الرياضيات الأساسية: الصيغ الجبرية للثانوية العامة في العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

اكتب المعادلات الخطية من شكلها العام إلى الصيغة المبسطة باستخدام عمليات جبرية
حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام أو التحليل إلى عوامل
حل أنظمة معادلتين خطيتين بمتغيرين باستخدام طريقة التعويض أو الحذف
احسب الحدود الأولى لمتتاليات حسابية أو هندسية باستخدام الصيغ العامة
استخدم الدوال الأسية لحل مسائل نمو أو تضاؤل مثل أسعار السلع أو السكان
طبّق المتطابقات الهامة (مثل مربع مجموع حدين) في تبسيط التعابير الجبرية

المتطلبات السابقة

الجمع والطرح والضرب
القوى والجذور
المتغيرات في المعادلات

الوقت المقدر: 20 د المستوى: ●●○○ متوسط

المعادلات الخطية

صيغ لحل المعادلات من الدرجة الأولى بمتغير واحد أو متغيرين

المعادلة الخطية بمتغير واحد law

a \cdot x + b = 0

Formes alternatives

$x = - \frac{b}{a}$ — الحل النهائي للمعادلة

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل المتغير x a ≠ 0
`x`	المتغير المجهول
`b`	الحد الثابت

Exemple : في سوق بغداد، ثمن كيلو من الطماطم (x) يعطى بالمعادلة 3500x + 2000 = 14000. جد ثمن الكيلو الواحد.

المعادلة الخطية بمتغيرين law

a \cdot x + b \cdot y = c

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل x a ≠ 0
`b`	معامل y b ≠ 0
`x`	المتغير الأول
`y`	المتغير الثاني
`c`	الحد الثابت

Exemple : اشترى تاجر من سوق السجاد في اربيل 5 سجاد و 3 وسائد بمبلغ 1 250 000 دينار. اشترى تاجر آخر 2 سجاد و 4 وسائد بنفس السعر بمبلغ 980 000 دينار. جد ثمن السجاد الواحد والوسادة الواحدة.

حل نظام معادلتين خطيتين (طريقة الحذف) law

{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}

Formes alternatives

$x = \frac{c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}, y = \frac{a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$ — الحل العام للنظام

Symbole	Signification	Unité
`a₁`	معامل x في المعادلة الأولى
`b₁`	معامل y في المعادلة الأولى
`c₁`	الحد الثابت في المعادلة الأولى
`a₂`	معامل x في المعادلة الثانية
`b₂`	معامل y في المعادلة الثانية
`c₂`	الحد الثابت في المعادلة الثانية

Exemple : حل النظام: 2x + 3y = 12 و 4x - y = 5 باستخدام طريقة الحذف.

المعادلات التربيعية

صيغ لحل المعادلات من الدرجة الثانية بمتغير واحد

الصيغة العامة للمعادلة التربيعية law

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل x² a ≠ 0
`x`	المتغير المجهول
`b`	معامل x
`c`	الحد الثابت

Exemple : مساحة حديقة مستطيلة 400 م². إذا كان طولها يزيد عن عرضها بـ 10 م، جد بعدي الحديقة.

القانون العام لحل المعادلة التربيعية law

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل x² a ≠ 0
`b`	معامل x
`c`	الحد الثابت
`x`	حل المعادلة

Exemple : حل المعادلة 2x² - 8x + 6 = 0 باستخدام القانون العام.

المميز Δ definition

Δ = b^{2} - 4 a c

Symbole	Signification	Unité
`Δ`	المميز Δ > 0: حلان حقيقيان مختلفان, Δ = 0: حل حقيقي مزدوج, Δ < 0: حلان مركبان
`a`	معامل x²
`b`	معامل x
`c`	الحد الثابت

Exemple : احسب المميز للمعادلة x² - 4x + 4 = 0 وحدد عدد الحلول.

المتتاليات الحسابية والهندسية

صيغ لحساب الحدود والمجموع في المتتاليات الحسابية والهندسية

الحد العام للمتتالية الحسابية law

u_{n} = u_{1} + (n - 1) r

Symbole	Signification	Unité
`uₙ`	الحد النوني
`u₁`	الحد الأول
`n`	رقم الحد n ≥ 1
`r`	الفرق المشترك

Exemple : في مزرعة في البصرة، تنتج شجرة نخيل 50 كيلو تمر في السنة الأولى. كل سنة تنتج 8 كيلو أكثر من السنة السابقة. كم ستنتج الشجرة في السنة العاشرة؟

مجموع الحدود الأولى للمتتالية الحسابية law

S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})

Formes alternatives

$S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) r]$ — الصيغة البديلة باستخدام الفرق المشترك

Symbole	Signification	Unité
`Sₙ`	مجموع الحدود الأولى
`n`	عدد الحدود n ≥ 1
`u₁`	الحد الأول
`uₙ`	الحد النوني

Exemple : احسب مجموع أول 12 حداً في المتتالية الحسابية: 3, 7, 11, 15, ...

