المثلثات: قوانين وحقائق في العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تحديد الدوال المثلثية الأساسية (جا، جتا، ظا) في مثلث قائم الزاوية باستخدام SOHCAHTOA
التحويل بين قياسات الزوايا بالدرجات والراديان بدقة
حل مثلث قائم الزاوية في سياقات عراقية (مسافات بين المدن، ارتفاعات معالم)
استخدام المتطابقات المثلثية الأساسية (جا² + جتا² = 1) لتبسيط التعبيرات
تطبيق قانون الجيب وقانون جيب التمام في مسائل واقعية باستخدام بيانات محلية

المتطلبات السابقة

نظرية فيثاغورس
تعريف الدوال المثلثية الأساسية
قياس الزوايا (درجات وراديان)

الوقت المقدر: 15 د المستوى: ●●○○ متوسط

تعريفات أساسية للدوال المثلثية

الدوال المثلثية الأساسية في مثلث قائم الزاوية وكيفية حسابها باستخدام أطوال الأضلاع

تعريف الدوال المثلثية (SOHCAHTOA) definition

\sin θ = \frac{Opposé}{Hypoténuse} = \frac{a}{c}

Formes alternatives

$\cos θ = \frac{Adjacent}{Hypoténuse} = \frac{b}{c}$ — استخدمها عندما تعرف الضلع المجاور والوتر
$\tan θ = \frac{Opposé}{Adjacent} = \frac{a}{b}$ — استخدمها عندما تعرف الضلعين القائمين

Symbole	Signification	Unité
`\theta`	زاوية حادة الزاوية بين الضلع المجاور والوتر	درجة أو راديان
`a`	الضلع المقابل للزاوية θ طول الضلع المقابل مباشرة للزاوية θ	متر
`b`	الضلع المجاور للزاوية θ طول الضلع المجاور للزاوية θ (ليس الوتر)	متر
`c`	الوتر أطول ضلع في المثلث القائم، مقابل للزاوية القائمة	متر

Exemple : في مثلث قائم الزاوية، إذا كان الضلع المقابل للزاوية 30° يساوي 5 م وكان الوتر 10 م، احسب جا(30°). الحل: جا(30°) = 5/10 = 0.5

النسب المثلثية للزوايا الخاصة definition

\sin 30 ° = \frac{1}{2}, \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30 ° = \frac{1}{\sqrt{3}}

Symbole	Signification	Unité
`30°, 45°, 60°`	زوايا خاصة زوايا لها قيم مثلثية معروفة بدقة	درجة

Exemple : احسب ارتفاع الزiggورات في أور إذا كان ظل الزاوية 45° يساوي 1، والمسافة من المراقب إلى قاعدة الزiggورة 30 م. الحل: الارتفاع = 30 م × 1 = 30 م (ارتفاع الزiggورة ≈ 30 م)

قوانين الدوال المثلثية للزوايا المتتامة identity

\sin (90 ° - θ) = \cos θ, \cos (90 ° - θ) = \sin θ, \tan (90 ° - θ) = \frac{1}{\tan θ}

Symbole	Signification	Unité
`\theta`	زاوية حادة يجب أن تكون θ < 90°	درجة

Exemple : إذا كان جا(30°) = 0.5، احسب جتا(60°). الحل: جتا(60°) = جا(30°) = 0.5 (لأن 60° = 90° - 30°)

المتطابقات المثلثية الأساسية

المتطابقات الأساسية التي تربط بين الدوال المثلثية وتستخدم في تبسيط التعبيرات وحل المعادلات

متطابقة فيثاغورس المثلثية identity

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

Formes alternatives

$1 + \tan^{2} θ = \frac{1}{\cos^{2} θ}$ — اشتق من المتطابقة الأساسية بقسمة كل حد على جتا²θ
$1 + \cot^{2} θ = \frac{1}{\sin^{2} θ}$ — اشتق من المتطابقة الأساسية بقسمة كل حد على جا²θ

Symbole	Signification	Unité
`\theta`	الزاوية يمكن أن تكون أي زاوية (حادة، منفرجة، كاملة)	درجة أو راديان
`\sin \theta`	جيب الزاوية نسبة الضلع المقابل للوتر
`\cos \theta`	جيب التمام للزاوية نسبة الضلع المجاور للوتر

