الصيغ الرياضية لطلاب العراق: مرجع شامل | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

الجبر

الصيغ الأساسية لحل المعادلات والمتسلسلات الرياضية

القانون العام لحل المعادلة التربيعية law

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Formes alternatives

$a x^{2} + b x + c = 0$ — الصورة العامة للمعادلة التربيعية

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل الحد التربيعي يجب أن لا يساوي صفراً
`b`	معامل الحد الخطي
`c`	الحد الثابت
`x`	الحلول الممكنة للمعادلة قيمان محتملتان

Exemple : حل المعادلة 2x² + 5x - 3 = 0: x = 0.5 أو x = -3

صيغة ذي الحدين (مكعب مجموع حدين) identity

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Formes alternatives

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ — مربع مجموع حدين (حالة خاصة)

Symbole	Signification	Unité
`a`	الحد الأول
`b`	الحد الثاني

Exemple : مكعب (x + 2) = x³ + 6x² + 12x + 8

خصائص اللوغاريتمات law

\log_{a} (x y) = \log_{a} (x) + \log_{a} (y)

Formes alternatives

$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)$ — قسمة داخل اللوغاريتم
$\log_{a} (x^{n}) = n \log_{a} (x)$ — الأس داخل اللوغاريتم

Symbole	Signification	Unité
`a`	الأساس a > 0 و a ≠ 1
`x`	العدد الأول x > 0
`y`	العدد الثاني y > 0

Exemple : log₁₀(100×1000) = log₁₀(100) + log₁₀(1000) = 2 + 3 = 5

الهندسة

الصيغ الأساسية لحساب المساحات والأحجام للأشكال الهندسية المختلفة

مساحة الدائرة definition

A = π r^{2}

Formes alternatives

$A = \frac{π d^{2}}{4}$ — حيث d هو القطر

Symbole	Signification	Unité
`A`	مساحة الدائرة	م²
`r`	نصف قطر الدائرة	م

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : دائرة نصف قطرها 5 أمتار: A = 3.1416 × 5² = 78.54 م²

حجم الكرة definition

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Symbole	Signification	Unité
`V`	حجم الكرة	م³
`r`	نصف قطر الكرة	م

Dimensions : ${[L]}^{3}$

Exemple : كرة نصف قطرها 3 أمتار: V ≈ 113.10 م³ (باستخدام π ≈ 3.1416)

نظرية فيثاغورس theorem

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Symbole	Signification	Unité
`a`	الضلع الأول للمثلث القائم	م
`b`	الضلع الثاني للمثلث القائم	م
`c`	الوتر (الضلع الأطول) c > a و c > b	م

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : مثلث قائم أطوال أضلاعه 3 م و4 م: الوتر = 5 م (لأن 3² + 4² = 5²)

مساحة سطح الكرة definition

S = 4 π r^{2}

Symbole	Signification	Unité
`S`	مساحة سطح الكرة	م²
`r`	نصف قطر الكرة	م

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : كرة نصف قطرها 2 م: S ≈ 50.27 م²

التفاضل والتكامل

الصيغ الأساسية لحساب المشتقات والتكاملات للدوال الشائعة

مشتقة الدالة الأسية law

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

Formes alternatives

$\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = 15 x^{2}$ — مثال مع معامل ثابت

Symbole	Signification	Unité
`n`	الأس عدد حقيقي ثابت
`x`	المتغير

Dimensions : $[f] / [x] ح ي ث f ه ي ا ل د ا ل ة$

Exemple : مشتقة x⁴ هي 4x³

تكامل الدالة الأسية law

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C عندما n \neq - 1

Formes alternatives

$\int 7 x^{2} d x = \frac{7 x^{3}}{3} + C$ — مثال مع معامل ثابت

Symbole	Signification	Unité
`n`	الأس يجب ألا يساوي -1
`C`	ثابت التكامل قيمة ثابتة مجهولة

Dimensions : $[f] · [x]$

Exemple : تكامل x² dx = (x³/3) + C

مشتقة الدوال المثلثية الأساسية law

\frac{d}{d x} \sin (x) = \cos (x)

Formes alternatives

$\frac{d}{d x} \cos (x) = - \sin (x)$ — مشتقة جيب التمام
$\frac{d}{d x} \tan (x) = \sec^{2} (x)$ — مشتقة الظل

Symbole	Signification	Unité
`x`	المتغير	راديان

Dimensions : $[f] / [x]$

Exemple : مشتقة sin(2x) = 2cos(2x) (باستخدام قاعدة السلسلة)

تكامل الدوال المثلثية الأساسية law

\int \sin (x) d x = - \cos (x) + C

Formes alternatives

$\int \cos (x) d x = \sin (x) + C$ — تكامل جيب التمام

Symbole	Signification	Unité
`x`	المتغير	راديان
`C`	ثابت التكامل

Dimensions : $[f] · [x]$

Exemple : تكامل sin(3x) dx = (-1/3)cos(3x) + C

الإحصاء

الصيغ الأساسية لتحليل البيانات الإحصائية وقياس النزعة المركزية والتشتت

المتوسط الحسابي definition

μ = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}

Symbole	Signification	Unité
`μ`	المتوسط الحسابي مقياس للنزعة المركزية
`x_i`	القيم الفردية للبيانات n قيمة مختلفة
`n`	عدد القيم عدد صحيح موجب

Dimensions : $[x]$

Exemple : درجات 5 طلاب: 70، 80، 90، 85، 75. المتوسط = (70+80+90+85+75)/5 = 80

التباين definition

σ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2}}{n}

Formes alternatives

$σ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{n} - μ^{2}$ — صيغة بديلة لحساب التباين

Symbole	Signification	Unité
`σ²`	التباين مقياس للتشتت
`x_i`	القيم الفردية
`μ`	المتوسط الحسابي

Dimensions : ${[x]}^{2}$

Exemple : بالنسبة للدرجات السابقة (μ=80): التباين = [(70-80)² + (80-80)² + (90-80)² + (85-80)² + (75-80)²]/5 = 50

الانحراف المعياري definition

σ = \sqrt{σ^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`σ`	الانحراف المعياري مقياس للتشتت بنفس وحدة البيانات الأصلية
`σ²`	التباين

Dimensions : $[x]$

Exemple : الانحراف المعياري = √50 ≈ 7.07 درجات

قانون الاحتمال للمتغير العشوائي المتقطع definition

P (X = x) = p (x)

Formes alternatives

$\sum_{x} p (x) = 1$ — مجموع الاحتمالات لجميع القيم الممكنة يساوي 1

Symbole	Signification	Unité
`X`	المتغير العشوائي
`x`	قيمة محددة للمتغير
`p(x)`	دالة الاحتمال 0 ≤ p(x) ≤ 1

Exemple : عند رمي حجر نرد عادل: P(X=3) = 1/6

الجبر

الهندسة

التفاضل والتكامل

الإحصاء

المصادر