المعادلات التربيعية في العراق: الصيغ والحلول | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حل معادلة تربيعية باستخدام التحليل إلى عوامل في مسائل واقعية عراقية
تطبيق الصيغة التربيعية لحساب الجذور بدقة في المعادلات ذات المعاملات الكاملة
استخدام العلاقات بين الجذور لحساب قيم مجهولة في مسائل الاقتصاد المحلي
تحليل المميز لتحديد طبيعة الجذور في مسائل الفيزياء والهندسة
تطبيق المعادلات التربيعية في نماذج реальية مثل تسعير المنتجات في أسواق بغداد

المتطلبات السابقة

حل المعادلات الخطية
تحليل المقادير الجبرية
حساب الجذور التربيعية
القوى والمتجهات

الوقت المقدر: 15 د المستوى: ●●○○ متوسط

الصيغة العامة

الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية مع تعريف المعاملات الأساسية

الصيغة العامة للمعادلة التربيعية law

a x^{2} + b x + c = 0

Formes alternatives

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$ — عندما a = 1 (الصيغة المعيارية)

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي يجب أن لا يساوي الصفر (a ≠ 0)
`b`	المعامل الخطي المعامل المرافق للمتغير x
`c`	الثابت القيمة العددية الثابتة
`x`	المتغير (الجذر) القيمة المجهولة التي نبحث عنها

Exemple : إذا كان سعر كيلو الطماطم في أسواق البصرة يُعطى بالدالة P(x) = 3x² - 12x + 9 دينار عراقي، حيث x هو عدد الكيلوغرامات. حل المعادلة 3x² - 12x + 9 = 0 لإيجاد الكميات التي يكون السعر عندها صفر دينار.

المميز Δ definition

Δ = b^{2} - 4 a c

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`c`	الثابت
`\Delta`	المميز Δ > 0: جذرين حقيقيين مختلفين; Δ = 0: جذر حقيقي مزدوج; Δ < 0: جذرين مركبين

Exemple : في المعادلة x² - 6x + 8 = 0، المميز Δ = (-6)² - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 > 0، لذا يوجد جذرين حقيقيين مختلفين هما 2 و 4.

الصيغة التربيعية theorem

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Formes alternatives

$x = \frac{- \frac{b}{2} \pm \sqrt{{(\frac{b}{2})}^{2} - a c}}{a}$ — الصيغة المكتملة المربعة

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`c`	الثابت
`x`	جذور المعادلة الحلول الحقيقية أو المركبة

Exemple : حل المعادلة 2x² + 8x - 10 = 0 باستخدام الصيغة التربيعية: x = [-8 ± √(64 + 80)] / 4 = [-8 ± √144]/4 = [-8 ± 12]/4 → x = 1 أو x = -5. هذه القيم تمثل الكميات التي يكون السعر عندها صفر دينار في نموذج تسعير محلي.

العلاقة بين الجذور theorem

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a}

Formes alternatives

$r_{1} \times r_{2} = \frac{c}{a}$ — حاصل ضرب الجذور
$r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = {(r_{1} + r_{2})}^{2} - 2 r_{1} r_{2}$ — مجموع مربعات الجذور

Symbole	Signification	Unité
`r_{1}`	الجذر الأول حل المعادلة
`r_{2}`	الجذر الثاني حل المعادلة
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي

Exemple : إذا كان جذرا المعادلة x² - 5x + 6 = 0 هما 2 و 3، فإن مجموعهما 2 + 3 = 5 = -(-5)/1، وحاصل ضربهما 2 × 3 = 6 = 6/1.

الصيغ الخاصة law

a x^{2} + c = 0

Formes alternatives

$x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$ — حل المعادلة النقية
$a x^{2} + b x = 0$ — المعادلة بدون ثابت
$x (a x + b) = 0$ — تحليل المعادلة بدون ثابت

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`c`	الثابت يجب أن يكون c سالباً للحصول على حلول حقيقية
`x`	المتغير الجذر التربيعي

Exemple : حل المعادلة 4x² - 16 = 0: 4x² = 16 → x² = 4 → x = ±2. هذه القيم تمثل الكميات التي يكون عندها الدخل صفراً في نموذج اقتصادي بسيط.

تحليل المعادلة التربيعية definition

f (x) = a {(x - h)}^{2} + k

Formes alternatives

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ — الصيغة العامة

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0، يحدد اتجاه واتساع القطع المكافئ
`h`	إحداثي السينات للرأس حيث f(h) = k
`k`	إحداثي الصادات للرأس القيمة العظمى أو الصغرى للدالة
`x`	المتغير قيمة المدخل

Exemple : الدالة f(x) = 2(x - 3)² - 8 تمثل سعر سلعة في أربيل، حيث الرأس عند النقطة (3, -8). عندما x = 3، يكون السعر -8 دينار (وهو أدنى سعر نظري).

مسافة بين مدينتين (تطبيق جغرافي) theorem

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`d`	المسافة بين المدينتين المسافة الجوية بين مدينتين	كم
`x_{1}, y_{1}`	إحداثيات المدينة الأولى مثلاً بغداد: (0,0)	كم
`x_{2}, y_{2}`	إحداثيات المدينة الثانية مثلاً البصرة: (550, -350)	كم

Dimensions : $[L]$

Exemple : المسافة الجوية بين بغداد (0,0) والبصرة (550, -350) هي d = √(550² + (-350)²) ≈ 651 كم. هذه المسافة مهمة لحساب تكاليف النقل في مسائل الاقتصاد.

