المتاليات والدوال: مراجعة شاملة للثانوية في العراق

متتالية يكون الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتاً ويسمى أساس المتتالية.

الفرق الثابت يسمى أساس المتتالية ويرمز له بـ d.

متتالية يكون خارج قسمة كل حدين متتاليين ثابتاً ويسمى أساس المتتالية.

النسبة الثابتة تسمى أساس المتتالية الهندسية ويرمز له بـ r.

يمكن حساب الحد النوني باستخدام الصيغة: $a_n=a_1+(n-1)d$.

حيث a1 هو الحد الأول و d هو الأساس.

الأساس d = 9 - 5 = 4.

الفرق بين الحدين المتتاليين هو الأساس.

الحد الخامس a5 = 3 + (5-1)*2 = 11.

احسب بالتعويض في القانون.

يمكن حساب الحد النوني باستخدام الصيغة: $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$.

حيث a1 هو الحد الأول و r هو الأساس.

الأساس r = 6 / 2 = 3.

نسبة الحدين المتتاليين هي الأساس.

الحد الرابع a4 = 1 * 2^(4-1) = 8.

احسب بالتعويض في القانون.

يمكن حساب مجموع أول n حد في متتالية حسابية باستخدام الصيغة: $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$.

أوAlternatively: $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$

يمكن حساب مجموع أول n حد في متتالية هندسية باستخدام الصيغة: $S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$ إذا كان r ≠ 1.

إذا كان r = 1، فإن $S_n$ = n * a1.

إذا كانت تكلفة البناء الأولى 100,000 دينار وزيادة سنوية 5,000 دينار، فالتكلفة في السنة n هي متتالية حسابية.

استخدم القانون $a_n$ = 100000 + (n-1)*5000 لحساب تكلفة السنة n.

إذا أودع طالب 500,000 دينار بفائدة سنوية 4%، فمدخراته بعد n سنة هي متتالية هندسية.

استخدم القانون $a_n$ = 500000 * (1.04)^(n-1) لحساب المبلغ بعد n سنة.

متتالية يكون جميع حدودها متساوية، أي $a_n$ = $a_1$ لكل n.

الأساس d = 0 في المتتالية الحسابية أو r = 1 في المتتالية الهندسية.

متتالية يكون كل حد أصغر من الذي قبله، أي d < 0 في المتتالية الحسابية أو 0 < r < 1 في المتتالية الهندسية.

يمكن أن تكون حسابية أو هندسية.

متتالية لا تقترب حدودها من قيمة ثابتة عندما n تزداد.

مثل المتتالية $a_n$ = $n^2$ أو المتتالية الهندسية مع |r| > 1.

متتالية تقترب حدودها من قيمة ثابتة عندما n تزداد.

مثل المتتالية الهندسية مع |r| < 1 تقترب من 0.

غالباً ما يطلب حساب حد معين أو مجموع أول n حد في متتالية حسابية أو هندسية.

يجب حفظ الصيغ الأساسية وحسابها بدقة.

اكتب القانون المناسب ثم عوّض القيم بشكل صحيح، خاصة في المتتاليات الهندسية (الأساس r).

تأكد من أن الأساس d أو r محسوب بشكل صحيح قبل التعويض.

تتراوح مسائل المتتاليات والدوال بين 10% إلى 15% من درجة مادة الرياضيات في البكالوريا.

تركز على التطبيقات العملية أكثر من النظريات المجردة.

إذا كان سعر الكيلوغرام من الطماطم 1,000 دينار في 2023 وزيادة سنوية 5%, فاستخدم متتالية هندسية لحساب السعر في السنوات القادمة.

السعر في السنة n = 1000 * (1.05)^(n-1).

إذا كان بائع الخضار يكسب 50,000 دينار في اليوم الأول وزيادة 2,000 دينار يومياً، فاستخدم متتالية حسابية لحساب مدخوله في اليوم n.

المدخول في اليوم n = 50000 + (n-1)*2000.

إذا كانت تكلفة الرحلة 75,000 دينار في 2023 وزيادة سنوية 3%, فاستخدم متتالية هندسية لحساب التكلفة في 2025.

التكلفة في 2025 = 75000 * (1.03)^2.

إذا كان عدد الطلاب 800 في 2023 وزيادة 40 طالباً سنوياً، فاستخدم متتالية حسابية لحساب العدد في 2027.

العدد في 2027 = 800 + 4*(40) = 960 طالباً.

إذا كانت تكلفة الملابس 200,000 دينار في عيد الفطر 2023 وزيادة 6% سنوياً، فاستخدم متتالية هندسية لحساب التكلفة في 2025.

التكلفة في 2025 = 200000 * (1.06)^2.

اكتب القانون المناسب (حسابية أو هندسية) ثم عوّض القيم بحذر، خاصة الأساس d أو r.

تأكد من فهم نوع المتتالية قبل البدء في الحل.

الخطأ الشائع هو استخدام قانون المتتالية الحسابية لحل مسألة هندسية أو العكس.

تأكد دائماً من تحديد نوع المتتالية قبل الحل.

احسب الحدين الأولين باستخدام القانون ثم قارنها مع القيم المعطاة للتأكد من صحة الأساس d أو r.

هذه الطريقة تساعد في اكتشاف الأخطاء مبكراً.

خصص آخر 3 أيام قبل الامتحان لمراجعة القوانين وحل مسائل متنوعة، خاصة من نماذج البكالوريا السابقة.

تجنب المذاكرة المتواصلة قبل الامتحان مباشرة.

استخدم المتتاليات الهندسية لحساب مدخراتك إذا أودعت أموالك في بنك بفائدة مركبة.

مثلاً، إذا أودعت 1,000,000 دينار بفائدة 5% سنوياً، فاستخدم $a_n$ = 1000000 * (1.05)^n لحساب المبلغ بعد n سنة.