الصيغ الذهبية في التحليل الحقيقي: دليل العراقيين | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

أن تفسر مفهوم النهاية لدالة عند نقطة باستخدام التعريف الدقيق للنهاية
أن تحسب المشتقة لأي دالة بسيطة باستخدام تعريف النهاية
أن تطبق نظرية القيمة المتوسطة لحل مسائل واقعية مثل حساب السرعة المتوسطة بين بغداد والموصل
أن تستخدم تكامل ريمان لحساب المساحات تحت المنحنيات مثل تقدير مساحة أرض مزروعة بالتمر
أن تستنتج متسلسلة تايلور لدوال مثلثية لحساب القيم التقريبية مثل حساب طول قوس جسر في البصرة

المتطلبات السابقة

نهاية دالة
مشتقة دالة
تكامل ريمان

الوقت المقدر: 10 د المستوى: ●●○○ متوسط

النهايات والاتصال

الصيغ الأساسية لوصف سلوك الدوال عند نقاط محددة وكيفية انتقالها بين النقاط.

تعريف النهاية لدالة عند نقطة definition

\lim_{x \to a} f (x) = L

Symbole	Signification	Unité
`\lim`	نهاية رمز النهاية
`x`	متغير مستقل المتغير الذي ندرسه
`a`	نقطة النهاية النقطة التي نأخذ النهاية عندها
`f(x)`	دالة الدالة التي ندرس نهايتها
`L`	قيمة النهاية القيمة النهائية للدالة

Exemple : احسب نهاية الدالة $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ عند $x = 3$ باستخدام التعريف

تعريف استمرارية دالة عند نقطة definition

\lim_{x \to a} f (x) = f (a)

Symbole	Signification	Unité
`f`	دالة الدالة المراد دراستها
`a`	نقطة في مجال التعريف النقطة التي ندرس الاستمرارية عندها

Exemple : ادرس استمرارية الدالة $f (x) = \frac{1}{x}$ عند النقطة $a = 0$

نظرية القيمة المتوسطة (IVT) theorem

إذا كانت f مستمرة على [a, b] و f (a) \neq f (b), فإنه يوجد c \in] a, b [بحيث f (c) = k لكل k بين f (a) و f (b)

Symbole	Signification	Unité
`f`	دالة مستمرة الدالة التي نطبق عليها النظرية
`[a,b]`	فترة مغلقة الفترة التي ندرسها
`k`	قيمة متوسطة القيمة التي نريد إثبات وجود نقطة تحققها

Exemple : أثبت أن المعادلة $x^{3} - 2 x - 5 = 0$ لها حل في الفترة [2,3] باستخدام نظرية القيمة المتوسطة

المشتقات

الصيغ الأساسية لحساب معدل تغير الدوال وكيفية اشتقاقها باستخدام القواعد الأساسية.

تعريف المشتقة لدالة عند نقطة definition

f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Formes alternatives

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ — عندما يكون المتغير x وليس a

Symbole	Signification	Unité
`f`	دالة الدالة التي نريد اشتقاقها
`a`	نقطة النقطة التي ندرس عندها المشتقة
`h`	فرق صغير التغير في المتغير

Exemple : احسب مشتقة الدالة $f (x) = x^{3} + 2 x^{2}$ عند $x = 2$ باستخدام التعريف

نظرية القيمة المتوسطة للدوال المشتقة (MVT) theorem

إذا كانت f مستمرة على [a, b] و قابلة للاشتقاق على] a, b [, فإنه يوجد c \in] a, b [بحيث f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Symbole	Signification	Unité
`f`	دالة قابلة للاشتقاق الدالة التي نطبق عليها النظرية
`[a,b]`	فترة مغلقة الفترة التي ندرسها

Exemple : أوجد النقطة $c$ في الفترة [1,4] للدالة $f (x) = \sqrt{x}$ التي تحقق نظرية MVT

قاعدة ضرب الدوال law

{(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Symbole	Signification	Unité
`u`	الدالة الأولى أي دالة قابلة للاشتقاق
`v`	الدالة الثانية أي دالة قابلة للاشتقاق

Exemple : احسب مشتقة الدالة $f (x) = x^{2} \ln (x)$ عند $x = 1$

قاعدة القسمة law

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`u`	البسط الدالة في البسط
`v`	المقام الدالة في المقام

Exemple : احسب مشتقة الدالة $f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ عند $x = π / 2$

التكاملات

الصيغ الأساسية لحساب المساحات تحت المنحنيات والتكاملات غير المحددة باستخدام القواعد الأساسية.

