الصيغ الرياضية الأساسية للبكالوريا العراقية | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

استخدام صيغة حل المعادلة التربيعية لحساب جذور الدوال في مسائل واقعية مثل حسابات الأرباح والخسائر.
اشتقاق الدوال الأساسية مثل الدوال المثلثية واللوغاريتمية باستخدام قواعد الاشتقاق المعروفة.
حساب المساحات والحجوم باستخدام التكاملات مع أمثلة من الهندسة المعمارية العراقية.
تطبيق المتتاليات الحسابية والهندسية في مسائل الاقتصاد المحلي مثل قروض البنوك.
استخدام قوانين الاحتمال لحساب احتمالات الأحداث في مواقف يومية مثل نتائج الانتخابات أو نتائج المباريات الرياضية.

الوقت المقدر: 20 د المستوى: ●●○○ متوسط

المعادلات التربيعية

صيغ أساسية لحل المعادلات من الدرجة الثانية، شائعة الاستخدام في مسائل الفيزياء والهندسة.

الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية law

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Formes alternatives

$a x^{2} + b x + c = 0$ — الصيغة العامة للمعادلة التربيعية

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل الحد التربيعي يجب ألا يكون صفراً (a ≠ 0)
`b`	معامل الحد الخطي
`c`	الحد الثابت
`x`	جذر المعادلة يمكن أن يكون جذرين حقيقيين أو جذراً واحداً أو جذرين مركبين

Exemple : إذا كانت معادلة المبيعات الشهرية لشركة في بغداد هي 2x² - 8x + 6 = 0، فإن حلها يعطي x = 1 أو x = 3، مما يعني أن الشركة تحقق ربحاً عند بيع 1000 أو 3000 وحدة (بافتراض أن x تمثل الآلاف).

قواعد الاشتقاق الأساسية definition

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Formes alternatives

${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ — قاعدة جداء الدالتين
${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ — قاعدة قسمة الدالتين
${(u^{n})}^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ — قاعدة السلسلة للدوال الأسية

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة الرياضية يمكن أن تمثل أي دالة مثل سعر النفط أو عدد الطلاب
`f'(x)`	مشتقة الدالة تمثل معدل التغير اللحظي للدالة
`h`	الزيادة الصغيرة في المتغير المستقل قيمة صغيرة جداً تقترب من الصفر

Exemple : إذا كان سعر لتر البنزين في بغداد عند الساعة t هو P(t) = 0.5t² + 2t + 100 دينار، فإن مشتقته P'(t) = t + 2 تمثل معدل تغير سعر البنزين كل ساعة. عند الساعة 3 عصراً (t=3)، يكون معدل التغير 5 دينار/ساعة.

التكاملات غير المحددة الأساسية law

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq - 1)

Formes alternatives

$\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ — تكامل الدالة 1/x
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ — تكامل الدالة الأسية
$\int \sin (x) d x = - \cos (x) + C$ — تكامل دالة الجيب

Symbole	Signification	Unité
`x`	المتغير المستقل يمكن أن يمثل الزمن أو المسافة أو أي كمية متصلة
`n`	الأس يجب ألا يكون -1 (للدوال اللوغاريتمية استخدام صيغة مختلفة)
`C`	ثابت التكامل يتم تحديد قيمته بناءً على الشروط الابتدائية

Exemple : لحساب المساحة تحت منحنى الطلب على النفط في البصرة، نفترض أن الدالة هي f(t) = 3t² + 2t + 1. التكامل غير المحدد هو F(t) = t³ + t² + t + C. المساحة من t=0 إلى t=2 هي F(2) - F(0) = 14 وحدة.

المتتاليات الحسابية والهندسية law

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d (حسابية)

Formes alternatives

$u_{n} = u_{1} \cdot r^{n - 1} (هندسية)$ — الحد النوني للمتتالية الهندسية
$S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n}) (حسابية)$ — مجموع المتتالية الحسابية
$S_{n} = u_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r} (r \neq 1) (هندسية)$ — مجموع المتتالية الهندسية

Symbole	Signification	Unité
`u_n`	الحد النوني للمتتالية يمكن أن يمثل عدد السكان أو كمية الإنتاج
`u_1`	الحد الأول القيمة الابتدائية للمتتالية
`d`	الفرق المشترك بالنسبة للمتتالية الحسابية، الفرق بين حدين متتاليين
`n`	الرقم التسلسلي للحد عدد طبيعي (1, 2, 3, ...)
`r`	النسبة المشتركة بالنسبة للمتتالية الهندسية، خارج قسمة حدين متتاليين
`S_n`	مجموع الحدود الأولى مجموع n حداً الأولى

Exemple : إذا كان إنتاج مصنع في أربيل يتزايد بمقدار 5000 طن سنوياً (متتالية حسابية)، وكان الإنتاج في السنة الأولى 20000 طن، فإن الإنتاج في السنة العاشرة هو u₁₀ = 20000 + (10-1)×5000 = 65000 طن. مجموع الإنتاج في 10 سنوات هو S₁₀ = 10/2 × (20000 + 65000) = 425000 طن.

