الرياضيات: ملخص الصيغ الأساسية (العراق) | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تطبيق قانون المتتاليات الحسابية والهندسية في مسائل واقعية عراقية
استخدام نظرية فيثاغورس ومساحات وأحجام الأشكال الهندسية في حسابات يومية
حساب المشتقات والتكاملات الأساسية باستخدام قواعد التحليل الرياضي
تطبيق قوانين الإحصاء في تحليل بيانات محلية مثل أسعار المنتجات أو درجات الحرارة
حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام

المتطلبات السابقة

الجبر الأساسي
الهندسة الإ Euclidienne
حساب المثلثات
مفاهيم أولية في الإحصاء

الوقت المقدر: 15 د المستوى: ●●○○ متوسط

الجبر

الصيغ الأساسية للمتاليات والمعادلات التي تشكل أساس دراسة الجبر في الثانوية العامة

المتتالية الحسابية definition

u_{n} = u_{1} + (n - 1) \cdot r

Symbole	Signification	Unité
`u_n`	الحد النوني الحد في المتتالية الحسابية
`u_1`	الحد الأول الحد الأول في المتتالية
`n`	رقم الحد عدد الحدود (عدد طبيعي)
`r`	الفرق المشترك الفرق بين حدين متتاليين

Exemple : في متتالية حسابية، إذا كان الحد الأول u₁ = 5 والفرق المشترك r = 3، احسب الحد العاشر u₁₀.

مجموع المتتالية الحسابية law

S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (2 u_{1} + (n - 1) r)

Formes alternatives

$S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (u_{1} + u_{n})$ — عندما يكون الحد الأخير uₙ معروفاً

Symbole	Signification	Unité
`S_n`	مجموع الحدود الأولى مجموع أول n حداً
`n`	عدد الحدود عدد الحدود المضافة
`u_1`	الحد الأول الحد الأول في المتتالية
`r`	الفرق المشترك الفرق بين حدين متتاليين

Exemple : إذا كان لديك 10 طلاب في صفك، الأول حصل على 5 علامات، والفرق المشترك 3 علامات، فما مجموع علامات الصف؟ (ستحصل على 235 علامة)

المتتالية الهندسية definition

u_{n} = u_{1} \cdot r^{n - 1}

Symbole	Signification	Unité
`u_n`	الحد النوني الحد في المتتالية الهندسية
`u_1`	الحد الأول الحد الأول في المتتالية
`n`	رقم الحد عدد الحدود (عدد طبيعي)
`r`	النسبة المشتركة النسبة بين حدين متتاليين

Exemple : في متتالية هندسية، إذا كان الحد الأول u₁ = 2 والنسبة المشتركة r = 5، احسب الحد الخامس u₅.

مجموع المتتالية الهندسية law

S_{n} = u_{1} \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r} (إذا r \neq 1)

Formes alternatives

$S_{n} = u_{1} \cdot \frac{r^{n} - 1}{r - 1}$ — شكل بديل لنفس القانون

Symbole	Signification	Unité
`S_n`	مجموع الحدود الأولى مجموع أول n حداً
`u_1`	الحد الأول الحد الأول في المتتالية
`r`	النسبة المشتركة النسبة بين حدين متتاليين
`n`	عدد الحدود عدد الحدود المضافة

Exemple : إذا كان لديك 6 طلاب في صفك، الأول حصل على 10 علامات، والنسبة المشتركة 2، فما مجموع علامات الصف؟ (ستحصل على 630 علامة)

القانون العام لحل المعادلة التربيعية theorem

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Symbole	Signification	Unité
`x`	حل المعادلة الحلول الممكنة للمعادلة
`a`	معامل x² يجب أن يكون a ≠ 0
`b`	معامل x معامل الحد الخطي
`c`	الحد الثابت الحد بدون متغير

Exemple : حل المعادلة 2x² - 4x - 6 = 0 باستخدام القانون العام. ستحصل على x = 3 أو x = -1.

الهندسة

الصيغ الأساسية لحساب المساحات والأحجام والأطوال في الأشكال الهندسية المختلفة

نظرية فيثاغورس theorem

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Symbole	Signification	Unité
`c`	الوتر الضلع الأطول في المثلث القائم	\text{m}
`a`	ضلع قائم 1 ضلع من أضلاع الزاوية القائمة	\text{m}
`b`	ضلع قائم 2 الضلع الآخر من أضلاع الزاوية القائمة	\text{m}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : في مثلث قائم الزاوية، إذا كان الضلع الأول 3 أمتار والضلع الثاني 4 أمتار، فما طول الوتر؟ (5 أمتار)

مساحة المثلث definition

A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h

Symbole	Signification	Unité
`A`	المساحة مساحة المثلث	\text{m}^2
`b`	القاعدة طول القاعدة	\text{m}
`h`	الارتفاع الارتفاع العمودي على القاعدة	\text{m}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : مثلث قاعدته 6 أمتار وارتفاعه 4 أمتار، ما مساحته؟ (12 متر مربع)

محيط الدائرة definition

C = 2 π r

Formes alternatives

$C = π d$ — عندما يكون القطر d معروفاً

Symbole	Signification	Unité
`C`	المحيط محيط الدائرة	\text{m}
`r`	نصف القطر نصف قطر الدائرة	\text{m}
`\pi`	باي قيمة ثابتة ≈ 3.14159

Dimensions : $[L]$

Exemple : دائرة نصف قطرها 5 أمتار، ما محيطها؟ (حوالي 31.42 متر)

