نماذج رياضية: الصيغ الأساسية للنماذج في العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تطبيق نموذج النمو الأسي على بيانات سكانية لمدينة عراقية مثل بغداد أو البصرة
حل معادلة تفاضلية بسيطة لوصف انتشار مرض معدٍ في منطقة حضرية عراقية
استخدام نموذج خطي للانحدار لتقدير تكلفة مشروع بناء في محافظة عراقية
حساب الوسط الحسابي والانحراف المعياري لأسعار سلعة محلية (مثل الطماطم) في سوق عراقي
تمثيل نظام ديناميكي بسيط (نموذج سولو) للنمو الاقتصادي لمحافظة عراقية

المتطلبات السابقة

المعادلات الخطية
الدوال الأسية
الاشتقاق الأساسي
الإحصاء الوصفي

الوقت المقدر: 20 د المستوى: ●●○○ متوسط

النماذج الخطية

نماذج تصف العلاقة بين متغيرين باستخدام دالة خطية بسيطة، أساسية في الاقتصاد والهندسة

معادلة الخط المستقيم law

y = m \cdot x + b

Formes alternatives

$y - y_{1} = m \cdot (x - x_{1})$ — صيغة النقطة والميل (عندما تعرف نقطة على الخط)

Symbole	Signification	Unité
`y`	القيمة التابعة المتغير الذي نريد تقديره (مثال: تكلفة مشروع)
`m`	الميل معدل التغير (مثال: تكلفة المتر المربع في البناء)
`x`	القيمة المستقلة المتغير المفسر (مثال: مساحة البناء بالمتر المربع)
`b`	المقطع الصادي القيمة الثابتة (مثال: تكلفة التصاميم الهندسية)

Dimensions : $[1]$

Exemple : إذا كانت تكلفة بناء 100 متر مربع في بغداد 50 مليون دينار عراقي (50 000 000 IQD) وتكلفة 150 متر مربع 70 مليون دينار، فما تكلفة بناء 200 متر مربع؟

نظام معادلتين خطيتين law

{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}

Symbole	Signification	Unité
`x`	المتغير الأول مثال: عدد العمال
`y`	المتغير الثاني مثال: عدد الآلات
`a₁, b₁, c₁`	معاملات المعادلة الأولى قيم محددة حسب المشكلة (مثال: 2x + 3y = 100)
`a₂, b₂, c₂`	معاملات المعادلة الثانية قيم محددة حسب المشكلة (مثال: 4x + y = 120)

Dimensions : $[1]$

Exemple : في مشروع بناء في الموصل: 2x + 3y = 100 (الميزانية) و 4x + y = 120 (القيود الفنية). أوجد عدد العمال (x) والآلات (y) الممكنين.

الانحدار الخطي البسيط law

y = a + b \cdot x

Formes alternatives

$y - \overline{y} = b \cdot (x - \overline{x})$ — صيغة الانحدار عبر المتوسطات

Symbole	Signification	Unité
`y`	المتغير التابع القيمة المراد تقديرها (مثال: تكلفة المشروع)
`a`	المقطع الصادي القيمة الأساسية للتكلفة
`b`	المعامل الخطي تكلفة الوحدة (مثال: لكل متر مربع)
`x`	المتغير المستقل المساحة أو الكمية

Dimensions : $[1]$

Exemple : تقدير تكلفة بناء 180 متر مربع في البصرة إذا كان الانحدار الخطي based على بيانات سابقة: y = 10 000 000 + 250 000x (حيث x المساحة بالمتر المربع)

النماذج الأسية واللوغاريتمية

نماذج تصف النمو أو الاضمحلال بمعدل نسبي ثابت، أساسية في الديموغرافيا والأوبئة والاقتصاد

النمو الأسي law

P (t) = P_{0} \cdot e^{r \cdot t}

Formes alternatives

$P (t) = P_{0} \cdot {(1 + R)}^{t}$ — صيغة النمو المركب السنوي (R معدل النمو السنوي)
$t = \frac{\ln (P (t) / P_{0})}{r}$ — حل الزمن t بدلالة القيم

Symbole	Signification	Unité
`P(t)`	القيمة في الزمن t عدد السكان أو الكمية في الزمن t	نسمة
`P₀`	القيمة الابتدائية عدد السكان أو الكمية في الزمن t=0	نسمة
`r`	معدل النمو النسبي مثال: 0.02 للسنة (2% سنوياً)
`t`	الزمن زمن النمو	سنة

Dimensions : $[1]$

Exemple : عدد سكان بغداد 8 ملايين نسمة في 2023 (P₀=8×10⁶) بمعدل نمو 2% سنوياً (r=0.02). كم سيكون عدد السكان في 2033؟ (t=10 سنوات)

