الصيغ الرياضية الأساسية في العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تذكر صيغة المساحة والحجم للأشكال الهندسية الشائعة
تطبيق نظرية فيثاغورس في حل مسائل واقعية من المدن العراقية
حساب الوسط الحسابي والتباين لمجموعة بيانات محلية (مثل أسعار السلع في بغداد)
استخدام المتتاليات الحسابية والهندسية في نماذج اقتصادية عراقية
تحليل الدوال الخطية والتربيعية باستخدام مشتقاتها وتكاملاتها الأساسية

المتطلبات السابقة

العمليات الحسابية الأساسية
مفاهيم المساحة والحجم
الجبر الأساسي
الهندسة الإقليدية

الوقت المقدر: 15 د المستوى: ●●○○ متوسط

الهندسة الإقليدية

صيغ لحساب المساحات والأحجام للأشكال الهندسية الأساسية المستخدمة في العمارة العراقية القديمة والحديثة

نظرية فيثاغورس theorem

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Formes alternatives

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ — لإيجاد طول الوتر
$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$ — لإيجاد طول ضلع مجهول

Symbole	Signification	Unité
`a`	الضلع الأول للمثلث القائم الضلع المجاور للزاوية القائمة
`b`	الضلع الثاني للمثلث القائم الضلع المجاور للزاوية القائمة
`c`	الوتر الضلع المقابل للزاوية القائمة

Exemple : في مدينة أور، إذا كان طول ضلعين في مثلث قائم 3 أمتار و4 أمتار، فإن طول الوتر يساوي 5 أمتار

مساحة المثلث definition

A = \frac{1}{2} \times b \times h

Symbole	Signification	Unité
`A`	المساحة القيمة النهائية يجب أن تكون بالمتر المربع	\text{م}^{2}
`b`	القاعدة طول القاعدة	\text{م}
`h`	الارتفاع الارتفاع العمودي على القاعدة	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : في قلعة إربيل، إذا كانت قاعدة العلم 2 متر وارتفاعه 5 أمتار، فإن مساحته 5 م²

مساحة الدائرة definition

A = π r^{2}

Formes alternatives

$A = \frac{π d^{2}}{4}$ — حيث d هو القطر

Symbole	Signification	Unité
`A`	المساحة	\text{م}^{2}
`r`	نصف القطر نصف قطر الدائرة	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : في زقورة أور، إذا كان قطر قاعدة الزقورة 10 أمتار، فإن مساحتها حوالي 78.5 م²

حجم المكعب definition

V = a^{3}

Symbole	Signification	Unité
`V`	الحجم القيمة النهائية بالمتر المكعب	\text{م}^{3}
`a`	طول الضلع طول ضلع المكعب	\text{م}

Dimensions : ${[L]}^{3}$

Exemple : في مخزن حبوب في البصرة، إذا كان طول ضلع الصندوق 2 متر، فإن حجمه 8 م³

الجبر والمعادلات

صيغ لحل المعادلات والمتتاليات الرياضية المستخدمة في الاقتصاد العراقي والعلوم التطبيقية

المعادلة التربيعية theorem

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Symbole	Signification	Unité
`a`	معامل س² يجب ألا يساوي صفراً
`b`	معامل س يمكن أن يكون صفراً
`c`	الحد الثابت يمكن أن يكون صفراً
`x`	الحلول يمكن أن يكون حلين حقيقيين أو مركبين

Exemple : في سوق الشورجة، إذا كانت المعادلة 2س² - 8س + 6 = 0، فإن الحلول هي س=1 و س=3

المتتالية الحسابية definition

u_{n} = u_{0} + n \cdot r

Formes alternatives

$S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (2 u_{0} + (n - 1) r)$ — مجموع الحدود الأولى n

Symbole	Signification	Unité
`u_{n}`	الحد النوني القيمة في المرتبة n
`u_{0}`	الحد الأول القيمة الابتدائية
`n`	الترتيب عدد صحيح موجب أو صفر
`r`	الفرق المشترك فرق ثابت بين الحدود المتتالية

