حدود ومشتقات: لغة التغيير في الرياضيات العراقية | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حساب نهاية دالة عند نقطة باستخدام قواعد الحدود المختلفة
إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام تعريف النهاية
تطبيق قاعدة السلسلة لحساب مشتقات الدوال المركبة
إيجاد معادلة المماس لمنحنى عند نقطة معينة
حل مسائل تطبيقية على معدلات التغير باستخدام المشتقات

المتطلبات السابقة

دوال الجبر الأساسية
مفاهيم النهايات
الميل والخطوط المستقيمة
التفاضل والتكامل الأساسي

الوقت المقدر: 15 د المستوى: ●●○○ متوسط

تعريف النهاية

المفاهيم الأساسية للنهاية وكيفية حسابها عند نقطة أو عند اللانهاية

نهاية دالة عند نقطة definition

\lim_{x \to a} f (x) = L

Formes alternatives

$f (x) \to L عندما x \to a$ — الشكل البديل للنهاية

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة الدالة التي نريد حساب نهايتها
`a`	النقطة النقطة التي نأخذ النهاية عندها
`L`	النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة

Exemple : احسب نهاية الدالة $f (x) = 3 x + 2$ عند $x = 5$ : $\lim_{x \to 5} (3 x + 2) = 17$

نهاية دالة عند اللانهاية definition

\lim_{x \to \infty} f (x) = L

Formes alternatives

$f (x) \to L عندما x \to \infty$ — الشكل البديل للنهاية عند اللانهاية

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة الدالة التي نريد حساب نهايتها عند اللانهاية
`L`	النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عند x→∞

Exemple : احسب نهاية الدالة $f (x) = \frac{1}{x}$ عند $x \to \infty$ : $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

نهاية الدالة الثابتة law

\lim_{x \to a} c = c

Symbole	Signification	Unité
`c`	الثابت قيمة ثابتة لا تعتمد على x
`a`	النقطة أي نقطة في مجال الدالة

Exemple : احسب $\lim_{x \to 100} 500$ : النتيجة هي 500 دينار (مثل سعر ثابت للبنزين)

قوانين النهايات

القوانين الأساسية لحساب النهايات مثل الجمع والضرب والقسمة

نهاية مجموع الدوال law

\lim_{x \to a} [f (x) + g (x)] = \lim_{x \to a} f (x) + \lim_{x \to a} g (x)

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة الأولى أي دالة معرفة في جوار a
`g(x)`	الدالة الثانية أي دالة معرفة في جوار a
`a`	النقطة النقطة التي نأخذ النهاية عندها

Exemple : إذا كان $\lim_{x \to 2} f (x) = 3$ و $\lim_{x \to 2} g (x) = 5$ ، فإن $\lim_{x \to 2} [f (x) + g (x)] = 8$

نهاية حاصل ضرب الدوال law

\lim_{x \to a} [f (x) \cdot g (x)] = \lim_{x \to a} f (x) \cdot \lim_{x \to a} g (x)

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة الأولى
`g(x)`	الدالة الثانية
`a`	النقطة النقطة التي نأخذ النهاية عندها

Exemple : إذا كان $\lim_{x \to 1} f (x) = 4$ و $\lim_{x \to 1} g (x) = 2$ ، فإن $\lim_{x \to 1} [f (x) \cdot g (x)] = 8$

نهاية حاصل قسمة الدوال law

\lim_{x \to a} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{\lim_{x \to a} f (x)}{\lim_{x \to a} g (x)} إذا \lim_{x \to a} g (x) \neq 0

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	البسط الدالة في البسط
`g(x)`	المقام الدالة في المقام، يجب ألا تساوي نهايتها صفراً
`a`	النقطة النقطة التي نأخذ النهاية عندها

Exemple : إذا كان $\lim_{x \to 3} f (x) = 9$ و $\lim_{x \to 3} g (x) = 3$ ، فإن $\lim_{x \to 3} [\frac{f (x)}{g (x)}] = 3$ (مثل معدل سعر الطماطم لكل كيلوغرام)

تعريف المشتقة

المشتقة كمعدل تغير لحظي للدالة، وتعريفها باستخدام النهاية

تعريف المشتقة باستخدام النهاية definition

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Formes alternatives

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} حيث Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ — الشكل البديل باستخدام Δx وΔy

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة الدالة التي نريد حساب مشتقتها
`h`	الزيادة قيمة صغيرة تقترب من الصفر
`f'(x)`	المشتقة معدل تغير الدالة عند النقطة x

Exemple : احسب مشتقة الدالة $f (x) = x^{2}$ عند أي نقطة x: $f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = 2 x$

المشتقة عند نقطة معينة definition

f^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة الدالة التي نريد حساب مشتقتها عند النقطة a
`a`	النقطة النقطة التي نريد حساب المشتقة عندها
`f'(a)`	المشتقة عند a معدل تغير الدالة عند النقطة a

Exemple : احسب مشتقة الدالة $f (x) = x^{2}$ عند النقطة $a = 3$ : $f^{'} (3) = \lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = 6$

المشتقة كدالة definition

\frac{d y}{d x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

Formes alternatives

$f^{'} (x) = \frac{d f}{d x}$ — الشكل البديل باستخدام f'(x)

Symbole	Signification	Unité
`y`	الدالة الدالة y = f(x)
`\Delta x`	الزيادة في x قيمة صغيرة تقترب من الصفر
`\Delta y`	الزيادة في y التغير في الدالة نتيجة التغير في x
`\frac{dy}{dx}`	المشتقة معدل تغير y بالنسبة لـ x

