المثلثات والدوال المثلثية: دليلك للنجاح في البكالوريا العراقية

فرع من الرياضيات يدرس العلاقات بين زوايا وأضلاع المثلثات

يعتمد على النسب المثلثية مثل الجيب، جيب التمام، والظل

نصير الدين الطوسي

ساهم في تطوير الجداول المثلثية واستخدامها في الفلك

جيب الزاوية = المقابل/الوتر، جيب تمام = المجاور/الوتر، ظل = المقابل/المجاور

تذكرها ب 'جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج'

ظل الزاوية = جيب الزاوية ÷ جيب تمام الزاوية

تطبيق مباشر للمتطابقة $\tan$ $\theta$ = $\sin$ $\theta$ / $\cos$ $\theta$

جتا الزاوية = 0.8 (بافتراض أن الوتر = 1)

لأن 0.6² + 0.8² = 1² حسب نظرية فيثاغورس

دائرة نصف قطرها 1 ومركزها عند أصل الإحداثيات

تمثل جميع الدوال المثلثية لجميع الزوايا الحقيقية

إحداثي y للنقطة على دائرة الوحدة

حيث θ هي الزاوية من المحور الموجب x

زاوية الدوران θ تقابل النقطة (cos θ, sin θ) على دائرة الوحدة

تستخدم في تحديد موقع الزوايا في جميع الأرباع

$\sin$ 30° = $\frac{1}{2}$

في مثلث 30-60-90، الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف الوتر

$\tan$ 45° = 1

لأن الضلعين المتقابل والمجاور متساويان في مثلث 45-45-90

$\cos$ 60° = $\frac{1}{2}$

نفس قيمة جيب 30° ولكن في مثلث مختلف

$\sin$^2 $\theta$ + $\cos$^2 $\theta$ = 1

تنطبق على جميع الزوايا الحقيقية

$\tan$ $\theta$ = $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

تنطبق عندما لا يكون جتا θ = 0

$\sin$ 2$\theta$ = 2 $\sin$ $\theta$ $\cos$ $\theta$

تستخدم في تبسيط التعبيرات المثلثية

ارتفاع البرج = ارتفاعك + (المسافة × ظل زاوية النظر)

حيث المسافة هي المسافة الأفقية للبرج عنك

حوالي 5 درجات (550 ÷ 111 ≈ 4.95)

تستخدم في الملاحة الجوية والبحرية

مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع

يمكن حساب الارتفاع باستخدام النسب المثلثية إذا عرفت زاوية وقياس قاعدة

هيبارخوس (Hipparchus)

وضع أول جدول مثلثات في القرن الثاني قبل الميلاد

أول جداول معروفة لقيم الجيب، الجيب تمام، والظل

ساهمت في تطوير علم الفلك

$\tan$ $\theta$ = $\frac{3}{4}$

لأن المقابل=3، المجاور=4، الوتر=5 (مثلث 3-4-5)