Exemple : في مصنع для الطوب في الموصل، إذا كان الحد الأول 1000 طوبة والفرق المشترك 50 طوبة، فإن الحد العاشر 1450 طوبة

المتتالية الهندسية definition

u_{n} = u_{0} \cdot r^{n}

Formes alternatives

$S_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$ — مجموع الحدود الأولى n عندما r ≠ 1

Symbole	Signification	Unité
`u_{n}`	الحد النوني القيمة في المرتبة n
`u_{0}`	الحد الأول القيمة الابتدائية
`n`	الترتيب عدد صحيح موجب أو صفر
`r`	النسبة المشتركة نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية

Exemple : في البنك المركزي العراقي، إذا أودعت 500000 دينار بنسبة فائدة سنوية 4%، فإن رصيدك بعد 5 سنوات 608326 دينار

المتوسط الحسابي definition

μ = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}

Symbole	Signification	Unité
`\mu`	المتوسط الحسابي القيمة النهائية بدون وحدة
`x_{i}`	القيم القيم الفردية في المجموعة
`n`	عدد القيم عدد العناصر في المجموعة

Exemple : في سوق السجاد في بغداد، إذا كانت أسعار 5 سجاد هي 100000 و120000 و150000 و180000 و200000 دينار، فإن المتوسط 150000 دينار

الهندسة التحليلية

صيغ لحساب المسافات والميل بين النقاط في المستوى الديكارتي، مستخدمة في الخرائط العراقية

المسافة بين نقطتين definition

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`d`	المسافة يجب تحويل الوحدات إلى كيلومتر	\text{كم}
`x_{1}, y_{1}`	إحداثيات النقطة الأولى إحداثيات النقطة الأولى في الخريطة
`x_{2}, y_{2}`	إحداثيات النقطة الثانية إحداثيات النقطة الثانية في الخريطة

Dimensions : $[L]$

Exemple : في خريطة العراق، المسافة بين بغداد (0,0) والبصرة (550, -300) حوالي 628 كم

ميل الخط المستقيم definition

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Symbole	Signification	Unité
`m`	الميل القيمة النهائية بدون وحدة
`x_{1}, y_{1}`	إحداثيات النقطة الأولى
`x_{2}, y_{2}`	إحداثيات النقطة الثانية

Exemple : في خريطة شارع الرشيد في بغداد، إذا كانت النقطة الأولى (1,2) والنقطة الثانية (4,8)، فإن الميل 2

معادلة الخط المستقيم definition

y = m x + b

Formes alternatives

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ — الصيغة النقطية

Symbole	Signification	Unité
`y`	الإحداثي الصادي القيمة على المحور الرأسي
`m`	الميل كما في الصيغة السابقة
`x`	الإحداثي السيني القيمة على المحور الأفقي
`b`	القطع الصادي نقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي

Exemple : في خريطة شارع في إربيل، إذا كان الميل 0.5 والقطع الصادي 100، فإن معادلة الشارع هي ص = 0.5س + 100

المسافة من نقطة إلى خط definition

d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

Symbole	Signification	Unité
`d`	المسافة	\text{م}
`Ax_{0} + By_{0} + C = 0`	معادلة الخط الصورة العامة للخط
`x_{0}, y_{0}`	إحداثيات النقطة نقطة خارج الخط

Dimensions : $[L]$

Exemple : في مدينة سامراء، المسافة من نقطة (2,3) إلى الخط 3س + 4ص - 5 = 0 هي 1.4 م

الإحصاء والاحتمالات

صيغ لحساب مقاييس النزعة المركزية والتشتت، مستخدمة في تحليل البيانات الاقتصادية العراقية

التباين definition

σ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2}}{n}

Symbole	Signification	Unité
`\sigma^{2}`	التباين القيمة النهائية بدون وحدة
`x_{i}`	القيم القيم الفردية في المجموعة
`\mu`	المتوسط الحسابي كما في الصيغة السابقة
`n`	عدد القيم