Exemple : إذا كان جا(θ) = 0.6، احسب جتا(θ). الحل: جتا²(θ) = 1 - جا²(θ) = 1 - 0.36 = 0.64 → جتا(θ) = 0.8 (نأخذ القيمة الموجبة للزوايا الحادة)

متطابقات جمع وطرح الزوايا identity

\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β

Formes alternatives

$\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$ — انتبه للإشارة في المعادلة
$\tan (α \pm β) = \frac{\tan α \pm \tan β}{1 \mp \tan α \tan β}$ — استخدمها لحساب ظل مجموع زاويتين

Symbole	Signification	Unité
`\alpha, \beta`	زاويتان يمكن أن تكون أي زوايا	درجة

Exemple : احسب جا(75°) باستخدام جا(45° + 30°). الحل: جا(75°) = جا(45°)جتا(30°) + جتا(45°)جا(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 ≈ 0.9659

متطابقات ضعف الزاوية identity

\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ, \cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ

Formes alternatives

$\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 \sin^{2} θ$ — صيغ بديلة مفيدة حسب المعطيات

Symbole	Signification	Unité
`\theta`	الزاوية يمكن أن تكون أي زاوية	درجة

Exemple : إذا كان جا(θ) = 0.5، احسب جا(2θ). الحل: جتا(θ) = √(1 - 0.25) = √0.75 ≈ 0.866 → جا(2θ) = 2 × 0.5 × 0.866 ≈ 0.866

قانون الجيب وقانون جيب التمام

القوانين الأساسية لحل أي مثلث (ليس بالضرورة قائم الزاوية) باستخدام أطوال أضلاعه وقياسات زواياه

قانون الجيب law

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

Symbole	Signification	Unité
`a, b, c`	أضلاع المثلث a مقابل للزاوية A، b مقابل للزاوية B، c مقابل للزاوية C	متر
`A, B, C`	زوايا المثلث مجموع الزوايا = 180°	درجة
`R`	نصف قطر الدائرة المحيطة الدائرة التي تمر بجميع رؤوس المثلث	متر

Exemple : في مثلث، إذا كان الضلع a = 10 م، والزاوية A = 30°، والزاوية B = 45°، احسب الضلع b. الحل: من قانون الجيب: 10/جا(30°) = b/جا(45°) → b = 10 × جا(45°)/جا(30°) = 10 × (√2/2)/(1/2) = 10√2 ≈ 14.14 م

قانون جيب التمام law

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C

Formes alternatives

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ — استخدمها عندما تعرف الضلعين b, c والزاوية A
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B$ — استخدمها عندما تعرف الضلعين a, c والزاوية B

Symbole	Signification	Unité
`a, b, c`	أضلاع المثلث c هو الضلع المقابل للزاوية C	متر
`C`	الزاوية المحصورة بين الضلعين a و b يجب أن تكون C بين 0° و 180°	درجة

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : احسب المسافة بين بغداد والبصرة عبر الصحراء إذا عرفت أن المسافة المباشرة 550 كم، والمسافة من بغداد إلى نقطة على الطريق 300 كم، ومن البصرة إلى نفس النقطة 400 كم، والزاوية بينهما 60°. الحل: ج² = 300² + 400² - 2×300×400×جتا(60°) = 90000 + 160000 - 120000 = 130000 → ج = √130000 ≈ 360.56 كم

قانون مساحة المثلث باستخدام الدوال المثلثية definition

A = \frac{1}{2} a b \sin C

Formes alternatives

$A = \frac{1}{2} b c \sin A$ — استخدمها عندما تعرف الضلعين b, c والزاوية A
$A = \frac{1}{2} a c \sin B$ — استخدمها عندما تعرف الضلعين a, c والزاوية B

Symbole	Signification	Unité
`A`	مساحة المثلث	متر مربع
`a, b`	ضلعان من المثلث الضلعان اللذان يشكلان الزاوية C	متر
`C`	الزاوية المحصورة بين الضلعين a و b يجب أن تكون C بين 0° و 180°	درجة

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : احسب مساحة مثلث إذا كان الضلعان 10 م و 15 م، والزاوية بينهما 30°. الحل: A = 0.5 × 10 × 15 × جا(30°) = 75 × 0.5 = 37.5 م²

