المبادئ الأساسية في التوافيق (Irak) | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

مبادئ العد الأساسية

القواعد الأساسية لحساب عدد الطرق لاختيار وترتيب العناصر

مبدأ العد الأساسي law

N = n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}

Symbole	Signification	Unité
`N`	عدد الطرق الكلية عدد الطرق لاختيار عنصر من كل مجموعة	عدد
`n_i`	عدد الخيارات في المجموعة i عدد الطرق لاختيار عنصر من المجموعة i	عدد

Exemple : في بغداد، يوجد 4 مطاعم و 3 مسارح. كم عدد الطرق لاختيار مطعم ثم مسرح؟ الجواب: 4 × 3 = 12 طريقة

مبدأ الجمع law

N = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}

Symbole	Signification	Unité
`N`	عدد الطرق الكلية عدد الطرق لاختيار عنصر من إحدى المجموعات	عدد
`n_i`	عدد الخيارات في المجموعة i عدد الطرق لاختيار عنصر من المجموعة i	عدد

Exemple : في معرض Erbil الدولي، هناك 5 أنواع من الكتب و 7 أنواع من الأقراص المدمجة. كم عدد الطرق لاختيار كتاب أو قرص؟ الجواب: 5 + 7 = 12 طريقة

مبدأ الاستبعاد والإدراج law

| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |

Symbole	Signification	Unité
`A, B`	مجموعتان مجموعتان من العناصر
`\|A\|`	عدد عناصر المجموعة A عدد عناصر المجموعة A	عدد
`\|B\|`	عدد عناصر المجموعة B عدد عناصر المجموعة B	عدد
`\|A ∩ B\|`	عدد العناصر المشتركة عدد العناصر المشتركة بين A و B	عدد

Exemple : في جامعة البصرة، 120 طالب يدرسون الرياضيات، 80 يدرسون الفيزياء، و 30 يدرسون الاثنين. كم عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات أو الفيزياء؟ الجواب: 120 + 80 - 30 = 170 طالب

التباديل

حساب عدد الطرق لاختيار وترتيب العناصر مع مراعاة الترتيب

تباديل العناصر المختلفة definition

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}

Formes alternatives

$P (n, k) = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)$ — الصيغة المطورة لحساب التباديل

Symbole	Signification	Unité
`P(n,k)`	عدد التباديل عدد طرق ترتيب k عنصر من n عنصر مختلف	عدد
`n`	عدد العناصر الكلية عدد العناصر المتاحة	عدد
`k`	عدد العناصر المراد ترتيبها يجب أن يكون 0 ≤ k ≤ n	عدد

Exemple : في فريق كرة القدم العراقي (11 لاعب)، كم عدد الطرق لترتيب 3 لاعبين في مراكز مختلفة؟ P(11,3) = 11!/(11-3)! = 990 طريقة

تباديل العناصر المتكررة definition

P (n; n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}) = \frac{n!}{n_{1}! n_{2}! \dots n_{k}!}

Symbole	Signification	Unité
`P(n; n1,n2,...,nk)`	عدد التباديل مع التكرار عدد طرق ترتيب n عنصر مع n1 عنصر من النوع الأول، n2 من النوع الثاني، إلخ	عدد
`n`	عدد العناصر الكلية مجموع جميع العناصر	عدد
`n_i`	عدد العناصر المتكررة من النوع i عدد العناصر المتطابقة من كل نوع	عدد

Exemple : كم عدد الكلمات المختلفة التي يمكن تكوينها من حروف كلمة 'بغداد' (عدد الحروف = 6، 'ب'=1، 'غ'=1، 'د'=2، 'ا'=1، 'ك'=1)؟ 6!/(1!1!2!1!1!) = 360 طريقة

التباديل الدائرية definition

P_{circ} (n) = (n - 1)!

Symbole	Signification	Unité
`P_{\text{circ}}(n)`	عدد التباديل الدائرية عدد طرق ترتيب n عنصر في دائرة (الترتيب النسبي فقط مهم)	عدد
`n`	عدد العناصر عدد العناصر المراد ترتيبها في دائرة	عدد

Exemple : في مجلس عشائري في الموصل، يجلس 8 أشخاص حول طاولة دائرية. كم عدد طرق جلوسهم؟ (8-1)! = 5040 طريقة