المتطابقات المثلثية الأساسية identity

\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1

Formes alternatives

$1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ — متطابقة الظل
$\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x)$ — متطابقة ضعف الزاوية للجيب
$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ — متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام

Symbole	Signification	Unité
`x`	الزاوية يمكن أن تمثل زاوية ميل سقف أو زاوية سقوط الشمس	راديان
`\sin(x)`	جيب الزاوية النسبة بين الضلع المقابل والوتر في المثلث القائم
`\cos(x)`	جيب التمام للزاوية النسبة بين الضلع المجاور والوتر
`\tan(x)`	ظل الزاوية النسبة بين الجيب وجيب التمام

Exemple : إذا كان ارتفاع سارية العلم في قلعة أربيل 30 متراً، وكان ظل السارية على الأرض 20 متراً عند زاوية سقوط الشمس x، فإن tan(x) = 30/20 = 1.5. باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن x ≈ 56.3°، مما يساعد في تحديد وقت الصلاة أو وقت الظهيرة.

قوانين الاحتمال الأساسية law

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Formes alternatives

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A)$ — قانون ضرب الاحتمالات
$P (A^{c}) = 1 - P (A)$ — احتمال الحدث المضاد

Symbole	Signification	Unité
`P(A)`	احتمال الحدث A قيمة بين 0 و1، تمثل فرصة حدوث الحدث
`P(B)`	احتمال الحدث B قيمة بين 0 و1
`P(A ∩ B)`	احتمال حدوث الحدثين معاً يساوي صفر إذا كان الحدثان متنافيان
`P(A \| B)`	الاحتمال الشرطي احتمال حدوث A بشرط حدوث B

Exemple : في انتخابات مجلس النواب العراقي، إذا كان احتمال فوز مرشح من بغداد 0.4 واحتمال فوز مرشح من البصرة 0.3، وكان احتمال فوز مرشح من بغداد ومن البصرة معاً 0.1، فإن احتمال فوز مرشح من بغداد أو البصرة هو 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6 أو 60%.

المساحة والحجم في الهندسة الفراغية law

V = \frac{4}{3} π r^{3} (حجم الكرة)

Formes alternatives

$A = 4 π r^{2}$ — مساحة سطح الكرة
$V = π r^{2} h$ — حجم الأسطوانة
$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ — حجم المخروط

Symbole	Signification	Unité
`V`	الحجم يمكن أن يمثل حجم خزان ماء أو حجم قبة مسجد	<<unit:m³>>
`r`	نصف القطر المسافة من مركز الكرة إلى أي نقطة على سطحها	<<unit:m>>
`A`	المساحة السطحية المساحة الكلية لسطح الكرة	<<unit:m²>>
`h`	الارتفاع ارتفاع المخروط أو الهرم	<<unit:m>>

Exemple : إذا كان قطر خزان ماء كروي في مصفاة النفط في البصرة 6 أمتار، فإن حجمه هو V = (4/3)π(3)³ ≈ 113.1 م³. يمكن تخزين حوالي 113100 لتر من النفط في هذا الخزان (1 م³ = 1000 لتر).

الدوال اللوغاريتمية والأسية

صيغ أساسية للدوال اللوغاريتمية والأسية، شائعة في مسائل النمو الأسي مثل الديون أو انتشار الأمراض.

الدالة اللوغاريتمية الطبيعية law

\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}

Formes alternatives

$\ln (a b) = \ln (a) + \ln (b)$ — قانون ضرب اللوغاريتمات
$\ln (\frac{a}{b}) = \ln (a) - \ln (b)$ — قانون قسمة اللوغاريتمات

Symbole	Signification	Unité
`x`	المتغير يجب أن يكون x > 0
`\ln(x)`	اللوغاريتم الطبيعي اللوغاريتم للأساس e حيث e ≈ 2.718

Exemple : إذا كان عدد المصابين بمرض في بغداد يتضاعف كل 5 أيام، وكان عدد المصابين في اليوم الأول 100 شخص، فإن عدد المصابين بعد t يوماً هو N(t) = 100 × 2^(t/5). بعد 15 يوماً، N(15) = 100 × 2³ = 800 شخص. لحساب الوقت اللازم للوصول إلى 10000 شخص، نحل 10000 = 100 × 2^(t/5) فنجد t ≈ 33.2 يوماً.

