نظرية الأعداد: أسرار الأرقام المثيرة في العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

الأعداد الأولية و دالة العد

الصيغ الأساسية المتعلقة بالأعداد الأولية وكيفية تقدير عددها ضمن مجال معين

تقريب دالة العد للأعداد الأولية approximation

π (n) \approx \frac{n}{\ln n}

Formes alternatives

$π (n) \sim \frac{n}{\ln n}$ — الصيغة الدقيقة للتقريب عندما يكبر n

Symbole	Signification	Unité
`\pi(n)`	دالة العد للأعداد الأولية عدد الأعداد الأولية الأصغر أو равны n
`n`	عدد صحيح موجب الحد الأعلى للفترة التي نريد حساب أعدادها الأولية فيها

Exemple : عدد الأعداد الأولية حتى 5000: π(5000) ≈ 669 (القيمة الحقيقية 669)

غربال إراتوستينس لاكتشاف الأعداد الأولية algorithm

S = {n \in ℕ | 2 \leq n \leq N} ∖ ⋃_{p أولي, p \leq \sqrt{N}} {k m | k \geq 2, k m \leq N}

Symbole	Signification	Unité
`S`	مجموعة الأعداد الأولية حتى N النتائج بعد تطبيق الغربال
`N`	الحد الأعلى للفترة مثلاً 100 أو 1000

Exemple : اكتشاف الأعداد الأولية حتى 30: S = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

اختبار أولية فيرمات (للأعداد الأولية الكبيرة) theorem

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p) إذا كان p عدداً أولياً و a ليس من مضاعفات p

Formes alternatives

$a^{p} \equiv a (\mod p)$ — الصيغة المكافئة لاختبار فيرمات

Symbole	Signification	Unité
`p`	عدد صحيح موجب العدد المراد اختباره
`a`	أساس الاختبار عادة ما نختار a=2

Exemple : اختبار أولية 17: 2¹⁶ ≡ 1 (mod 17) لذا 17 عدد أولي (القيمة الحقيقية 17 عدد أولي)

القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

الصيغ الأساسية لحساب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر باستخدام خوارزمية إقليدس

خوارزمية إقليدس لحساب القاسم المشترك الأكبر algorithm

\gcd (a, b) = {\begin{matrix} a & إذا b = 0 \\ \gcd (b, a mod b) & إذا b \neq 0 \end{matrix}

Formes alternatives

$\gcd (a, b) = \gcd (b, a - q b) حيث q = ⌊ \frac{a}{b} ⌋$ — الصيغة العامة لخوارزمية إقليدس

Symbole	Signification	Unité
`\gcd(a, b)`	القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b a > b > 0 عادة
`a \bmod b`	باقي قسمة a على b 0 ≤ a mod b < b

Exemple : حساب gcd(126, 36): gcd(126,36)=gcd(36,18)=gcd(18,0)=18

العلاقة بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر law

lcm (a, b) = \frac{| a \cdot b |}{\gcd (a, b)}

Symbole	Signification	Unité
`\text{lcm}(a, b)`	المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b a, b ≠ 0
`\gcd(a, b)`	القاسم المشترك الأكبر

Exemple : حساب lcm(8,12): lcm(8,12) = (8×12)/gcd(8,12) = 96/4 = 24

صيغة القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد law

\gcd (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = \gcd (\gcd (a_{1}, a_{2}), a_{3}, \dots, a_{n})

Symbole	Signification	Unité
`a_1, a_2, \ldots, a_n`	أعداد صحيحة موجبة يمكن أن يكون n ≥ 2

Exemple : حساب gcd(24,36,60): gcd(gcd(24,36),60) = gcd(12,60) = 12

التطابقات العددية

الصيغ الأساسية المتعلقة بالتطابقات العددية وخواصها الأساسية

تعريف التطابق العددي definition

a \equiv b (\mod m) \Leftrightarrow m | (a - b)

Formes alternatives

$a \equiv b (\mod m) ⟺ a = b + k m لعدد صحيح k$ — الصيغة المكافئة للتطابق

Symbole	Signification	Unité
`a, b`	عددان صحيحان
`m`	المقياس (عدد صحيح موجب) m > 0

Exemple : 25 ≡ 4 (mod 7) لأن 25-4=21 و 7|21

خواص التطابقات (الجمع والطرح) law

إذا a \equiv b (\mod m) و c \equiv d (\mod m) فإن: a \pm c \equiv b \pm d (\mod m)

Symbole	Signification	Unité
`a, b, c, d`	أعداد صحيحة
`m`	المقياس m > 0

Exemple : إذا 17 ≡ 2 (mod 5) و 13 ≡ 3 (mod 5) فإن 17+13 ≡ 2+3 ≡ 0 (mod 5)