Exemple : إذا كانت $y = 2 x + 1$ ، فإن $\frac{d y}{d x} = 2$ (معدل تغير ثابت مثل سعر البنزين الثابت)

قواعد الاشتقاق

القواعد الأساسية لحساب مشتقات الدوال المختلفة

مشتقة الثابت law

\frac{d}{d x} [c] = 0

Symbole	Signification	Unité
`c`	الثابت قيمة ثابتة لا تعتمد على x

Exemple : مشتقة الدالة $f (x) = 500$ (سعر ثابت للبنزين) هي 0

مشتقة الدالة الخطية law

\frac{d}{d x} [m x + b] = m

Symbole	Signification	Unité
`m`	الميل معدل تغير الدالة الخطية
`b`	القطع مع المحور y قيمة ثابتة

Exemple : إذا كانت $f (x) = 3 x + 2$ ، فإن $f^{'} (x) = 3$ (مثل معدل تغير سعر سلعة معينة)

قاعدة القوة law

\frac{d}{d x} [x^{n}] = n x^{n - 1}

Symbole	Signification	Unité
`n`	الأس عدد حقيقي
`x`	المتغير المتغير المستقل

Exemple : احسب مشتقة $f (x) = x^{4}$ : $f^{'} (x) = 4 x^{3}$

قاعدة الضرب law

\frac{d}{d x} [u \cdot v] = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

Symbole	Signification	Unité
`u`	الدالة الأولى أي دالة قابلة للاشتقاق
`v`	الدالة الثانية أي دالة قابلة للاشتقاق
`u'`	مشتقة u
`v'`	مشتقة v

Exemple : إذا كانت $f (x) = x^{2} \cdot \sin x$ ، فإن $f^{'} (x) = 2 x \sin x + x^{2} \cos x$

قاعدة القسمة law

\frac{d}{d x} [\frac{u}{v}] = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`u`	البسط الدالة في البسط
`v`	المقام الدالة في المقام، يجب ألا تساوي صفراً
`u'`	مشتقة البسط
`v'`	مشتقة المقام

Exemple : إذا كانت $f (x) = \frac{x}{\sin x}$ ، فإن $f^{'} (x) = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^{2} x}$

قاعدة السلسلة law

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Symbole	Signification	Unité
`f`	الدالة الخارجية الدالة الخارجية في التركيب
`g(x)`	الدالة الداخلية الدالة الداخلية في التركيب
`f'(g(x))`	مشتقة f عند g(x)
`g'(x)`	مشتقة g

Exemple : إذا كانت $f (x) = \sin (3 x^{2})$ ، فإن $f^{'} (x) = 6 x \cos (3 x^{2})$

مشتقة الدوال المثلثية law

\frac{d}{d x} [\sin x] = \cos x; \frac{d}{d x} [\cos x] = - \sin x; \frac{d}{d x} [\tan x] = \sec^{2} x

Symbole	Signification	Unité
`x`	المتغير المتغير الزاوي بالراديان	rad

Exemple : مشتقة $f (x) = \sin x$ هي $f^{'} (x) = \cos x$

تطبيقات المشتقات

استخدام المشتقات لحساب معدلات التغير والمماسات

معادلة المماس لمنحنى law

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

Formes alternatives

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ — الشكل المائل لمعادلة الخط

Symbole	Signification	Unité
`f(a)`	قيمة الدالة عند a قيمة الدالة عند النقطة a
`f'(a)`	مشتقة الدالة عند a ميل المماس عند النقطة a
`x`	الإحداثي السيني المتغير المستقل
`y`	الإحداثي الصادي المتغير التابع

Exemple : أوجد معادلة المماس للدالة $f (x) = x^{2}$ عند النقطة $a = 1$ : $y = 2 x - 1$ (مثل ميل سعر سلعة عند نقطة معينة)

معدل التغير اللحظي definition

\frac{d y}{d x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

Symbole	Signification	Unité
`y`	الدالة الدالة التي ندرس معدل تغيرها
`x`	المتغير المستقل المتغير الذي نغيره
`\frac{dy}{dx}`	معدل التغير اللحظي معدل تغير y بالنسبة لـ x

Exemple : إذا كانت المسافة $s (t) = 5 t^{2}$ (كم) بعد t ساعة، فإن السرعة اللحظية عند t=2 ساعة هي $v (2) = 20$ كم/ساعة

السرعة اللحظية definition

v (t) = \frac{d s}{d t}

Symbole	Signification	Unité
`s(t)`	المسافة المسافة كدالة في الزمن	km
`v(t)`	السرعة السرعة اللحظية	km/h
`t`	الزمن الزمن بالساعات	h

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : إذا كانت $s (t) = 4 t^{3}$ (كم)، فإن السرعة عند t=2 ساعة هي $v (2) = 48$ كم/ساعة (مثل سرعة سيارة في بغداد-بصرى)

التعجيل اللحظي definition

a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} s}{d t^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`v(t)`	السرعة السرعة كدالة في الزمن	km/h
`a(t)`	التعجيل التعجيل اللحظي	km/h²
`t`	الزمن الزمن بالساعات	h

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 2}$

Exemple : إذا كانت $v (t) = 6 t^{2}$ (كم/ساعة)، فإن التعجيل عند t=1 ساعة هو $a (1) = 12$ كم/ساعة²

تعريف النهاية

قوانين النهايات

تعريف المشتقة

قواعد الاشتقاق

تطبيقات المشتقات

المصادر