مبادئ الجبر الأساسية للعراقيين | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

خواص العمليات الجبرية

القوانين الأساسية التي تحكم عمليات الجمع والضرب في الجبر

الخاصية التبديلية للجمع law

a + b = b + a

Symbole	Signification	Unité
`a`	العدد الأول يمكن أن يكون أي عدد حقيقي
`b`	العدد الثاني يمكن أن يكون أي عدد حقيقي

Exemple : إذا كان لديك 3 تفاحات و5 برتقالات، فعدد الفواكه الإجمالي هو نفسه 5 برتقالات و3 تفاحات: 3 + 5 = 5 + 3 = 8

الخاصية التبديلية للضرب law

a \times b = b \times a

Symbole	Signification	Unité
`a`	العدد الأول يمكن أن يكون أي عدد حقيقي
`b`	العدد الثاني يمكن أن يكون أي عدد حقيقي

Exemple : إذا اشتريت 4 أقلام سعر الواحد 2000 دينار، فالمبلغ الإجمالي هو نفسه 2000 × 4 = 8000 دينار أو 4 × 2000 = 8000 دينار

الخاصية التجميعية للجمع law

(a + b) + c = a + (b + c)

Symbole	Signification	Unité
`a`	العدد الأول يمكن أن يكون أي عدد حقيقي
`b`	العدد الثاني يمكن أن يكون أي عدد حقيقي
`c`	العدد الثالث يمكن أن يكون أي عدد حقيقي

Exemple : عند جمع 2 + 3 + 5: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 و2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

الخاصية التوزيعية law

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

Symbole	Signification	Unité
`a`	العامل المشترك يمكن أن يكون أي عدد حقيقي
`b`	العدد الأول يمكن أن يكون أي عدد حقيقي
`c`	العدد الثاني يمكن أن يكون أي عدد حقيقي

Exemple : إذا اشتريت 3 أقلام سعر الواحد 1500 دينار و4 دفاتر سعر الواحد 2500 دينار، فالمبلغ الإجمالي = 3×(1500 + 2500) = 3×4000 = 12000 دينار

المعادلات الخطية

حل المعادلات من الدرجة الأولى باستخدام العمليات الأساسية

حل المعادلة من الدرجة الأولى law

a \cdot x + b = c

Formes alternatives

$a \cdot x = c - b$ — نقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر
$x = \frac{c - b}{a}$ — الصيغة النهائية لحل المعادلة

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل المجهول عدد حقيقي غير صفري (a ≠ 0)
`b`	الثابت الأول عدد حقيقي
`c`	الثابت الثاني عدد حقيقي
`x`	المجهول المتغير الذي نبحث عن قيمته

Exemple : إذا كان ثمن 5 كراسات يساوي 10000 دينار، فما ثمن الكراسة الواحدة؟ 5x = 10000 → x = 10000/5 = 2000 دينار

معادلة الخط المستقيم definition

y = m \cdot x + b

Symbole	Signification	Unité
`m`	الميل معدل التغير، يمكن أن يكون موجباً أو سالباً
`x`	المتغير المستقل القيمة المدخلة (مثل الزمن أو المسافة)
`b`	المقطع الصادي قيمة y عندما x = 0
`y`	المتغير التابع القيمة الناتجة

Exemple : إذا كان سعر الكيلوغرام الواحد من التفاح 3000 دينار، فما سعر 7 كيلوغرامات؟ y = 3000x + 0 → y = 3000×7 = 21000 دينار

قاعدة الضرب التبادلي للمعادلات law

a = b \Rightarrow a \cdot c = b \cdot c (c \neq 0)

Symbole	Signification	Unité
`a`	الطرف الأول للمعادلة عدد حقيقي
`b`	الطرف الثاني للمعادلة عدد حقيقي
`c`	العامل المضروب عدد حقيقي غير صفري

Exemple : إذا كان 2x = 10، فإن 2x × 5 = 10 × 5 → 10x = 50، وبالتالي x = 5

المعادلات التربيعية

حل المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة التربيعية

الصيغة التربيعية law

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Formes alternatives

$a x^{2} + b x + c = 0$ — الصورة العامة للمعادلة التربيعية

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل x² عدد حقيقي غير صفري (a ≠ 0)
`b`	معامل x عدد حقيقي
`c`	الثابت عدد حقيقي
`x`	حل المعادلة قيمة المتغير x

Exemple : حل المعادلة 2x² + 4x - 6 = 0: x = [-4 ± √(16 + 48)]/4 = [-4 ± √64]/4 = [-4 ± 8]/4 → x = 1 أو x = -3

مجموع وجداء الجذور theorem

α + β = - \frac{b}{a}; α \cdot β = \frac{c}{a}

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل x² عدد حقيقي غير صفري
`b`	معامل x عدد حقيقي
`c`	الثابت عدد حقيقي
`\alpha`	الجذر الأول حل المعادلة
`\beta`	الجذر الثاني حل المعادلة

Exemple : للمعادلة x² - 5x + 6 = 0، مجموع الجذور = 5، وجدار الجذور = 6. الجذور هما 2 و3 لأن 2+3=5 و2×3=6