التوافيق

حساب عدد الطرق لاختيار العناصر بدون مراعاة الترتيب

توافيق العناصر المختلفة definition

C (n, k) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Formes alternatives

$C (n, k) = C (n, n - k)$ — خاصية التناظر في التوافيق

Symbole	Signification	Unité
`C(n,k)`	عدد التوافيق عدد الطرق لاختيار k عنصر من n عنصر بدون اعتبار الترتيب	عدد
`n`	عدد العناصر الكلية عدد العناصر المتاحة	عدد
`k`	عدد العناصر المراد اختيارها يجب أن يكون 0 ≤ k ≤ n	عدد

Exemple : في صف دراسي في أربيل، هناك 25 طالب. كم عدد الطرق لاختيار 5 طلاب لتشكيل لجنة؟ C(25,5) = 53130 طريقة

توافيق العناصر المتكررة definition

C (n + k - 1, k) = (\binom{n + k - 1}{k})

Symbole	Signification	Unité
`C(n+k-1,k)`	عدد التوافيق مع التكرار عدد الطرق لاختيار k عنصر من n نوع مع السماح بالتكرار	عدد
`n`	عدد الأنواع المختلفة عدد الأصناف أو الأنواع المختلفة	عدد
`k`	عدد العناصر المراد اختيارها عدد العناصر مع السماح بالتكرار	عدد

Exemple : في سوق السجاد في البصرة، هناك 8 أنواع مختلفة من السجاد. كم عدد الطرق لشراء 6 سجادات مع السماح بتكرار نفس النوع؟ C(8+6-1,6) = C(13,6) = 1716 طريقة

توافيق العناصر المتطابقة definition

C (n + k - 1, k) = (\binom{n + k - 1}{k})

Symbole	Signification	Unité
`C(n+k-1,k)`	عدد التوافيق مع العناصر المتطابقة عدد الطرق لاختيار k عنصر من n عنصر مع وجود عناصر متطابقة	عدد
`n`	عدد العناصر الكلية عدد العناصر المتاحة (مع وجود تكرارات)	عدد
`k`	عدد العناصر المراد اختيارها عدد العناصر المراد اختيارها	عدد

Exemple : في محل لبيع التمور في بغداد، هناك 10 كيلوغرام من التمور (4 كغ نوع البرحي، 3 كغ نوع السكري، 3 كغ نوع الخضري). كم عدد الطرق لشراء 5 كغ من التمور؟ C(3+5-1,5) = C(7,5) = 21 طريقة

نظرية ذات الحدين

توسع التعبير الثنائي (a+b)^n باستخدام التوافيق

نظرية ذات الحدين theorem

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

Formes alternatives

${(1 + x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k}$ — الصيغة الشائعة عندما a=1

Symbole	Signification	Unité
`a, b`	الحدان في التعبير قاعدتا التعبير الثنائي	عدد
`n`	الأس عدد صحيح غير سالب (درجة التوسع)	عدد
`k`	مؤشر الحد يتراوح من 0 إلى n	عدد

Exemple : احسب (x + 3)^4 باستخدام نظرية ذات الحدين. الجواب: $x^{4}$ + 12 $x^{3}$ + 54 $x^{2}$ + 108x + 81

مثلث باسكال identity

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

Symbole	Signification	Unité
`n`	الصف في المثلث الصف (يبدأ من 0)	عدد
`k`	العنصر في الصف العنصر (يبدأ من 0)	عدد

Exemple : في الصف السادس من مثلث باسكال (n=6)، العنصر الرابع (k=3) هو C(6,3) = 20. ويمكن حسابه كـ C(5,2) + C(5,3) = 10 + 10 = 20

معاملات ذات الحدين identity

(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1

Symbole	Signification	Unité
`n`	العدد الكلي عدد العناصر أو الدرجة	عدد
`\binom{n}{0}`	معامل الحد الأول عدد طرق اختيار 0 عنصر	عدد
`\binom{n}{n}`	معامل الحد الأخير عدد طرق اختيار جميع العناصر	عدد

Exemple : C(7,0) = 1 و C(7,7) = 1 دائماً لأي 7 عناصر

مبدأ العلبة

مبدأ أساسي في التوافيق ينص على أن وضع أكثر من عنصر في صندوق محدود يؤدي إلى تكرار

مبدأ العلبة (الصيغة الأساسية) law

N > p \Rightarrow \exists صندوق به ⌈ \frac{N}{p} ⌉ عناصر على الأقل

Formes alternatives

$N \geq p \times m + 1 \Rightarrow \exists صندوق به m + 1 عناصر على الأقل$ — عندما تريد التأكد من وجود صندوق به أكثر من m عنصر

Symbole	Signification	Unité
`N`	عدد العناصر عدد العناصر المراد توزيعها	عدد
`p`	عدد الصناديق عدد الصناديق المتاحة	عدد
`\left\lceil \frac{N}{p} \right\rceil`	الحد الأدنى للعناصر في صندوق عدد العناصر في أكثر الصناديق ازدحاماً	عدد

