط

ما هي المشتقة؟ ولماذا ندرسها؟

المشتقة هي معدل تغير الدالة عند نقطة معينة، مثل سرعة سيارة تتحرك على طريق بغداد-بابل السريع.
تذكر: المشتقة = معدل التغير = ميل المماس للمنحنى
القانون الأساسي للمشتقة: إذا كانت $f (x) = x^{n}$ فإن $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ . خذها قاعدة ذهبية! $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$
للأسس: انسخ الأس وضعه أمام المتغير ثم انقص الأس بواحد
قاعدة الجمع: مشتقة مجموع دالتين هي مجموع مشتقتين. مثل: إذا $h (x) = f (x) + g (x)$ فإن $h^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ . ${(f + g)}^{'} = f^{'} + g^{'}$
الجمع والطرح سهلان، فقط افرق بين الدوال
قاعدة الضرب: مشتقة جداء دالتين هي $f^{'} g + f g^{'}$ . مثال: إذا $h (x) = x^{2} \cdot \sin (x)$ ، فاحسب $h^{'} (x)$ . ${(f \cdot g)}^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
اكتب الأولى مضروبة في مشتقة الثانية زائد الثانية مضروبة في مشتقة الأولى
قاعدة القسمة: مشتقة خارج قسمة دالتين هي $\frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}}$ . مثال: إذا $h (x) = \frac{x}{\sin (x)}$ ، فاحسب $h^{'} (x)$ . ${(\frac{f}{g})}^{'} = \frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}}$
اكتب (الأعلى' × الأدنى ناقص الأعلى × الأدنى') مقسوماً على (الأدنى)²

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

المشتقة في الحركة: السرعة والتسارع

السرعة اللحظية هي مشتقة دالة المسافة بالنسبة للزمن. مثال: إذا كانت المسافة $s (t) = 5 t^{2} + 2 t$ ، فإن السرعة $v (t) = s^{'} (t) = 10 t + 2$ . $v (t) = \frac{d s}{d t}$
السرعة = مشتقة المسافة. تذكر: السرعة هي معدل تغير المسافة
التسارع هو مشتقة السرعة اللحظية. إذا كانت $v (t) = 10 t + 2$ ، فإن التسارع $a (t) = v^{'} (t) = 10$ م/ث². $a (t) = \frac{d v}{d t}$
التسارع = مشتقة السرعة. وحدة القياس هي م/ث²
مثال محلي: قطار من بغداد إلى البصرة (350 كم) يتحرك وفق $s (t) = 0.1 t^{2} + 5 t$ . احسب سرعته بعد 10 ساعات. $v (t) = 0.2 t + 5$
استبدل t=10 في القانون، ستجد السرعة 7 م/ث (حوالي 25 كم/س)
مثال آخر: سيارة تتحرك في شارع الرشيد في بغداد وفق $s (t) = 4 t^{3} - 2 t^{2}$ . احسب تسارعها عند t=2 ثانية. $a (t) = 24 t - 4$
احسب السرعة أولاً ثم اشتقها للحصول على التسارع

v (t) = \frac{d s}{d t} و a (t) = \frac{d v}{d t}

تحليل الدوال: النقاط الحرجة والتقعر

النقاط الحرجة هي حيث $f^{'} (x) = 0$ أو غير موجودة. مثال: حلل $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ في المجال [-1,3]. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$
ضع f'(x)=0 ثم حل المعادلة. ستجد x=0 وx=2 نقاط حرجة
المشتقة الأولى تعطي ميل المماس. إذا $f^{'} (x) > 0$ فالدالة متزايدة، وإذا $f^{'} (x) < 0$ فالدالة متناقصة.
المشتقة الموجبة = الدالة تصعد. المشتقة السالبة = الدالة تنزل
المشتقة الثانية $f^{''} (x)$ تعطي نوع التقعر. إذا $f^{''} (x) > 0$ فالتقعر لأعلى (مثل كوب)، وإذا $f^{''} (x) < 0$ فالتقعر لأسفل (مثل مظلة).
الثانية موجبة = تقعر لأعلى. الثانية سالبة = تقعر لأسفل
اختبار المشتقة الثانية: إذا كانت $f^{'} (c) = 0$ و $f^{''} (c) > 0$ ، فـ c نقطة صغرى محلية. إذا $f^{''} (c) < 0$ ، فـ c نقطة عظمى محلية.
الصغرى = smile (ابتسامة). العظمى = frown (عبوس)
مثال: للدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ، أوجد النقاط الحرجة ونوعها. $f^{'} (x) = 3 x (x - 2), f^{''} (x) = 6 x - 6$
عند x=0: f''(0)=-6<0 → نقطة عظمى. عند x=2: f''(2)=6>0 → نقطة صغرى