Exemple : في مصنع لإنتاج التمور في البصرة، إذا كانت القيم 10, 12, 14, 16, 18، فإن التباين 8

الانحراف المعياري definition

σ = \sqrt{σ^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`\sigma`	الانحراف المعياري القيمة النهائية بدون وحدة
`\sigma^{2}`	التباين كما في الصيغة السابقة

Exemple : في نفس مجموعة التمور، الانحراف المعياري 2.83 (الجذر التربيعي للتباين 8)

الاحتمال الكلاسيكي definition

P (A) = \frac{عدد الحالات الملائمة}{عدد الحالات الممكنة}

Symbole	Signification	Unité
`P(A)`	احتمال الحدث أ قيمة بين 0 و1
`عدد الحالات الملائمة`	عدد النتائج الناجحة
`عدد الحالات الممكنة`	عدد النتائج الكلية

Exemple : في سحب كرة من كيس به 5 كرات حمراء و3 كرات زرقاء، احتمال سحب كرة حمراء 5/8

قانون الأعداد الكبيرة theorem

\lim_{n \to \infty} P (| \frac{S_{n}}{n} - p | < ϵ) = 1

Symbole	Signification	Unité
`S_{n}`	عدد النجاحات عدد المرات التي حدث فيها الحدث
`n`	عدد التجارب عدد المرات التي تم فيها تكرار التجربة
`p`	الاحتمال النظري الاحتمال المتوقع نظرياً
`\epsilon`	الفرق المسموح به قيمة صغيرة موجبة

Exemple : عند رمي قطعة نقود 1000 مرة، من المتوقع أن تقترب نسبة ظهور الصورة من 0.5 (50%) بزيادة عدد الرمي

الدوال والمشتقات

صيغ أساسية للدوال والمشتقات المستخدمة في الفيزياء والهندسة، مع أمثلة من الحياة العراقية اليومية

مشتقة الدالة الخطية law

f^{'} (x) = m

Symbole	Signification	Unité
`f'(x)`	مشتقة الدالة معدل التغير اللحظي للدالة
`m`	الميل ثابت في الدالة الخطية

Exemple : في حساب سرعة سيارة تسير بسرعة ثابتة 60 كم/ساعة، المشتقة (معدل التغير) هي 60

مشتقة الدالة التربيعية law

f^{'} (x) = 2 a x + b

Symbole	Signification	Unité
`f'(x)`	مشتقة الدالة
`a`	معامل س² كما في الدالة f(x) = ax² + bx + c
`b`	معامل س

Exemple : في حساب معدل تغير مساحة مزرعة دائرية (A = πr²) بالنسبة لنصف القطر، المشتقة هي 2πr

مشتقة الدالة الأسية law

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

Formes alternatives

$f^{'} (x) = e^{x}$ — عندما أ = هـ

Symbole	Signification	Unité
`f'(x)`	مشتقة الدالة
`a`	الأساس قيمة موجبة غير مساوية 1
`x`	الأس المتغير

Exemple : في حساب معدل نمو استثمار مالي بنسبة 5% سنوياً، المشتقة للدالة f(t) = 1.05^t هي 1.05^t × ln(1.05)

التكامل المحدد للدالة الخطية theorem

\int_{a}^{b} (m x + b) d x = {[\frac{m}{2} x^{2} + b x]}_{a}^{b}

Symbole	Signification	Unité
`m`	الميل
`b`	القطع الصادي
`a, b`	حدود التكامل الحدود الدنيا والعليا

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : في حساب المساحة تحت منحنى سرعة سيارة تتحرك بسرعة متزايدة (v(t) = 2t + 1) من t=0 إلى t=3، المساحة 12 وحدة

الهندسة الإقليدية

الجبر والمعادلات

الهندسة التحليلية

الإحصاء والاحتمالات

الدوال والمشتقات

المصادر