التحويل بين الدرجات والراديان

العلاقة بين وحدتي قياس الزوايا الأكثر شيوعاً في الرياضيات والفيزياء

التحويل من درجات إلى راديان definition

θ_{rad} = θ_{deg} \times \frac{π}{180}

Symbole	Signification	Unité
`\theta_{\text{deg}}`	الزاوية بالدرجات القياس الشائع في الحياة اليومية	درجة
`\theta_{\text{rad}}`	الزاوية بالراديان القياس المستخدم في الرياضيات المتقدمة والفيزياء	راديان

Exemple : حول 45° إلى راديان. الحل: 45 × (π/180) = π/4 ≈ 0.7854 راديان

التحويل من راديان إلى درجات definition

θ_{deg} = θ_{rad} \times \frac{180}{π}

Symbole	Signification	Unité
`\theta_{\text{rad}}`	الزاوية بالراديان القياس المستخدم في الرياضيات المتقدمة	راديان
`\theta_{\text{deg}}`	الزاوية بالدرجات القياس الشائع في الحياة اليومية	درجة

Exemple : حول π/3 راديان إلى درجات. الحل: (π/3) × (180/π) = 60°

زوايا شهيرة بالتحويل definition

0 ° = 0 rad, 30 ° = \frac{π}{6} rad, 45 ° = \frac{π}{4} rad, 60 ° = \frac{π}{3} rad, 90 ° = \frac{π}{2} rad

Symbole	Signification	Unité
`0°, 30°, 45°, 60°, 90°`	زوايا شهيرة يجب حفظها عن ظهر قلب	درجة

Exemple : كم راديان في دورة كاملة (360°)؟ الحل: 360 × (π/180) = 2π راديان

الدوال المثلثية العكسية

الدوال التي تعيد الزاوية بمعلومية قيمة الدالة المثلثية، مع تحديد المجال الرئيسي

دوال مثلثية عكسية definition

y = \arcsin x ⟺ x = \sin y, y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

Formes alternatives

$y = \arccos x ⟺ x = \cos y, y \in [0, π]$ — لاحظ اختلاف المجال عن جا⁻¹
$y = \arctan x ⟺ x = \tan y, y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ — لا يشمل ±π/2 لأن ظا(±π/2) غير معرف

Symbole	Signification	Unité
`x`	قيمة الدالة المثلثية -1 ≤ x ≤ 1 للدوال جا⁻¹ وجتا⁻¹
`y`	الزاوية (بالراديان) النتيجة تقع في المجال الرئيسي	راديان
`\arcsin`	جيب عكسي تعطي الزاوية في المجال [-π/2, π/2]
`\arccos`	جيب تمام عكسي تعطي الزاوية في المجال [0, π]
`\arctan`	ظل عكسي تعطي الزاوية في المجال [-π/2, π/2]

Exemple : إذا كان جا(θ) = 0.5، احسب θ باستخدام الدالة العكسية. الحل: θ = جا⁻¹(0.5) = 30° أو π/6 راديان (في المجال الرئيسي)

علاقة الدوال العكسية بزوايا المثلثات identity

\arcsin (\sin θ) = θ, إذا θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

Formes alternatives

$\arccos (\cos θ) = θ, إذا θ \in [0, π]$ — لاحظ اختلاف المجال

Symbole	Signification	Unité
`\theta`	الزاوية يجب أن تكون في المجال الرئيسي للدالة	راديان

Exemple : احسب جا⁻¹(جا(150°)). الحل: 150° خارج مجال جا⁻¹ ([-90°, 90°])، لذا جا⁻¹(جا(150°)) = جا⁻¹(جا(180°-150°)) = جا⁻¹(جا(30°)) = 30°

حل المعادلات المثلثية الأساسية identity

\sin θ = k ⟹ θ = \arcsin k + 360 ° n أو θ = 180 ° - \arcsin k + 360 ° n, n \in ℤ

Formes alternatives

$\cos θ = k ⟹ θ = \arccos k + 360 ° n أو θ = - \arccos k + 360 ° n$ — لاحظ اختلاف الصيغة
$\tan θ = k ⟹ θ = \arctan k + 180 ° n$ — الحل الوحيد بسبب الطبيعة الدورية لظا