f^{'} (x) = 0 ل ت ح د ي د ا ل ن ق ا ط ا ل ح ر ج ة و f^{''} (x) ل ت ح د ي د ن و ع ا ل ت ق ع ر

القيم العظمى والصغرى: مسائل واقعية من العراق

مشكلة: مصنع في الموصل يصنع صناديق بدون غطاء بمساحة قاعدة 400 سم². أوجد الأبعاد التي تقلل المساحة السطحية (وتقلل التكلفة). $S = x^{2} + \frac{1600}{x}$
افرض الطول = العرض = x، الارتفاع = h. المساحة السطحية = القاعدة + 4 الجوانب
الحل: الحجم = 400 = x²h → h=400/x². المساحة السطحية S=x²+4xh=x²+1600/x. نشتق ونضع S'=0 → 2x-1600/x²=0 → x=20 سم. $x = 20 سم, h = 1 سم$
عند x=20، S=1200 سم² (أقل مساحة ممكنة)
مشكلة محلية: خزان ماء في البصرة على شكل أسطوانة دائرية قائمة. إذا كان الحجم 1000 لتر (1 م³)، أوجد الأبعاد التي تقلل المساحة السطحية (لتقلل التكلفة). $S = 2 π r^{2} + \frac{2000}{r}$
الحجم = $π$ r²h = 1 → h=1/( $π$ r²). المساحة السطحية = القاعدتين + السطح الجانبي
الحل: نشتق S بالنسبة لـ r ونضع S'=0. ستجد r≈0.54 م، h≈1.08 م. هذه هي الأبعاد المثلى. $r \approx 0.54 م, h \approx 1.08 م$
عند هذه الأبعاد، المساحة السطحية ≈ 5.53 م² (أقل مساحة ممكنة)
تطبيق آخر: جسر في بغداد يحمل وزناً معيناً. أوجد موضع الدعم الأمثل لتقليل الإجهاد في الجسر.
استخدم قوانين القيم العظمى والصغرى في الهندسة الإنشائية

\frac{d S}{d x} = 0 ل ح ل م س ا ئ ل ا ل ق ي م ا ل ع ظ م ى و ا ل ص غ ر ى

Points clés

القوانين الأساسية للتفاضل نشرت في كتاب «المبادئ الرياضية» لإسحاق نيوتن عام 1687: نيوتن استخدم التفاضل لوصف حركة الكواكب، وهو أساس الفيزياء الحديثة
إدخال مادة الرياضيات الحديثة في مناهج العراق الثانوية في 1980: تضمنت المناهج الجديدة مواضيع التفاضل والتكامل لطلاب البكالوريا
أول ظهور لأسئلة تطبيقية في التفاضل في امتحانات البكالوريا العراقي في 2005: كانت الأسئلة تركز على مسائل واقعية مثل السرعة والتكاليف الصناعية
جامعة بغداد تطلق毎年 مسابقات في الرياضيات التطبيقية للطلاب الجامعيين: تشجع هذه المسابقات على حل مسائل واقعية باستخدام التفاضل

ما هي المشتقة؟ ولماذا ندرسها؟

المشتقة في الحركة: السرعة والتسارع

تحليل الدوال: النقاط الحرجة والتقعر

القيم العظمى والصغرى: مسائل واقعية من العراق

Points clés

المصادر