الدالة الأسية العامة law

f (x) = a \cdot e^{k x}

Formes alternatives

$f (x) = a \cdot b^{x}$ — الصيغة العامة للدوال الأسية بأساس b
$e^{x} = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n}$ — تعريف دالة الأسية باستخدام النهاية

Symbole	Signification	Unité
`a`	القيمة الابتدائية قيمة الدالة عند x=0
`k`	معدل النمو موجب للنمو، سالب للاضمحلال	<<unit:s⁻¹>>
`x`	المتغير الزمني يمكن أن يمثل الزمن بالساعات أو الأيام	<<unit:s>>

Exemple : إذا كان سعر الدولار الأمريكي مقابل الدينار العراقي ينمو بمعدل 2% شهرياً (k=0.02)، وكان السعر في بداية الشهر 1460 دينار للدولار، فإن السعر بعد t شهراً هو f(t) = 1460 × e^(0.02t). بعد 6 أشهر، f(6) ≈ 1460 × 1.127 = 1645 دينار للدولار.

قانون الفائدة المركبة law

A = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t}

Formes alternatives

$A = P e^{r t}$ — الصيغة when n → ∞ (تركيب مستمر)

Symbole	Signification	Unité
`A`	المبلغ النهائي المبلغ بعد مرور الزمن	<<unit:IQD>>
`P`	المبلغ الابتدائي مثل مبلغ القرض أو الوديعة	<<unit:IQD>>
`r`	سعر الفائدة السنوي مثل 5% = 0.05	<<unit:%>>
`n`	عدد مرات التركيب في السنة مثل 12 إذا كان التركيب شهرياً
`t`	الزمن بالسنوات عدد السنوات	<<unit:year>>

Exemple : إذا أودعت عائلة في أربيل 5000000 دينار في بنك بمعدل فائدة 8% سنوياً، مع تركيب الفائدة كل 3 أشهر (n=4)، فإن المبلغ بعد 5 سنوات هو A = 5000000 × (1 + 0.08/4)^(4×5) ≈ 7401220 دينار. الفائدة المكتسبة هي 2401220 دينار.

النظم العددية والمعادلات

صيغ أساسية للنظم العددية والمعادلات الخطية، مستخدمة في مسائل الاقتصاد والهندسة.

طريقة كرامر لحل النظم الخطية (2×2) theorem

x = \frac{| \begin{matrix} d & b \\ g & h \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a & b \\ e & h \end{matrix} |}, y = \frac{| \begin{matrix} a & d \\ e & g \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a & b \\ e & h \end{matrix} |}

Formes alternatives

${\begin{matrix} a x + b y = c \\ e x + f y = g \end{matrix}$ — الصيغة العامة للنظام الخطي 2×2

Symbole	Signification	Unité
`x`	المتغير الأول مثل سعر سلعة أو كمية إنتاج
`y`	المتغير الثاني
`a,b,c,d,e,f,g,h`	معاملات المعادلات تمثل معاملات النظام الخطي

Exemple : لحل النظام: 2x + 3y = 12 و 4x - y = 5، نحسب المحددات: Δ = (2)(-1) - (3)(4) = -14، Δx = (12)(-1) - (3)(5) = -27، Δy = (2)(5) - (12)(4) = -38. إذن x = Δx/Δ = 27/14 ≈ 1.93 و y = Δy/Δ = 38/14 ≈ 2.71.

محدد مصفوفة 3×3 definition

| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} | = a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)

Formes alternatives

$d e t (A) = \sum_{j = 1}^{3} {(- 1)}^{1 + j} a_{1 j} M_{1 j}$ — التعريف باستخدام المكممات

Symbole	Signification	Unité
`a,b,c,d,e,f,g,h,i`	عناصر المصفوفة تمثل عناصر المصفوفة 3×3

Exemple : لمصفوفة A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]، المحدد هو 1(5×9 - 6×8) - 2(4×9 - 6×7) + 3(4×8 - 5×7) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = 0. المصفوفة غير قابلة للعكس.

قانون التوزيع (تبديل الحدود) identity

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Formes alternatives

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ — مربع مجموع حدين
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ — مربع الفرق بين حدين

Symbole	Signification	Unité
`a,b,c,d`	أعداد حقيقية يمكن أن تمثل أي قيم عددية

Exemple : لحساب (x + 5)(x + 3) في مسألة مساحة غرفة في بغداد، نستخدم التوزيع: x² + 3x + 5x + 15 = x² + 8x + 15. إذا كانت x=2 متر (عرض الغرفة)، فإن المساحة هي 4 + 16 + 15 = 35 م².

المعادلات التربيعية

الدوال اللوغاريتمية والأسية

النظم العددية والمعادلات

المصادر