الاضمحلال الأسي law

N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}

Formes alternatives

$N (t) = N_{0} \cdot {(1 - d)}^{t}$ — صيغة الاضمحلال السنوي (d نسبة الاضمحلال السنوي)

Symbole	Signification	Unité
`N(t)`	الكمية المتبقية في الزمن t كمية المادة أو السكان المتبقين	كغ
`N₀`	الكمية الابتدائية الكمية في الزمن t=0	كغ
`λ`	معدل الاضمحلال مثال: 0.1 يوم⁻¹ (10% اضمحلال يومياً)
`t`	الزمن زمن الاضمحلال	يوم

Dimensions : $[1]$

Exemple : كمية دواء 1000 ملغ في جسم مريض تتضائل بمعدل 15% يومياً (λ≈0.1625 يوم⁻¹). كم يبقى بعد 3 أيام؟

الدالة اللوغاريتمية (الأساس الطبيعي) definition

y = \ln (x)

Formes alternatives

$x = e^{y}$ — الصيغة العكسية

Symbole	Signification	Unité
`y`	القيمة اللوغاريتمية الناتج (مثال: مقياس شدة الصوت)
`x`	القيمة الحقيقية القيمة الموجبة المدخلة (مثال: كمية الطاقة)

Dimensions : $[1]$

Exemple : إذا كانت شدة صوت في شارع بغداد 100 ديسيبل (I=10¹⁰ وحدات), فما قيمة y = ln(I/I₀) حيث I₀=10⁻¹² وحدات؟

المعادلات التفاضلية الأساسية

نماذج تصف التغير اللحظي في الأنظمة، أساسية في الفيزياء والهندسة وعلوم الحياة

المعادلة التفاضلية للنمو/الاضمحلال الأسي law

\frac{d P}{d t} = k \cdot P

Formes alternatives

$P (t) = P_{0} \cdot e^{k \cdot t}$ — الحل العام للمعادلة

Symbole	Signification	Unité
`P`	الكمية عدد السكان أو كمية المادة	نسمة أو كغ
`t`	الزمن زمن النمو	سنة
`k`	المعدل النسبي مثال: 0.02 للسنة (نمو) أو -0.03 (اضمحلال)

Dimensions : $[T^{- 1}]$

Exemple : نمو عدد المصابين بمرض في مدينة عراقية صغيرة: dI/dt = 0.2I (20% زيادة يومية). إذا كان I₀=100 مصاباً، فما I بعد 5 أيام؟

قانون التبريد لنيوتن law

\frac{d T}{d t} = - k \cdot (T - T_{env})

Formes alternatives

$T (t) = T_{env} + (T_{0} - T_{env}) \cdot e^{- k \cdot t}$ — الحل العام

Symbole	Signification	Unité
`T`	درجة حرارة الجسم درجة حرارة جسم (مثال: ماء مغلي)	°C
`T_env`	درجة حرارة المحيط درجة حرارة الهواء في بغداد (مثال: 30°C في الصيف)	°C
`t`	الزمن زمن التبريد	دقيقة
`k`	ثابت التبريد يعتمد على مساحة السطح والمادة

Dimensions : $[T^{- 1}]$

Exemple : درجة حرارة كوب شاي 90°C في غرفة 25°C. إذا كان k=0.1 دقيقة⁻¹، فما درجة حرارة الشاي بعد 10 دقائق؟

المعادلة التفاضلية للمنفصلة (نموذج الفئران) law

y_{n + 1} = r \cdot y_{n}

Symbole	Signification	Unité
`y_n`	القيمة في الخطوة n عدد الفئران أو الكمية في الدورة n
`y_{n+1}`	القيمة في الخطوة n+1 عدد الفئران أو الكمية في الدورة التالية
`r`	معدل النمو النسبي مثال: 1.5 (نمو 50% لكل دورة)

Dimensions : $[1]$

Exemple : عدد الفئران في مزرعة في البصرة: y₀=50 فأر، r=1.2 (نمو 20% لكل شهر). كم سيكون العدد بعد 6 أشهر؟

النماذج الإحصائية الأساسية

أدوات إحصائية أساسية لتحليل البيانات واتخاذ القرارات في المشاريع العراقية

الوسط الحسابي definition

μ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

Formes alternatives

$μ = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ — الصيغة الموسعة

Symbole	Signification	Unité
`μ`	الوسط الحسابي المتوسط الحسابي للقيم
`x_i`	القيمة i الملاحظة i (مثال: سعر الطماطم في اليوم i)
`n`	عدد القيم عدد الملاحظات

Dimensions : $[1]$

Exemple : أسعار الطماطم في سوق السجاد (بغداد) لمدة 5 أيام: 1500, 1600, 1400, 1700, 1550 دينار/كغ. احسب الوسط الحسابي.