Symbole	Signification	Unité
`k`	قيمة الدالة -1 ≤ k ≤ 1
`n`	عدد صحيح تمثل جميع الحلول الدورية

Exemple : حل المعادلة جا(θ) = 0.5. الحل: θ = 30° + 360°n أو θ = 150° + 360°n، حيث n عدد صحيح

تطبيقات عملية في السياق العراقي

أمثلة واقعية من الحياة العراقية تستخدم الدوال المثلثية في حل المسائل

قياس ارتفاع مبنى باستخدام زاوية الارتفاع definition

h = d \tan θ

Symbole	Signification	Unité
`h`	ارتفاع المبنى الارتفاع عن مستوى العين	متر
`d`	المسافة الأفقية من المراقب إلى قاعدة المبنى يجب أن تكون d > 0	متر
`\theta`	زاوية الارتفاع الزاوية بين الخط الأفقي ومستقيم النظر إلى قمة المبنى	درجة

Dimensions : $[L]$

Exemple : إذا وقفت على بعد 50 م من قاعدة الزiggورات في أور وقياس زاوية الارتفاع إلى القمة فكانت 30°، احسب ارتفاع الزiggورة. الحل: h = 50 × ظا(30°) ≈ 50 × 0.577 ≈ 28.87 م (الارتفاع الفعلي ≈ 30 م)

حساب المسافة بين مدينتين عبر مثلث غير قائم law

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C}

Symbole	Signification	Unité
`a, b`	مسافتين من نقطة مرجعية مثلاً من بغداد إلى البصرة ومن بغداد إلى أربيل	كيلومتر
`C`	الزاوية بين المسافتين عند النقطة المرجعية مثلاً الزاوية بين الطريق من بغداد إلى البصرة والطريق من بغداد إلى أربيل	درجة
`c`	المسافة المباشرة بين المدينتين مثلاً المسافة بين البصرة وأربيل	كيلومتر

Dimensions : $[L]$

Exemple : إذا كانت المسافة من بغداد إلى البصرة 550 كم، ومن بغداد إلى أربيل 350 كم، والزاوية بينهما عند بغداد 60°، احسب المسافة المباشرة بين البصرة وأربيل. الحل: ج = √(550² + 350² - 2×550×350×جتا(60°)) = √(302500 + 122500 - 192500) = √232500 ≈ 482.2 كم

حساب مساحة قطعة أرض مثلثة الشكل definition

A = \frac{1}{2} a b \sin C

Symbole	Signification	Unité
`A`	مساحة الأرض	متر مربع
`a, b`	ضلعان متجاوران من الأرض مثلاً طول واجهة الأرض وعرضها	متر
`C`	الزاوية بين الضلعين مثلاً زاوية بين شارعين متقاطعين	درجة

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : إذا كانت قطعة أرض على شكل مثلث، طول ضلعين منها 20 م و 25 م، والزاوية بينهما 45°، احسب مساحتها. الحل: A = 0.5 × 20 × 25 × جا(45°) ≈ 250 × 0.707 ≈ 176.75 م²

حساب طول ظل عمود باستخدام زاوية الشمس definition

L = h \cot θ

Formes alternatives

$L = \frac{h}{\tan θ}$ — صيغة مكافئة باستخدام ظا

Symbole	Signification	Unité
`L`	طول الظل طول ظل العمود على الأرض	متر
`h`	ارتفاع العمود مثلاً عمود كهرباء أو سارية علم	متر
`\theta`	زاوية ارتفاع الشمس الزاوية بين أشعة الشمس والأرض	درجة

Dimensions : $[L]$

Exemple : إذا كان عمود كهرباء ارتفاعه 8 م وقياس ظلّه 4 م، احسب زاوية ارتفاع الشمس. الحل: 4 = 8 / ظا(θ) → ظا(θ) = 2 → θ = ظا⁻¹(2) ≈ 63.43°

تعريفات أساسية للدوال المثلثية

المتطابقات المثلثية الأساسية

قانون الجيب وقانون جيب التمام

التحويل بين الدرجات والراديان

الدوال المثلثية العكسية

تطبيقات عملية في السياق العراقي

المصادر