الصيغ الرياضية الأساسية: دليل العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تطبيق القانون العام لحل المعادلات التربيعية باستخدام أمثلة من المشاريع المحلية
حساب المساحات والأحجام للأشكال الهندسية باستخدام الصيغ الرياضية
استخدام قوانين الجيب وجيب التمام في حل المسائل المثلثية المحلية
إيجاد المشتقات والتكاملات للدوال الأساسية في الفيزياء والهندسة
حساب الوسط الحسابي والانحراف المعياري لمجموعات بيانات حقيقية من العراق

المتطلبات السابقة

حل المعادلات الخطية
حساب المساحات
الدوال المثلثية الأساسية
مفاهيم الإحصاء الأساسي

الوقت المقدر: 12 د المستوى: ●●○○ متوسط

الجبر (Algebra)

الصيغ الأساسية لحل المعادلات والعلاقات الجبرية المستخدمة في المشاريع الهندسية والاقتصادية المحلية.

القانون العام لحل المعادلة التربيعية law

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Formes alternatives

$a x^{2} + b x + c = 0$ — الصورة القياسية للمعادلة التربيعية

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل الحد التربيعي يجب أن يكون a ≠ 0 في المعادلة التربيعية القياسية
`b`	معامل الحد الخطي
`c`	الحد الثابت
`x`	جذر المعادلة القيم التي تجعل المعادلة تساوي صفراً

Exemple : حل المعادلة 2x² - 8x + 6 = 0: x = [8 ± √(64 - 48)]/4 = [8 ± 4]/4 → x₁ = 3, x₂ = 1

مجموع وجداء جذري معادلة تربيعية law

α + β = - \frac{b}{a} و α β = \frac{c}{a}

Symbole	Signification	Unité
`α`	الجذر الأول
`β`	الجذر الثاني
`a`	معامل الحد التربيعي من المعادلة ax² + bx + c = 0
`b`	معامل الحد الخطي
`c`	الحد الثابت

Exemple : في المعادلة x² - 5x + 6 = 0، مجموع الجذور = 5، وجداء الجذور = 6

متطابقة هورنر identity

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = (\dots ((a_{n} x + a_{n - 1}) x + a_{n - 2}) x + \dots + a_{1}) x + a_{0}

Symbole	Signification	Unité
`P(x)`	دالة متعددة الحدود تمثل مثلاً تكلفة مشروع ما حسب عدد المنتجات
`a_i`	معاملات متعددة الحدود i = 0,1,2,...,n
`x`	المتغير عدد المنتجات أو الوحدات

Exemple : احسب P(3) للدالة P(x) = 2x³ - 6x² + 2x - 1 باستخدام هورنر: P(3) = (((2×3 - 6)×3 + 2)×3 - 1) = 11

مجموع المتتالية الحسابية definition

S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})

Formes alternatives

$S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$ — حيث d هو الفرق المشترك

Symbole	Signification	Unité
`S_n`	مجموع أول n حد يمكن أن تمثل مثلاً مجموع أرباح شهرية متراكمة
`n`	عدد الحدود عدد الأشهر أو الفترات الزمنية
`a_1`	الحد الأول مثلاً الربح في الشهر الأول (دينار عراقي)
`a_n`	الحد الأخير مثلاً الربح في الشهر الأخير

Exemple : إذا كان ربح مشروع في بغداد 5000 دينار في الشهر الأول، و 8000 دينار في الشهر الخامس، فإن مجموع الربح في 5 أشهر = (5/2)(5000 + 8000) = 32500 دينار

مجموع المتتالية الهندسية definition

S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r} حيث r \neq 1

Symbole	Signification	Unité
`S_n`	مجموع أول n حد مثلاً مجموع استثمارات سنوية متراكمة
`a_1`	الحد الأول مثلاً الاستثمار الأولي (دينار عراقي)
`r`	الأساس مثلاً نسبة النمو السنوي (يجب أن تكون ≠ 1)
`n`	عدد الحدود عدد السنوات

Exemple : إذا استثمرت 10000 دينار في مشروع في إربيل بمعدل نمو سنوي 5% (r = 1.05)، فإن مجموع الاستثمار بعد 4 سنوات = 10000×(1 - 1.05⁴)/(1 - 1.05) = 43101 دينار

الهندسة (Geometry)

الصيغ الأساسية لحساب المساحات والأحجام للأشكال الهندسية الشائعة في المشاريع العمرانية العراقية.