الحد العام للمتتالية الهندسية law

u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}

Symbole	Signification	Unité
`uₙ`	الحد النوني
`u₁`	الحد الأول
`n`	رقم الحد n ≥ 1
`q`	الأساس أو النسبة المشتركة q ≠ 0

Exemple : في سوق الموصل، ارتفع سعر كيلو القمح من 800 دينار إلى 1000 دينار ثم إلى 1250 دينار. إذا استمر هذا النمط الهندسي، كم سيكون سعر الكيلو في السنة الخامسة؟

مجموع الحدود الأولى للمتتالية الهندسية law

S_{n} = u_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

Formes alternatives

$S_{n} = u_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ — الصيغة البديلة

Symbole	Signification	Unité
`Sₙ`	مجموع الحدود الأولى
`u₁`	الحد الأول
`q`	النسبة المشتركة q ≠ 1
`n`	عدد الحدود n ≥ 1

Exemple : احسب مجموع أول 6 حدود في المتتالية الهندسية: 2, 6, 18, 54, ...

الدوال الأسية

صيغ للدوال الأسية والنمو والتضاؤل الأسي

الصيغة العامة للدالة الأسية law

f (x) = a \cdot b^{x}

Formes alternatives

$f (x) = a \cdot e^{k x}$ — الصيغة الطبيعية باستخدام العدد النيبيري e

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	قيمة الدالة عند x
`a`	الحد الأول أو القيمة الابتدائية a > 0
`b`	الأساس b > 0, b ≠ 1
`x`	الأس أو المتغير

Exemple : عدد سكان مدينة اربيل كان 1.5 مليون نسمة في 2020. إذا نما السكان بنسبة 2% سنوياً، كم سيكون عدد السكان في 2030؟ (افترض نمو أسي مستمر)

نمو أسي مستمر law

N (t) = N_{0} \cdot e^{r t}

Symbole	Signification	Unité
`N(t)`	القيمة عند الزمن t
`N₀`	القيمة الابتدائية
`r`	معدل النمو النسبي r > 0 للنمو, r < 0 للتضاؤل
`t`	الزمن بوحدات زمن متفق عليها (سنوات, أيام...)
`e`	العدد النيبيري ≈ 2.71828

Exemple : ارتفع سعر لتر البنزين في بغداد من 500 دينار إلى 600 دينار خلال 6 أشهر. إذا استمر التضاؤل بنفس المعدل، كم سيكون سعر اللتر بعد 2 سنة؟

نصف العمر أو نصف العمر (للانحلال) definition

T_{1 / 2} = \frac{\ln (2)}{k}

Symbole	Signification	Unité
`T₁/₂`	نصف العمر الزمن اللازم لانحلال نصف الكمية	سنة
`k`	معدل الانحلال k > 0	1/سنة
`ln`	الدالة اللوغاريتمية الطبيعية

Dimensions : $[T]$

Exemple : إذا كان نصف عمر مادة مشعة 5 سنوات، كم ستنخفض الكمية بعد 15 سنة إذا كان الكمية الابتدائية 1000 وحدة؟

المتطابقات الهامة

صيغ لتبسيط التعابير الجبرية باستخدام المتطابقات الشهيرة

مربع مجموع حدين identity

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Symbole	Signification	Unité
`a`	الحد الأول
`b`	الحد الثاني

Exemple : بسّط التعبير (3x + 4)² باستخدام المتطابقة.

مربع الفرق بين حدين identity

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Symbole	Signification	Unité
`a`	الحد الأول
`b`	الحد الثاني

Exemple : احسب (5x - 2)² بدون ضرب الحدود.

فرق بين مربعين identity

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Symbole	Signification	Unité
`a`	الحد الأول
`b`	الحد الثاني

Exemple : حلل إلى عوامل 16x² - 25y².

مكعب مجموع حدين identity

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Symbole	Signification	Unité
`a`	الحد الأول
`b`	الحد الثاني

Exemple : بسّط التعبير (x + 2)³.

المسافة والسرعة والزمن

صيغ لحساب المسافات والأوقات والسرعات في المسائل الحركية

المسافة = السرعة × الزمن law

d = v \cdot t

Formes alternatives

$v = \frac{d}{t}$ — السرعة بدلالة المسافة والزمن
$t = \frac{d}{v}$ — الزمن بدلالة المسافة والسرعة

Symbole	Signification	Unité
`d`	المسافة	كيلومتر
`v`	السرعة المتوسطة	كيلومتر/ساعة
`t`	الزمن	ساعة

Dimensions : $[L]$

Exemple : سافر علي من بغداد إلى البصرة (حوالي 550 كم) بسرعة متوسطة 80 كم/ساعة. كم استغرقت الرحلة؟

المسافة بين مدينتين (مسافة على الطريق) theorem

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`d`	المسافة بين النقطتين	كيلومتر
`x₁`	الإحداثي السيني للنقطة الأولى
`y₁`	الإحداثي الصادي للنقطة الأولى
`x₂`	الإحداثي السيني للنقطة الثانية
`y₂`	الإحداثي الصادي للنقطة الثانية

Dimensions : $[L]$

Exemple : جد المسافة بين بغداد (0,0) والبصرة (550,0) باستخدام صيغة المسافة.

المتوسط الحسابي (المعدل) definition

m = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}

Symbole	Signification	Unité
`m`	المتوسط الحسابي
`xᵢ`	القيم i = 1 إلى n
`n`	عدد القيم n ≥ 1

Exemple : درجات طالب في 5 اختبارات: 85, 90, 78, 92, 88. احسب معدله.

المعادلات الخطية

المعادلات التربيعية

المتتاليات الحسابية والهندسية

الدوال الأسية

المتطابقات الهامة

المسافة والسرعة والزمن

المصادر