صيغ متعددة الحدود: مرجع شامل للبكالوريا العراقية | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

تعريف ودرجة متعدد الحدود

الصيغ الأساسية التي تحدد ماهية متعدد الحدود ودرجته

تعريف متعدد الحدود definition

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

Symbole	Signification	Unité
`P(x)`	متعدد الحدود التعبير الرياضي الذي يحتوي على حدود ذات أسس صحيحة غير سالبة
`a_i`	معامل الحد ذي الدرجة i أعداد حقيقية (يمكن أن تكون صفراً باستثناء $a_{n}$ )
`x`	المتغير المتغير المستقل في متعدد الحدود
`n`	درجة متعدد الحدود أكبر أس للمتغير x في الحدود غير الصفرية

Exemple : متعدد الحدود P(x) = 3 $x^{3}$ - 2 $x^{2}$ + 5x - 7 هو من الدرجة 3، معاملاته هي 3، -2، 5، -7 على التوالي.

درجة مجموع متعددات الحدود theorem

\deg (P + Q) \leq \max (\deg P, \deg Q)

Symbole	Signification	Unité
`P, Q`	متعددات حدود أي متعددتي حدود
`deg`	دالة الدرجة تعطي درجة متعدد الحدود

Exemple : إذا كان P(x) من الدرجة 4 وQ(x) من الدرجة 2، فإن P(x)+Q(x) من الدرجة 4 على الأكثر.

درجة ضرب متعددات الحدود theorem

\deg (P \times Q) = \deg P + \deg Q

Symbole	Signification	Unité
`P, Q`	متعددات حدود أي متعددتي حدود غير صفرية
`deg`	دالة الدرجة تعطي درجة متعدد الحدود

Exemple : إذا كان P(x) من الدرجة 3 وQ(x) من الدرجة 2، فإن P(x)×Q(x) من الدرجة 5.

العمليات على متعددات الحدود

الصيغ الخاصة بجمع وضرب متعددات الحدود

جمع متعددات الحدود definition

(P + Q) (x) = P (x) + Q (x)

Symbole	Signification	Unité
`P, Q`	متعددات حدود أي متعددتي حدود لهما نفس المتغير
`x`	قيمة المتغير نقطة تقييم متعدد الحدود

Exemple : إذا كان P(x) = 2 $x^{2}$ + 3x - 5 وQ(x) = $x^{2}$ - 2x + 1، فإن (P+Q)(x) = 3 $x^{2}$ + x - 4.

ضرب متعددات الحدود definition

(P \times Q) (x) = P (x) \times Q (x)

Symbole	Signification	Unité
`P, Q`	متعددات حدود أي متعددتي حدود
`x`	قيمة المتغير نقطة تقييم متعدد الحدود

Exemple : إذا كان P(x) = x + 2 وQ(x) = x - 3، فإن (P×Q)(x) = $x^{2}$ - x - 6.

ضرب حد في متعدد حدود law

a \cdot (b_{n} x^{n} + \dots + b_{0}) = a b_{n} x^{n} + \dots + a b_{0}

Symbole	Signification	Unité
`a`	الحد الثابت عدد حقيقي
`b_i`	معاملات متعدد الحدود أعداد حقيقية

Exemple : ضرب 5 في (2 $x^{2}$ - 3x + 1) يعطي 10 $x^{2}$ - 15x + 5.

القسمة الإقليدية لمتعددات الحدود

الصيغ المتعلقة بقسمة متعدد الحدود على آخر مع باقي

القسمة الإقليدية لمتعددات الحدود theorem

P (x) = D (x) \times Q (x) + R (x) حيث \deg R < \deg D

Formes alternatives

$P (x) = D (x) Q (x) + R (x)$ — الصيغة القياسية للقسمة الإقليدية
$P (x) / D (x) = Q (x) + R (x) / D (x)$ — الصيغة الكسرية للقسمة

Symbole	Signification	Unité
`P(x)`	المقسوم متعدد الحدود المراد قسمته
`D(x)`	المقسوم عليه متعدد الحدود غير الصفري
`Q(x)`	الحاصل متعدد الحدود الناتج عن القسمة
`R(x)`	الباقي متعدد الحدود المتبقي، درجته أقل من درجة D

Exemple : قسمة 2 $x^{3}$ + 3 $x^{2}$ - x + 5 على $x^{2}$ + 1 يعطي حاصل 2x + 3 وباقي -3x + 2.