مساحة الدائرة definition

A = π r^{2}

Symbole	Signification	Unité
`A`	المساحة مساحة الدائرة	\text{m}^2
`r`	نصف القطر نصف قطر الدائرة	\text{m}
`\pi`	باي قيمة ثابتة ≈ 3.14159

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : دائرة نصف قطرها 3 أمتار، ما مساحتها؟ (حوالي 28.27 متر مربع)

حجم المكعب definition

V = a^{3}

Symbole	Signification	Unité
`V`	الحجم حجم المكعب	\text{m}^3
`a`	طول الضلع طول أي ضلع من أضلاع المكعب	\text{m}

Dimensions : ${[L]}^{3}$

Exemple : مكعب طول ضلعه 2 متر، ما حجمه؟ (8 أمتار مكعبة)

التحليل الرياضي

الصيغ الأساسية للنهايات والمشتقات والتكاملات التي تشكل أساس التحليل الرياضي في المستوى الجامعي

مشتقة الدالة الخطية law

f (x) = m x + b \Rightarrow f^{'} (x) = m

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة دالة خطية
`m`	الميل معدل التغير
`b`	الثابت قيمة ثابتة
`f'(x)`	المشتقة مشتقة الدالة

Exemple : إذا كانت f(x) = 4x + 7، فما f'(x)؟ (4)

مشتقة الدالة التربيعية law

f (x) = a x^{2} + b x + c \Rightarrow f^{'} (x) = 2 a x + b

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	الدالة دالة تربيعية
`a`	معامل x² يجب أن يكون a ≠ 0
`b`	معامل x معامل الحد الخطي
`c`	الثابت الحد الثابت
`f'(x)`	المشتقة مشتقة الدالة

Exemple : إذا كانت f(x) = 3x² - 2x + 5، فما f'(x)؟ (6x - 2)

تكامل الدالة الثابتة law

\int k d x = k x + C

Symbole	Signification	Unité
`k`	الثابت قيمة ثابتة
`x`	المتغير متغير التكامل
`C`	ثابت التكامل قيمة ثابتة غير محددة

Exemple : ما هو تكامل الدالة f(x) = 7 بالنسبة لـ x؟ (7x + C)

تكامل الدالة الخطية law

\int (m x + b) d x = \frac{m}{2} x^{2} + b x + C

Symbole	Signification	Unité
`m`	الميل معدل التغير
`b`	الثابت قيمة ثابتة
`x`	المتغير متغير التكامل
`C`	ثابت التكامل قيمة ثابتة غير محددة

Exemple : ما هو تكامل الدالة f(x) = 2x + 3 بالنسبة لـ x؟ (x² + 3x + C)

نظرية الأعداد

الصيغ الأساسية المتعلقة بقابلية القسمة والقواسم المشتركة والمضاعفات المشتركة

القاسم المشترك الأكبر (PGCD) definition

PGCD (a, b) = \max {d \in ℕ : d | a و d | b}

Formes alternatives

$PGCD (a, b) = PGCD (b, a mod b)$ — خوارزمية إقليدس

Symbole	Signification	Unité
`a`	العدد الأول عدد طبيعي
`b`	العدد الثاني عدد طبيعي
`d`	القاسم المشترك قاسم مشترك للعددين

Exemple : ما هو PGCD للعددين 36 و 48؟ (12)

المضاعف المشترك الأصغر (PPCM) definition

PPCM (a, b) = \frac{| a \cdot b |}{PGCD (a, b)}

Symbole	Signification	Unité
`a`	العدد الأول عدد طبيعي
`b`	العدد الثاني عدد طبيعي
`\text{PGCD}(a, b)`	القاسم المشترك الأكبر القاسم المشترك

Exemple : ما هو PPCM للعددين 4 و 6؟ (12)

قابلية القسمة على 3 law

3 | n ⟺ مجموع أرقام العدد n يقبل القسمة على 3

Symbole	Signification	Unité
`n`	العدد عدد طبيعي
`3`	الرقم 3 القاسم

Exemple : هل يقبل العدد 123 القسمة على 3؟ (نعم، لأن 1+2+3=6 الذي يقبل القسمة على 3)

الإحصاء

الصيغ الأساسية لقياس النزعة المركزية والتشتت في البيانات الإحصائية

الوسط الحسابي definition

\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

Symbole	Signification	Unité
`\bar{x}`	الوسط الحسابي متوسط القيم
`n`	عدد القيم عدد العناصر في العينة
`x_i`	القيمة i قيمة من القيم

Exemple : درجات 5 طلاب: 70، 80، 90، 85، 75. احسب الوسط الحسابي. (80)

الوسيط definition

m = {\begin{matrix} x_{(k + 1)} & إذا n = 2 k + 1 \\ \frac{x_{(k)} + x_{(k + 1)}}{2} & إذا n = 2 k \end{matrix}

Symbole	Signification	Unité
`m`	الوسيط القيمة الوسطى أو متوسط القيمتين الوسطيين
`n`	عدد القيم عدد العناصر في العينة
`x_{(k)}`	القيمة المرتبة k القيمة بعد ترتيب البيانات

Exemple : درجات 6 طلاب: 60، 70، 75، 80، 85، 90. احسب الوسيط. (77.5)

الانحراف المعياري definition

s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`s`	الانحراف المعياري مقياس للتشتت
`n`	عدد القيم عدد العناصر في العينة
`x_i`	القيمة i قيمة من القيم
`\bar{x}`	الوسط الحسابي متوسط القيم

Exemple : درجات 4 طلاب: 70، 80، 90، 100. الوسط الحسابي = 85. الانحراف المعياري ≈ 12.91

الجبر

الهندسة

التحليل الرياضي

نظرية الأعداد

الإحصاء

المصادر