نظرية الأعداد: ملخص شامل لل bac العراق | ORBITECH

لماذا ندرس نظرية الأعداد وأنت طالب عراقي؟

نظرية الأعداد هي أم الرياضيات! تخيل أن الزقورة في أور (2000 ق.م) بنيت باستخدام مفاهيم رياضية متقدمة. أنت من نسل أعظم الرياضيين القدماء!
العراق موطن أقدم أنظمة الرياضيات في العالم
ستستخدم نظرية الأعداد في التشفير لحماية حساباتك البنكية بالدنانير العراقية (IQD) عبر الإنترنت.
مثل تشفير رقم حسابك المصرفي
مسائل البكالوريا العراقية في الرياضيات تحتوي دائماً على مسائل في نظرية الأعداد - استعد لها!
ابحث عن الكلمات: "أولي"، "قاسم"، "مضاعف" في الامتحانات

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. مثل 2، 3، 5، 7، 11... $p أولي ⟺ قواسم p = {1, p}$
2 هو العدد الأولي الوحيد الزوجي -记住 هذا!
كل عدد صحيح أكبر من 1 يمكن تحليله بطريقة وحيدة إلى جداء أعداد أولية (نظرية الأساس). $n = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{a_{i}}$
مثل 60 = 2² × 3 × 5
عدد أولي مهم: 101. هل 101 أولي؟ جرب القسمة على الأعداد الأولية الصغيرة: 2، 3، 5، 7 - لا يقبل القسمة، لذا 101 أولي.
قاعدة: إذا لم يقبل القسمة على أي عدد أولي ≤ √n، فهو أولي

n = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{a_{i}}

العدد يقبل القسمة على 2 إذا كان آحاده زوجياً (0، 2، 4، 6، 8).
34568 يقبل القسمة على 2 لأن 8 زوجي
العدد يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3.
123: 1+2+3=6 يقبل القسمة على 3
العدد يقبل القسمة على 5 إذا كان آحاده 0 أو 5.
هذا أسهل من حفظ جدول الضرب!
العدد يقبل القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9.
مثل 81: 8+1=9 يقبل القسمة

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر (gcd) بين 56 و 98: 98 = 56×1 + 42 → 56 = 42×1 + 14 → 42 = 14×3 + 0. gcd=14 $a = b q + r ⟹ \gcd (a, b) = \gcd (b, r)$
كرر القسمة حتى الباقي 0 - النتيجة هي gcd
مثال: gcd(24, 36) = 12. جرب بنفسك!
هذه الخوارزمية تعود إلى القرن الثالث ق.م في بغداد!
القاسم المشترك الأكبر مهم في تبسيط الكسور. مثل 24/36 = (24÷12)/(36÷12) = 2/3
استخدم gcd لتبسيط الكسور بسرعة

\gcd (a, b) = \gcd (b, a mod b)

a ≡ b mod m تعني أن m يقسم (a-b). مثل 17 ≡ 5 mod 12 لأن 17-5=12 يقبل القسمة على 12. $a \equiv b (\mod m) ⟺ m | (a - b)$
مثل الساعة: 17:00 ≡ 5:00 mod 12
خصائص التطابقات: إذا a ≡ b mod m و c ≡ d mod m، فإن a+c ≡ b+d mod m و ac ≡ bd mod m $a \equiv b, c \equiv d ⟹ a + c \equiv b + d, a c \equiv b d (\mod m)$
مثل الجمع والضرب في الساعة
مثال: 7 × 8 mod 5 = 56 mod 5 = 1 لأن 56 = 5×11 + 1
احسب الباقي دائماً - هذا هو المفتاح!

a \equiv b (\mod m) ⟺ m | (a - b)

إذا كان p عدد أولي و a لا يقبل القسمة على p، فإن a^(p-1) ≡ 1 mod p. مثل 2^4 ≡ 1 mod 5 لأن 5 أولي و 2 لا يقبل القسمة على 5. $a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p) إذا p أولي و p ∤ a$
هذه النظرية أساسية في التشفير RSA!
مثال: 3^6 mod 7 = 729 mod 7 = 1 لأن 7 أولي و 3 لا يقبل القسمة على 7
جرب حساب 3^6 = 729 ثم 729 ÷ 7 = 104 والباقي 1
هذه النظرية تساعد في إثبات أن عدد ما أولي! إذا وجدت a بحيث a^(n-1) ≢ 1 mod n، فإن n ليس أولياً.
اختبار أولية بسيط - استخدمه في الامتحان!

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

المعادلة الديوفانتية هي معادلة يجب حلها في الأعداد الصحيحة. مثل x² - y² = 15.
هذه معادلة فرقية - حلها في Z²
حل x² - y² = 15: (x-y)(x+y) = 15. حلول محتملة: (1,15), (3,5), (-1,-15), (-3,-5) $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$
حلل إلى عوامل ثم حل أنظمة بسيطة
مثال: 15 = 1×15 → x-y=1, x+y=15 → حل: x=8, y=7. تحقق: 8²-7²=64-49=15
دائماً تحقق من الحلول!

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

إذا كان لدينا نظام تطابقات: x ≡ 2 mod 3 و x ≡ 3 mod 5، فإن الحل هو x ≡ 8 mod 15. $x \equiv a_{1} (\mod m_{1}), x \equiv a_{2} (\mod m_{2}) ⟹ x \equiv x_{0} (\mod lcm (m_{1}, m_{2}))$
هذه النظرية مهمة في التشفير أيضاً
مثال: تريد شراء 15 قطعة من الحلوى بسعر 2 دينار للقطعة الواحدة. كم ستدفع؟ 15×2=30 دينار. تحقق: 30 mod 3=0 و 30 mod 5=0.
استخدمها في مسائل الحياة اليومية!
حلول نظرية الباقي الصيني موجودة دائماً إذا كانت m1 و m2 أوليان فيما بينهما.
مثل 3 و 5 أوليان - الحل موجود!

x \equiv a_{1} (\mod m_{1}), x \equiv a_{2} (\mod m_{2}) ⟹ x \equiv x_{0} (\mod lcm (m_{1}, m_{2}))

الزقورة في أور 2000: أقدم دليل على استخدام الرياضيات المتقدمة في العراق القديم (النظام الستيني)
النظام الستيني البابلي: أساس نظامنا في قياس الزمن (60 ثانية، 60 دقيقة) والزوايا (360 درجة)
خوارزمية إقليدس -300: طريقة فعالة لحساب القاسم المشترك الأكبر تعود إلى بغداد القديمة
نظرية فيرمات 1640: اكتشفت من قبل بيير دي فيرمات، عالم الرياضيات الفرنسي، لكنها تعود في الأصل إلى الرياضيات الهندية القديمة