تحليل ثلاثي الحدود التربيعي identity

a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل x² عدد حقيقي غير صفري
`x`	المتغير المتغير في المعادلة
`\alpha`	الجذر الأول حل المعادلة
`\beta`	الجذر الثاني حل المعادلة

Exemple : تحليل 2x² - 4x - 6: أولاً نقسم على 2 → x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) ثم نضرب في 2 → 2(x - 3)(x + 1)

المتباينات

قوانين حل المتباينات مع مراعاة تغير إشارة المتباينة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب

قاعدة جمع وطرح المتباينات law

a < b \Rightarrow a + c < b + c

Symbole	Signification	Unité
`a`	الطرف الأول للمتباينة عدد حقيقي
`b`	الطرف الثاني للمتباينة عدد حقيقي
`c`	العدد المضاف عدد حقيقي

Exemple : إذا كان ثمن 3 كتب أقل من 15000 دينار، فإن ثمن 3 كتب + 2000 دينار أقل من 17000 دينار: 3x < 15000 → 3x + 2000 < 17000

قاعدة ضرب وقسمة المتباينات law

a < b \Rightarrow a \cdot c ≶ b \cdot c (c ≶ 0)

Symbole	Signification	Unité
`a`	الطرف الأول للمتباينة عدد حقيقي
`b`	الطرف الثاني للمتباينة عدد حقيقي
`c`	العامل المضروب عدد حقيقي

Exemple : إذا كان ثمن 5 كراسات أقل من 25000 دينار (5x < 25000)، فإن ثمن كراسة واحدة: x < 5000. عند قسمة طرفي المتباينة على 5 (عدد موجب)، تبقى إشارة المتباينة كما هي

حل متباينة من الدرجة الأولى law

a x + b < c \Rightarrow x < \frac{c - b}{a} (a > 0)

Formes alternatives

$a x + b > c \Rightarrow x > \frac{c - b}{a} (a > 0)$ — عندما تكون المتباينة أكبر من

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل x عدد حقيقي موجب
`b`	الثابت الأول عدد حقيقي
`c`	الثابت الثاني عدد حقيقي
`x`	المتغير المتغير في المتباينة

Exemple : إذا كان ثمن 4 دفاتر أقل من 30000 دينار، فما سعر الدفتر الواحد؟ 4x < 30000 → x < 7500 دينار (أي أن سعر الدفتر أقل من 7500 دينار)

الأنظمة الخطية

حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين باستخدام طرق التعويض والحذف

طريقة التعويض method

{\begin{matrix} x = \frac{c - b \cdot y}{a} \\ a x + b y = c \end{matrix}

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل x في المعادلة الأولى عدد حقيقي
`b`	معامل y في المعادلة الأولى عدد حقيقي
`c`	الثابت في المعادلة الأولى عدد حقيقي
`x`	المتغير الأول المتغير الذي نحل من أجله
`y`	المتغير الثاني المتغير الثاني

Exemple : حل النظام: 2x + y = 10 وx - y = 2. من المعادلة الثانية: x = y + 2. نعوض في الأولى: 2(y+2) + y = 10 → 3y + 4 = 10 → y = 2 → x = 4

طريقة الحذف method

{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0 \end{matrix}

Symbole	Signification	Unité
`a1`	معامل x في المعادلة الأولى عدد حقيقي
`b1`	معامل y في المعادلة الأولى عدد حقيقي
`c1`	الثابت في المعادلة الأولى عدد حقيقي
`a2`	معامل x في المعادلة الثانية عدد حقيقي
`b2`	معامل y في المعادلة الثانية عدد حقيقي
`c2`	الثابت في المعادلة الثانية عدد حقيقي

Exemple : حل النظام: 3x + 2y = 12 و2x - y = 1. نضرب المعادلة الثانية في 2: 4x - 2y = 2. نجمع مع المعادلة الأولى: 7x = 14 → x = 2. نعوض في المعادلة الثانية: 2×2 - y = 1 → y = 3

قاعدة كرامر (Cramer's Rule) theorem

x = \frac{D_{x}}{D}; y = \frac{D_{y}}{D}

Symbole	Signification	Unité
`D`	المحدد الرئيسي D = a1b2 - a2b1
`Dx`	المحدد x Dx = c1b2 - c2b1
`Dy`	المحدد y Dy = a1c2 - a2c1
`x`	حل المتغير x قيمة المتغير x
`y`	حل المتغير y قيمة المتغير y

Exemple : حل النظام: x + 2y = 5 و3x - y = 1. D = (1)(-1) - (3)(2) = -1 - 6 = -7. Dx = (5)(-1) - (1)(2) = -5 - 2 = -7. Dy = (1)(1) - (3)(5) = 1 - 15 = -14. إذن x = Dx/D = (-7)/(-7) = 1، y = Dy/D = (-14)/(-7) = 2

خواص العمليات الجبرية

المعادلات الخطية

المعادلات التربيعية

المتباينات

الأنظمة الخطية

المصادر