مساحة الدائرة definition

A = π r^{2}

Symbole	Signification	Unité
`A`	المساحة مثلاً مساحة حديقة دائرية	\text{م}^{2}
`r`	نصف القطر مثلاً نصف قطر دائرة المرآب	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : إذا كان نصف قطر بركة دائرية في البصرة 3 أمتار، فإن مساحتها = π×3² ≈ 28.27 م²

حجم الكرة definition

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Symbole	Signification	Unité
`V`	الحجم مثلاً سعة خزان كروي	\text{م}^{3}
`r`	نصف القطر مثلاً نصف قطر كرة تخزين الغاز	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{3}$

Exemple : إذا كان نصف قطر كرة تخزين الغاز في مصنع في الموصل 2 متر، فإن حجمها = (4/3)π×2³ ≈ 33.51 م³

نظرية فيثاغورس theorem

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Symbole	Signification	Unité
`a`	الضلع الأول مثلاً طول قاعدة مثلث قائم	\text{م}
`b`	الضلع الثاني مثلاً ارتفاع مثلث قائم	\text{م}
`c`	الوتر مثلاً طول سلك قطري بين عمودين	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : إذا كان طول قاعدة سارية العلم في ساحة مدرسة في بغداد 3 أمتار، وارتفاعها 4 أمتار، فإن طول السلك القطري = √(3² + 4²) = 5 أمتار

مساحة المثلث definition

A = \frac{1}{2} b h

Formes alternatives

$A = \frac{1}{2} a b \sin (C)$ — حيث a,b ضلعان وC الزاوية بينهما

Symbole	Signification	Unité
`A`	المساحة مثلاً مساحة قطعة أرض مثلثة	\text{م}^{2}
`b`	القاعدة طول قاعدة المثلث	\text{م}
`h`	الارتفاع الارتفاع العمودي على القاعدة	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : إذا كانت قطعة أرض مثلثة في البصرة قاعدتها 10 أمتار وارتفاعها 8 أمتار، فإن مساحتها = 0.5×10×8 = 40 م²

حجم المكعب definition

V = a^{3}

Symbole	Signification	Unité
`V`	الحجم مثلاً سعة خزان مكعب	\text{م}^{3}
`a`	طول الضلع طول ضلع المكعب	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{3}$

Exemple : إذا كان طول ضلع صندوق خرساني في موقع بناء في بغداد 1.5 متر، فإن حجمه = 1.5³ = 3.375 م³

حساب المثلثات (Trigonometry)

الصيغ الأساسية لحل المسائل المثلثية في المسح الأرضي والهندسة المدنية في العراق.

قانون الجيب law

\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)} = 2 R

Symbole	Signification	Unité
`a`	الضلع المقابل للزاوية A مثلاً المسافة بين مدينتين	\text{م}
`A`	الزاوية المقابلة للضلع a مثلاً زاوية قياسها في المثلث	\text{درجة}
`R`	نصف قطر الدائرة المحيطة مثلاً نصف قطر دائرة تمر برؤوس المثلث	\text{م}

Dimensions : $[L]$

Exemple : في مثلث قياس زواياه 30°، 60°، 90°، إذا كان الضلع المقابل للزاوية 30° هو 5 م، فإن الضلع المقابل للزاوية 90° = 10 م (لأن sin(30°)=0.5)

قانون جيب التمام law

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)

Formes alternatives

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$ — الصورة المستخدمة لحساب الضلع الثالث

Symbole	Signification	Unité
`a`	الضلع الأول مثلاً المسافة بين بغداد والبصرة	\text{م}
`b`	الضلع الثاني مثلاً المسافة بين بغداد وإربيل	\text{م}
`C`	الزاوية بين الضلعين a وb مثلاً زاوية المسار بين المدينتين	\text{درجة}
`c`	الضلع الثالث مثلاً المسافة المباشرة بين البصرة وإربيل	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : إذا كانت المسافة بين بغداد والبصرة 400 كم، وبين بغداد وإربيل 350 كم، والزاوية بينهما 45°، فإن المسافة بين البصرة وإربيل = √(400² + 350² - 2×400×350×cos(45°)) ≈ 280 كم