نظرية الباقي theorem

P (a) = R (a) حيث R (x) هو باقي قسمة P (x) على (x - a)

Symbole	Signification	Unité
`P(x)`	متعدد الحدود أي متعدد حدود
`a`	جذر محتمل عدد حقيقي، جذر محتمل لمتعدد الحدود
`R(x)`	باقي القسمة متعدد حدود من الدرجة صفر (ثابت) عندما نقسم على (x-a)

Exemple : عند قسمة P(x) = $x^{3}$ - 2 $x^{2}$ + x - 3 على (x-2)، يكون الباقي R = P(2) = 8 - 8 + 2 - 3 = -1.

نظرية العوامل theorem

a جذر للمتعدد P (x) ⟺ (x - a) يقسم P (x)

Symbole	Signification	Unité
`P(x)`	متعدد الحدود أي متعدد حدود
`a`	جذر عدد حقيقي بحيث P(a) = 0

Exemple : إذا كان P(3) = 0، فإن (x-3) هو عامل من عوامل P(x).

التحليل إلى عوامل و الجذور

الصيغ المتعلقة بتحليل متعدد الحدود إلى عوامل أبسط وإيجاد جذوره

تحليل ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية theorem

a x^{2} + b x + c = a (x - r_{1}) (x - r_{2}) حيث r_{1}, r_{2} جذورا المعادلة

Symbole	Signification	Unité
`a, b, c`	معاملات ثلاثي الحدود أعداد حقيقية، a ≠ 0
`r_1, r_2`	جذورا المعادلة حلولا المعادلة a $x^{2}$ + bx + c = 0

Exemple : تحليل 2 $x^{2}$ - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - 1.5). الجذور هي 1 و 1.5.

مجموع وجذر حاصل ضرب الجذور (قانون فييت) theorem

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a} و r_{1} r_{2} = \frac{c}{a}

Symbole	Signification	Unité
`a, b, c`	معاملات ثلاثي الحدود أعداد حقيقية، a ≠ 0
`r_1, r_2`	جذورا المعادلة حلولا المعادلة a $x^{2}$ + bx + c = 0

Exemple : للثلاثي 3 $x^{2}$ - 7x + 2، مجموع الجذور = 7/3، حاصل ضرب الجذور = 2/3.

تحليل الفرق بين مربعين identity

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Symbole	Signification	Unité
`a, b`	حدان مربعان أعداد حقيقية أو تعبيرات جبرية

Exemple : تحليل $x^{2}$ - 25 = (x - 5)(x + 5).

صيغة تايلور لمتعدد الحدود

تقريب متعدد الحدود باستخدام متسلسلة تايلور عند نقطة معينة

متسلسلة تايلور لمتعدد الحدود عند النقطة a theorem

P (x) = P (a) + P^{'} (a) (x - a) + \frac{P^{''} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \dots + \frac{P^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n}

Formes alternatives

$P (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{P^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k}$ — الصيغة المجمعية لمتسلسلة تايلور

Symbole	Signification	Unité
`P(x)`	متعدد الحدود أي متعدد حدود من الدرجة n
`a`	نقطة التطوير عدد حقيقي، النقطة التي نطور عندها المتسلسلة
`P^{(k)}(a)`	المشتقة من الرتبة k عند a المشتقة من الرتبة k لمتعدد الحدود P عند النقطة a

Exemple : لتطوير P(x) = $x^{3}$ عند a=1: P(x) = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3.

متعددة حدود تايلور من الدرجة k definition

T_{k} (x) = \sum_{i = 0}^{k} \frac{P^{(i)} (a)}{i!} {(x - a)}^{i}

Symbole	Signification	Unité
`T_k(x)`	متعددة تايلور من الدرجة k التقريب من الدرجة k لمتعدد الحدود P عند النقطة a
`k`	الدرجة المطلوبة درجة متعددة تايلور (k ≤ n)

Exemple : متعددة تايلور من الدرجة 2 للدالة P(x)= $x^{3}$ عند a=1 هي $T_{2}$ (x) = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2.

باقي صيغة تايلور theorem

R_{k} (x) = P (x) - T_{k} (x) = \frac{P^{(k + 1)} (c)}{(k + 1)!} {(x - a)}^{k + 1} ل某个 c

Symbole	Signification	Unité
`R_k(x)`	باقي تايلور الفرق بين متعدد الحدود الأصلي والتقريب
`c`	نقطة متوسطة عدد حقيقي بين a وx

Exemple : لباقي تايلور من الدرجة 2 للدالة P(x)= $x^{3}$ عند a=1 ول x=2، نجد $R_{2}$ (2) = 8 - (1 + 3 + 3) = 1.