خواص التطابقات (الضرب) law

إذا a \equiv b (\mod m) و c \equiv d (\mod m) فإن: a \cdot c \equiv b \cdot d (\mod m)

Symbole	Signification	Unité
`a, b, c, d`	أعداد صحيحة
`m`	المقياس m > 0

Exemple : إذا 8 ≡ 3 (mod 5) و 7 ≡ 2 (mod 5) فإن 8×7 ≡ 3×2 ≡ 6 ≡ 1 (mod 5)

تطبيقات على أسعار السلع المحلية application

S \equiv P (\mod 1000) حيث S سعر السلعة و P سعرها بعد الضريبة

Symbole	Signification	Unité
`S`	السعر النهائي للسلعة بعد الضريبة مثلاً سعر كيلو تمر بعد الضريبة	دينار عراقي
`P`	السعر الأصلي قبل الضريبة مثلاً سعر كيلو تمر قبل الضريبة	دينار عراقي

Exemple : إذا كان سعر كيلو تمر 5000 دينار قبل الضريبة، فإن سعره بعد ضريبة 10% سيكون 5500 ≡ 500 (mod 1000)

المعادلات الديوفانتية البسيطة

الصيغ المتعلقة بحل المعادلات الديوفانتية الخطية وشرط وجود حلول لها

المعادلة الديوفانتية الخطية equation

a x + b y = c

Symbole	Signification	Unité
`a, b, c`	معاملات المعادلة أعداد صحيحة
`x, y`	المتغيرات (أعداد صحيحة) الحلول المطلوبة

Exemple : المعادلة 15x + 25y = 100: يمكن حلها بإيجاد gcd(15,25)=5 و 5|100 لذا يوجد حلول

شرط وجود حلول للمعادلة الديوفانتية الخطية theorem

a x + b y = c يوجد حل إذا وفقط إذا كان \gcd (a, b) | c

Symbole	Signification	Unité
`a, b, c`	معاملات المعادلة أعداد صحيحة
`\gcd(a, b)`	القاسم المشترك الأكبر

Exemple : المعادلة 8x + 12y = 20: gcd(8,12)=4 و 4|20 لذا يوجد حلول

الحل العام للمعادلة الديوفانتية الخطية theorem

إذا (x_{0}, y_{0}) حل خاص للمعادلة a x + b y = c فإن الحل العام هو: x = x_{0} + \frac{b}{d} k, y = y_{0} - \frac{a}{d} k حيث d = \gcd (a, b) و k \in ℤ

Symbole	Signification	Unité
`x_0, y_0`	حل خاص للمعادلة أي حل واحد للمعادلة
`a, b, c`	معاملات المعادلة
`k`	عدد صحيح مؤشر الحل العام

Exemple : حل المعادلة 6x + 9y = 15: حل خاص (1,1) والحل العام x=1+3k, y=1-2k

المبرهنات الأساسية في نظرية الأعداد

المبرهنات الأساسية التي تشكل أساس نظرية الأعداد الحديثة

المبرهنة الأساسية في الحساب theorem

n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \dots p_{m}^{k_{m}} حيث p_{i} أعداد أولية مميزة و k_{i} \geq 1

Formes alternatives

$n = \prod_{p أولي} p^{v_{p} (n)}$ — الصيغة باستخدام دالة القيمة الأولية

Symbole	Signification	Unité
`n`	عدد صحيح موجب >1
`p_i`	عوامل أولية مميزة $p_{1}$ < $p_{2}$ < ... < $p_{m}$
`k_i`	أُسس العوامل الأولية $k_{i}$ ≥ 1

Exemple : تحليل 1260: 1260 = 2² × 3² × 5¹ × 7¹

مبرهنة أويلر (للأعداد الأولية) theorem

إذا كان \gcd (a, n) = 1 فإن a^{ϕ (n)} \equiv 1 (\mod n)

Symbole	Signification	Unité
`a`	عدد صحيح يجب أن يكون a و n互素
`n`	عدد صحيح موجب >1
`\phi(n)`	دالة أويلر عدد الأعداد ≤n و gcd(a,n)=1

Exemple : a=3, n=7: φ(7)=6 و 3⁶ ≡ 1 (mod 7)

مبرهنة فيرمات الصغيرة theorem

a^{p} \equiv a (\mod p) إذا كان p عدداً أولياً

Formes alternatives

$a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p) إذا كان p ∤ a$ — الصيغة الشائعة لاختبار أولية الأعداد الكبيرة

Symbole	Signification	Unité
`a`	عدد صحيح
`p`	عدد أولي

Exemple : a=5, p=3: 5³ ≡ 5 (mod 3) لأن 125 ≡ 2 ≡ 5 (mod 3)

الأعداد الأولية و دالة العد

القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

التطابقات العددية

المعادلات الديوفانتية البسيطة

المبرهنات الأساسية في نظرية الأعداد

المصادر