Exemple : في مدرسة في أربيل، هناك 32 طالب في صف. إذا تم توزيعهم في 5 فصول دراسية، فما هو الحد الأدنى لعدد الطلاب في الفصل الأكثر ازدحاماً؟ ceil(32/5) = 7 طلاب

تعميم مبدأ العلبة law

N > p \times (m - 1) \Rightarrow \exists صندوق به m عناصر على الأقل

Symbole	Signification	Unité
`N`	عدد العناصر عدد العناصر المراد توزيعها	عدد
`p`	عدد الصناديق عدد الصناديق المتاحة	عدد
`m`	عدد العناصر المرغوب فيها عدد العناصر التي تريد التأكد من وجودها في صندوق واحد	عدد

Exemple : في مكتبة في بغداد، هناك 100 كتابWant to distribute 100 books into 7 shelves. What is the minimum number of books on the most crowded shelf? ceil(100/7) = 15 books

مبدأ العلبة مع الأوزان law

N > \sum_{i = 1}^{p} w_{i} \Rightarrow \exists i حيث x_{i} > w_{i}

Symbole	Signification	Unité
`N`	عدد العناصر عدد العناصر المراد توزيعها	عدد
`w_i`	الحد الأقصى المسموح به للصندوق i عدد العناصر القصوى التي يمكن وضعها في الصندوق i	عدد
`x_i`	عدد العناصر الفعلي في الصندوق i عدد العناصر الموجودة في الصندوق i	عدد

Exemple : عند توزيع 20 طالب في 3 قاعات (الحد الأقصى لكل قاعة: 5، 7، 8 طلاب). بما أن 5+7+8=20، لا يمكن تطبيق المبدأ. لكن إذا كان الحد الأقصى 5،6،7 (المجموع=18 < 20)، فإن إحدى القاعات ستحتوي على 8 طلاب على الأقل

تطبيقات متنوعة

مسائل عملية تستخدم مبادئ التوافيق في سياقات عراقية

مسائل الاحتمال باستخدام التوافيق definition

P (E) = \frac{عدد الحالات الملائمة}{عدد الحالات الممكنة} = \frac{C (n, k)}{N}

Formes alternatives

$P (E) = \frac{P (n, k)}{n!}$ — عندما يكون الترتيب مهم في الحالات الملائمة

Symbole	Signification	Unité
`P(E)`	احتمال الحدث احتمال وقوع الحدث E
`C(n,k)`	عدد الحالات الملائمة عدد الطرق لاختيار العناصر الملائمة للحدث	عدد
`N`	عدد الحالات الممكنة عدد جميع الطرق الممكنة	عدد

Exemple : في سحب يانصيب في البصرة، هناك 50 بطاقة. 5 بطاقات فوز. ما احتمال سحب بطاقة فوز؟ P = C(5,1)/C(50,1) = 5/50 = 0.1 أو 10%

توزيع كرات في صناديق definition

C (n + k - 1, k) = (\binom{n + k - 1}{k})

Symbole	Signification	Unité
`n`	عدد الصناديق عدد الصناديق المتاحة	عدد
`k`	عدد الكرات عدد الكرات المراد توزيعها	عدد
`C(n+k-1,k)`	عدد طرق التوزيع عدد الطرق لتوزيع k كرة متطابقة في n صندوق مختلف	عدد

Exemple : كم عدد الطرق لتوزيع 4 كرات متطابقة على 3 صناديق مختلفة؟ C(3+4-1,4) = C(6,4) = 15 طريقة

ترتيب كلمات عربية definition

P (n; n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}) = \frac{n!}{n_{1}! n_{2}! \dots n_{k}!}

Symbole	Signification	Unité
`n`	عدد الحروف الكلية عدد الحروف في الكلمة	عدد
`n_i`	عدد الحروف المتكررة من النوع i عدد مرات تكرار كل حرف في الكلمة	عدد
`P(n;...)`	عدد الكلمات المختلفة عدد الكلمات العربية المختلفة التي يمكن تكوينها	عدد

Exemple : كم عدد الكلمات المختلفة التي يمكن تكوينها من حروف كلمة 'بغداد' (عدد الحروف = 6، 'ب'=1، 'غ'=1، 'د'=2، 'ا'=1، 'ك'=1)؟ 6!/(1!1!2!1!1!) = 360 طريقة

مبادئ العد الأساسية

التباديل

التوافيق

نظرية ذات الحدين

مبدأ العلبة

تطبيقات متنوعة

المصادر