المتطابقة المثلثية الأساسية identity

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1

Formes alternatives

$1 + \tan^{2} (θ) = \sec^{2} (θ)$ — المتطابقة المشتقة
$1 + \cot^{2} (θ) = \csc^{2} (θ)$ — المتطابقة المشتقة

Symbole	Signification	Unité
`θ`	الزاوية أي زاوية في المستوى	\text{درجة}

Exemple : إذا كان sin(θ) = 0.6، فإن cos(θ) = √(1 - 0.6²) = 0.8 (بافتراض أن θ في الربع الأول)

قانون مساحة المثلث definition

A = \frac{1}{2} a b \sin (C)

Symbole	Signification	Unité
`A`	المساحة مثلاً مساحة قطعة أرض مثلثة	\text{م}^{2}
`a`	طول الضلع الأول مثلاً طول جدار	\text{م}
`b`	طول الضلع الثاني مثلاً طول جدار آخر	\text{م}
`C`	الزاوية بين الضلعين مثلاً زاوية التقاء الجدارين	\text{درجة}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : إذا كان طول جدارين في منزل في الموصل 5 م و 7 م، والزاوية بينهما 30°، فإن مساحة الغرفة = 0.5×5×7×sin(30°) = 8.75 م²

حل المعادلات المثلثية الأساسية definition

\sin (θ) = k \Rightarrow θ = \arcsin (k) + 2 π n أو π - \arcsin (k) + 2 π n, n \in ℤ

Formes alternatives

$\cos (θ) = k \Rightarrow θ = \arccos (k) + 2 π n$ — حل المعادلة جيب التمام
$\tan (θ) = k \Rightarrow θ = \arctan (k) + π n$ — حل المعادلة الظل

Symbole	Signification	Unité
`θ`	الزاوية الحل العام لأي زاوية تحقق المعادلة	\text{درجة}
`k`	القيمة المثلثية مثلاً 0.5 أو √2/2

Exemple : حل sin(θ) = 0.5: θ = 30° + 360°n أو 150° + 360°n، حيث n عدد صحيح

التفاضل والتكامل (Calculus)

الصيغ الأساسية لحساب المشتقات والتكاملات المستخدمة في النماذج الرياضية للفيزياء والهندسة والاقتصاد العراقي.

مشتقة الدالة definition

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Formes alternatives

$f^{'} (x) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ — الصورة البديلة لمشتقة الدالة

Symbole	Signification	Unité
`f'(x)`	مشتقة الدالة f عند x مثلاً معدل تغير درجة الحرارة
`f(x)`	الدالة الأصلية مثلاً دالة المسافة مع الزمن
`h`	التغير في المتغير التغير الطفيف في x

Dimensions : $[f (x)] / [x]$

Exemple : مشتقة الدالة f(x) = x² هي f'(x) = 2x (لأن lim(h→0) [(x+h)² - x²]/h = 2x)

التكامل غير المحدد للدالة x^n definition

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C حيث n \neq - 1

Symbole	Signification	Unité
`n`	الأس عدد حقيقي ≠ -1
`C`	ثابت التكامل تمثل أي ثابت real number

Dimensions : ${[x]}^{n + 1}$

Exemple : ∫x³ dx = x⁴/4 + C (مثلاً حساب المساحة تحت منحنى دالة السرعة للحصول على المسافة)

مشتقة الدوال المثلثية law

\frac{d}{d x} \sin (x) = \cos (x) و \frac{d}{d x} \cos (x) = - \sin (x)

Formes alternatives

$\frac{d}{d x} \tan (x) = \sec^{2} (x)$ — مشتقة دالة الظل

Symbole	Signification	Unité
`x`	الزاوية يجب أن تكون الزاوية بالراديان في الصيغة الأصلية	\text{راديان}

Dimensions : $[1] (ل أ ن م ش ت ق ة ا ل د ا ل ة ا ل م ث ل ث ي ة ه ي د ا ل ة م ث ل ث ي ة أ خ ر ى)$

Exemple : مشتقة sin(2x) هي 2cos(2x) (باستخدام قاعدة السلسلة)

التكامل غير المحدد للدالة e^x definition

\int e^{x} d x = e^{x} + C

Symbole	Signification	Unité
`e`	العدد النيبيري القاعدة الطبيعية للوغاريتمات ≈ 2.71828
`C`	ثابت التكامل مثلاً ثابت يمثل القيمة الأولية