النظرية الأساسية للتكامل (الجزء الأول) theorem

\frac{d}{d x} (\int_{a}^{x} f (t) d t) = f (x)

Symbole	Signification	Unité
`f`	دالة مستمرة الدالة التي نتكاملها
`a`	حد التكامل السفلي الثابت في التكامل
`x`	الحد العلوي المتغير المتغير في التكامل

Exemple : إذا كان $F (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} + 1) d t$ , احسب $F^{'} (2)$

قاعدة التكامل بالأجزاء law

\int u d v = u v - \int v d u

Symbole	Signification	Unité
`u`	الدالة الأولى الدالة التي نختارها لـ u
`dv`	دالة التفاضل الجزء الذي نختاره للدالة الثانية

Exemple : احسب التكامل $\int x e^{2 x} d x$ باستخدام قاعدة الأجزاء

تعريف تكامل ريمان definition

\int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x

Symbole	Signification	Unité
`f`	دالة محدودة الدالة التي نريد تكاملها
`[a,b]`	فترة التكامل الفترة التي نتكامل عليها
`n`	عدد التقسيمات عدد الفواصل في التقسيم

Exemple : احسب تكامل ريمان للدالة $f (x) = x^{2}$ على الفترة [0,2] باستخدام 4 تقسيمات متساوية

المتسلسلات

الصيغ الأساسية لتقريب الدوال باستخدام المتسلسلات اللانهائية وكيفية حساب مجموعها.

متسلسلة تايلور لدوال مثلثية identity

\sin (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, \cos (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

Symbole	Signification	Unité
`x`	متغير حقيقي القيمة التي نريد تقريبها	rad
`n`	رقم الحد مؤشر المتسلسلة

Exemple : استخدم أول 4 حدود من متسلسلة تايلور لحساب $\cos (0.3)$ وقارن مع القيمة الحقيقية (0.9553)

مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية identity

\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1 - r}, | r | < 1

Symbole	Signification	Unité
`a`	الحد الأول الحد الأول للمتسلسلة
`r`	النسبة المشتركة النسبة بين الحدود المتتالية

Exemple : احسب مجموع المتسلسلة $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots$

متباينة المتسلسلة المتناوبة theorem

إذا كانت | a_{n + 1} | \leq | a_{n} | و \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0, فإن \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} a_{n} متقاربة

Symbole	Signification	Unité
`a_n`	حدود المتسلسلة حدود المتسلسلة المتناوبة

Exemple : ادرس تقارب المتسلسلة المتناوبة $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$

نظريات أساسية

النظريات الرئيسية التي تربط بين مفاهيم النهايات والمشتقات والتكاملات.

نظرية تايلور مع reste de Lagrange theorem

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k} + \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1}

Symbole	Signification	Unité
`f`	دالة قابلة للاشتقاق الدالة التي نريد تقريبها
`a`	نقطة التوسيع النقطة التي نوسع حولها
`n`	درجة التقريب عدد الحدود في المتسلسلة
`c`	نقطة في الفترة نقطة بين a وx

Exemple : اكتب تقريب تايلور من الدرجة الثالثة للدالة $f (x) = \ln (1 + x)$ حول النقطة $a = 0$

نظرية القيمة المتوسطة للدوال المتصلة theorem

إذا كانت f مستمرة على [a, b], فإنه يوجد c \in] a, b [بحيث f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

Symbole	Signification	Unité
`f`	دالة مستمرة الدالة التي نطبق عليها النظرية
`[a,b]`	فترة مغلقة الفترة التي ندرسها

Exemple : أوجد القيمة المتوسطة للدالة $f (x) = x^{2}$ على الفترة [0,2]

متباينة كوشي-شوارتز inequality

{(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq (\int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x) (\int_{a}^{b} g {(x)}^{2} d x)

Symbole	Signification	Unité
`f`	الدالة الأولى دالة قابلة للتكامل
`g`	الدالة الثانية دالة قابلة للتكامل

Exemple : تحقق من متباينة كوشي-شوارتز للدالتين $f (x) = 1$ و $g (x) = x$ على الفترة [0,1]

المصادر

en.wikipedia.org