الانحراف المعياري definition

σ = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2}}

Formes alternatives

$σ = \sqrt{\frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - μ^{2}}$ — صيغة حسابية بديلة

Symbole	Signification	Unité
`σ`	الانحراف المعياري مقياس لتشتت البيانات
`x_i`	القيمة i الملاحظة i
`μ`	الوسط الحسابي المتوسط المحسوب سابقاً
`n`	عدد القيم عدد الملاحظات

Dimensions : $[1]$

Exemple : احسب الانحراف المعياري لأسعار الطماطم السابقة (الوسط الحسابي = 1550 دينار/كغ)

الاحتمال الشرطي definition

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Symbole	Signification	Unité
`P(A\|B)`	احتمال A بشرط B احتمال وقوع الحدث A إذا حدث الحدث B
`P(A ∩ B)`	احتمال التقاطع احتمال وقوع الحدثين A و B معاً
`P(B)`	احتمال B احتمال وقوع الحدث B

Dimensions : $[1]$

Exemple : في دراسة في أربيل: احتمال أن يكون الطالب متفوقاً إذا كان من مدرسة خاصة. إذا كان P(متفوق)=0.15 و P(خاص)=0.20 و P(متفوق و خاص)=0.10، فما P(متفوق|خاص)؟

نماذج النظم الديناميكية

نماذج تصف تطور الأنظمة المعقدة مع الزمن، مثل النمو الاقتصادي أو انتشار الأوبئة

نموذج سولو للنمو الاقتصادي law

Y = A \cdot K^{α} \cdot L^{1 - α}

Formes alternatives

$\ln (Y) = \ln (A) + α \cdot \ln (K) + (1 - α) \cdot \ln (L)$ — الصيغة اللوغاريتمية لتسهيل التقدير

Symbole	Signification	Unité
`Y`	الإنتاج المحلي الإجمالي القيمة الاقتصادية السنوية (مثال: لإقليم كردستان)	دينار عراقي
`A`	الكفاءة التكنولوجية مثال: 1.0 (قيمة معيارية)
`K`	رأس المال الاستثمار في البنية التحتية (مثال: 10 مليار دينار)	دينار عراقي
`L`	العمل عدد العمال (مثال: 500 000 عامل)	عامل
`α`	مرونة رأس المال مثال: 0.3 (30% من النمو يعزى لرأس المال)

Dimensions : $[1]$

Exemple : إقليم كردستان: A=1, K=10 مليار IQD, L=500 000 عامل, α=0.3. احسب Y (الإنتاج المحلي الإجمالي السنوي).

نموذج انتشار مرض معدي (SIR مبسط) law

\frac{d S}{d t} = - β \cdot S \cdot I \frac{d I}{d t} = β \cdot S \cdot I - γ \cdot I \frac{d R}{d t} = γ \cdot I

Symbole	Signification	Unité
`S`	عدد السليمين المعرضين عدد الأشخاص القادرين على الإصابة	شخص
`I`	عدد المصابين عدد المصابين النشطين	شخص
`R`	عدد المتعافين عدد الأشخاص الذين اكتسبوا مناعة	شخص
`β`	معدل انتقال العدوى مثال: 0.000002 لكل شخص في اليوم
`γ`	معدل الشفاء مثال: 0.1 (10% يشفون يومياً)

Dimensions : $[T^{- 1}]$

Exemple : مدينة عراقية صغيرة: S₀=49900, I₀=100, R₀=0, β=2×10⁻⁶ يوم⁻¹, γ=0.1 يوم⁻¹. احسب dI/dt في اليوم الأول.

نموذجPredator-Prey (لوتكا-فولterra مبسط) law

\frac{d x}{d t} = α x - β x y \frac{d y}{d t} = δ x y - γ y

Symbole	Signification	Unité
`x`	عدد الفريسة مثال: عدد الأرانب في منطقة صحراوية عراقية	حيوان
`y`	عدد المفترس مثال: عدد الذئاب أو الثعالب	حيوان
`α`	معدل نمو الفريسة مثال: 0.1 يوم⁻¹
`β`	معدل افتراس مثال: 0.00002 يوم⁻¹
`δ`	معدل تحويل الفريسة إلى طاقة للمفترس مثال: 0.00001 يوم⁻¹
`γ`	معدل موت المفترس مثال: 0.05 يوم⁻¹

Dimensions : $[T^{- 1}]$

Exemple : في منطقة صحراء الأنبار: x₀=1000 أرنب، y₀=100 ذئب، α=0.1 يوم⁻¹، β=0.00002 يوم⁻¹، δ=0.00001 يوم⁻¹، γ=0.05 يوم⁻¹. احسب dx/dt في اليوم الأول.

النماذج الخطية

النماذج الأسية واللوغاريتمية

المعادلات التفاضلية الأساسية

النماذج الإحصائية الأساسية

نماذج النظم الديناميكية

المصادر