Dimensions : $[e^{x}]$

Exemple : ∫e^(3x) dx = (1/3)e^(3x) + C (باستخدام التعويض)

قاعدة السلسلة theorem

\frac{d}{d x} f (g (x)) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Symbole	Signification	Unité
`f`	الدالة الخارجية مثلاً الدالة المثلثية أو الأسية
`g`	الدالة الداخلية مثلاً الدالة الخطية أو متعددة الحدود
`x`	المتغير المستقل مثلاً الزمن

Dimensions : $[f^{'} (g (x))] · [g^{'} (x)]$

Exemple : مشتقة sin(5x) هي 5cos(5x) (حيث f(u)=sin(u) وg(x)=5x)

الإحصاء (Statistics)

الصيغ الأساسية لتحليل البيانات والإحصاءات المستخدمة في البحوث الاقتصادية والاجتماعية في العراق.

الوسط الحسابي definition

μ = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}

Symbole	Signification	Unité
`μ`	الوسط الحسابي مثلاً متوسط دخل الأسرة الشهري	\text{دينار}
`x_i`	القيمة i مثلاً دخل أسرة i	\text{دينار}
`n`	عدد القيم عدد الأسر في العينة

Dimensions : $[x_{i}]$

Exemple : إذا كان دخل 5 أسر في بغداد: 800000، 950000، 750000، 1000000، 850000 دينار، فإن الوسط = (800000+950000+750000+1000000+850000)/5 = 870000 دينار

الانحراف المعياري definition

σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2}}{n}}

Formes alternatives

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n - 1}}$ — الانحراف المعياري للعينة (n-1 في المقام)

Symbole	Signification	Unité
`σ`	الانحراف المعياري مثلاً مدى تباين دخل الأسر	\text{دينار}
`μ`	الوسط الحسابي من الصيغة السابقة	\text{دينار}
`x_i`	القيمة i مثلاً دخل أسرة i	\text{دينار}

Dimensions : $[x_{i}]$

Exemple : بالنسبة للدخل السابق (μ=870000)، الانحراف المعياري = √[(800000-870000)² + ...]/5 ≈ 94868 دينار

الاحتمال الشرطي definition

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Symbole	Signification	Unité
`P(A\|B)`	احتمال وقوع A بشرط وقوع B مثلاً احتمال أن يكون الطالب ناجحاً إذا كان من بغداد
`P(A∩B)`	احتمال وقوع A وB معاً مثلاً احتمال أن يكون الطالب ناجحاً ومن بغداد معاً
`P(B)`	احتمال وقوع B مثلاً احتمال أن يكون الطالب من بغداد

Exemple : إذا كان 60% من الطلاب ناجحين، و40% من الطلاب من بغداد، و30% من الطلاب ناجحين ومن بغداد معاً، فإن P(ناجح|بغداد) = 0.3/0.4 = 0.75 أو 75%

قانون بيرسون للارتباط definition

r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x}) (y_{i} - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \overline{y})}^{2}}}

Symbole	Signification	Unité
`r`	معامل الارتباط لبيرسون يمثل قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين
`x_i`	القيمة i للمتغير X مثلاً عدد ساعات الدراسة
`y_i`	القيمة i للمتغير Y مثلاً درجة الامتحان
`n`	عدد الأزواج عدد الطلاب في العينة

Exemple : إذا كانت العلاقة بين ساعات الدراسة (X) ودرجات الامتحان (Y) لعينة من 5 طلاب، فإن r يمكن حسابه من البيانات للحصول على قيمة مثل 0.95 (علاقة قوية إيجابية)

دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي القياسي definition

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

Symbole	Signification	Unité
`f(x)`	دالة الكثافة الاحتمالية تمثل احتمال أن تكون القيمة x ضمن نطاق معين
`x`	القيمة المعيارية عدد الانحرافات المعيارية عن الوسط

Dimensions : $[1] (ل أ ن ه ا د ا ل ة ك ث ا ف ة ا ح ت م ا ل ي ة)$

Exemple : احتمال أن تكون القيمة بين -1 و1 في التوزيع الطبيعي القياسي هو 68.27% (يمكن حسابها باستخدام التكامل)

الجبر (Algebra)

الهندسة (Geometry)

حساب المثلثات (Trigonometry)

التفاضل والتكامل (Calculus)

الإحصاء (Statistics)

المصادر