مشتقة متعدد الحدود

الصيغ الخاصة بحساب مشتقات متعددات الحدود

قاعدة القوة للمشتقة law

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

Symbole	Signification	Unité
`n`	الأس عدد صحيح موجب

Exemple : مشتقة $x^{5}$ هي 5 $x^{4}$ .

مشتقة مجموع متعددات الحدود law

\frac{d}{d x} [P (x) + Q (x)] = P^{'} (x) + Q^{'} (x)

Symbole	Signification	Unité
`P(x), Q(x)`	متعددات حدود أي متعددتي حدود قابلتين للاشتقاق

Exemple : مشتقة (3 $x^{2}$ + 2x) هي 6x + 2.

مشتقة ضرب متعددات الحدود (قاعدة الضرب) law

\frac{d}{d x} [P (x) Q (x)] = P^{'} (x) Q (x) + P (x) Q^{'} (x)

Symbole	Signification	Unité
`P(x), Q(x)`	متعددات حدود أي متعددتي حدود قابلتين للاشتقاق

Exemple : مشتقة ( $x^{2}$ )( $x^{3}$ ) = 2x· $x^{3}$ + $x^{2}$ ·3 $x^{2}$ = 5 $x^{4}$ .

مشتقة قسمة متعددات الحدود law

\frac{d}{d x} [\frac{P (x)}{Q (x)}] = \frac{P^{'} (x) Q (x) - P (x) Q^{'} (x)}{{[Q (x)]}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`P(x), Q(x)`	متعددات حدود Q(x) ≠ 0

Exemple : مشتقة ( $x^{2}$ )/(x+1) = [2x(x+1) - $x^{2}$ (1)]/(x+1)^2 = ( $x^{2}$ + 2x)/(x+1)^2.

تكامل متعدد الحدود

الصيغ الخاصة بحساب تكاملات متعددات الحدود

قاعدة القوة للتكامل law

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C عندما n \neq - 1

Symbole	Signification	Unité
`n`	الأس عدد صحيح موجب أو سالب (n ≠ -1)
`C`	ثابت التكامل ثابت حقيقي عشوائي

Dimensions : ${[L]}^{n + 1}$

Exemple : تكامل $x^{4}$ dx = $x^{5}$ /5 + C.

تكامل مجموع متعددات الحدود law

\int [P (x) + Q (x)] d x = \int P (x) d x + \int Q (x) d x

Symbole	Signification	Unité
`P(x), Q(x)`	متعددات حدود أي متعددتي حدود قابلتين للتكامل

Exemple : تكامل (3 $x^{2}$ + 2x) dx = $x^{3}$ + $x^{2}$ + C.

تكامل ضرب متعدد الحدود في ثابت law

\int a \cdot P (x) d x = a \int P (x) d x

Symbole	Signification	Unité
`a`	ثابت عدد حقيقي
`P(x)`	متعدد حدود أي متعدد حدود قابل للتكامل

Exemple : تكامل 5 $x^{3}$ dx = 5·( $x^{4}$ /4) + C = (5/4) $x^{4}$ + C.

تكامل متعدد الحدود من الدرجة n theorem

\int_{a}^{b} P (x) d x = {[\frac{P (x)}{P^{'} (x)}]}_{a}^{b} إذا P^{'} (x) \neq 0

Formes alternatives

$\int_{a}^{b} P (x) d x = Q (b) - Q (a) حيث Q^{'} (x) = P (x)$ — الصيغة الأساسية للتكامل المحدد

Symbole	Signification	Unité
`P(x)`	متعدد حدود متعدد حدود قابل للاشتقاق
`a, b`	حدود التكامل أعداد حقيقية، a < b

Dimensions : $[P (x)] · [L]$

Exemple : تكامل $x^{2}$ من 0 إلى 2 = [ $x^{3}$ /3]_0^2 = 8/3 - 0 = 8/3.

تعريف ودرجة متعدد الحدود

العمليات على متعددات الحدود

القسمة الإقليدية لمتعددات الحدود

التحليل إلى عوامل و الجذور

صيغة تايلور لمتعدد الحدود

مشتقة متعدد الحدود

تكامل متعدد الحدود

المصادر