حل المعادلة التربيعية

طرق حل المعادلات التربيعية: التحليل، المكاملة التامة، الصيغة التربيعية

التحليل إلى عوامل theorem

a x^{2} + b x + c = a (x - r_{1}) (x - r_{2})

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`r_{1}, r_{2}`	الجذور حلول المعادلة
`x`	المتغير المتغير المجهول

Exemple : حل المعادلة x² - 7x + 12 = 0: نبحث عن عددين مجموعهما 7 وحاصل ضربهما 12 → 3 و 4. إذن (x-3)(x-4)=0 → x=3 أو x=4. هذه الكميات تمثل نقاط التعادل في نموذج ربح/خسارة محلي.

المكاملة التامة (طريقة إكمال المربع) theorem

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`c`	الثابت

Exemple : حل المعادلة x² + 6x + 5 = 0 باستخدام إكمال المربع: (x+3)² - 4 = 0 → (x+3)² = 4 → x+3 = ±2 → x = -1 أو x = -5.

صيغة جذر المميز theorem

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`Δ`	المميز Δ = b² - 4ac
`x`	الجذور حلول المعادلة

Exemple : للمعادلة 2x² - 4x - 6 = 0، المميز Δ = 16 + 48 = 64. الجذور هي x = 4/4 ± 8/4 → x = 1 ± 2 → x = 3 أو x = -1.

العلاقات بين الجذور

العلاقات الرياضية بين جذرين أي معادلة تربيعية

مجموع الجذور theorem

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a}

Symbole	Signification	Unité
`r_{1}, r_{2}`	الجذرين
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي

Exemple : في المعادلة x² - 9x + 20 = 0، مجموع الجذرين = 9 = -(-9)/1. الجذور هما 4 و 5، ومجموعهما 4+5=9.

حاصل ضرب الجذور theorem

r_{1} \times r_{2} = \frac{c}{a}

Symbole	Signification	Unité
`r_{1}, r_{2}`	الجذرين
`c`	الثابت
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0

Exemple : في المعادلة x² - 5x + 6 = 0، حاصل ضرب الجذرين = 6 = 6/1. الجذور هما 2 و 3، وحاصل ضربهما 2×3=6.

مجموع مربعات الجذور theorem

r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = {(r_{1} + r_{2})}^{2} - 2 r_{1} r_{2}

Symbole	Signification	Unité
`r_{1}, r_{2}`	الجذرين

Exemple : إذا كان جذر المعادلة x² - 4x + 3 = 0 هما 1 و 3، فإن مجموع مربعاتهما = 1² + 3² = 10، وحساباً: (1+3)² - 2(1×3) = 16 - 6 = 10.

تحليل المميز

المميز Δ = b² - 4ac يحدد عدد وطبيعة الجذور

حساب المميز definition

Δ = b^{2} - 4 a c

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`c`	الثابت
`\Delta`	المميز Δ > 0: جذرين حقيقيين مختلفين; Δ = 0: جذر حقيقي مزدوج; Δ < 0: جذرين مركبين

Exemple : في المعادلة x² - 4x + 4 = 0، المميز Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0. لذا يوجد جذر حقيقي مزدوج هو x = 2.

عدد الجذور الحقيقية definition

N = {\begin{matrix} 2 & if Δ > 0 \\ 1 & if Δ = 0 \\ 0 & if Δ < 0 \end{matrix}

Symbole	Signification	Unité
`N`	عدد الجذور الحقيقية عدد الحلول الحقيقية للمعادلة
`\Delta`	المميز

Exemple : المعادلة 3x² + 2x + 1 = 0 لها مميز Δ = 4 - 12 = -8 < 0، لذا لا يوجد جذور حقيقية (N=0).

قيمة الجذر المزدوج theorem

r = - \frac{b}{2 a}

Symbole	Signification	Unité
`r`	الجذر المزدوج القيمة التي تتكرر مرتين
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي

Exemple : في المعادلة x² - 6x + 9 = 0، الجذر المزدوج هو r = 6/2 = 3. لذا الحل هو x = 3 (مكرر).

الصيغة التربيعية العامة

الصيغة العامة لحساب الجذور لأي معادلة تربيعية

الصيغة التربيعية theorem

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Formes alternatives

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}$ — صيغة جذر المميز

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`c`	الثابت
`x`	جذور المعادلة الحلول الحقيقية أو المركبة

Exemple : حل المعادلة x² + 2x - 8 = 0: x = [-2 ± √(4 + 32)]/2 = [-2 ± √36]/2 = [-2 ± 6]/2 → x = 2 أو x = -4. هذه القيم تمثل نقاط التعادل في نموذج ربح/خسارة لمحلات في شارع الرشيد.

الصيغة التربيعية المبسطة theorem

x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}}

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`c`	الثابت

Exemple : للمعادلة 2x² + 8x + 6 = 0: x = -8/4 ± √((8/4)² - 6/2) = -2 ± √(4 - 3) = -2 ± 1 → x = -1 أو x = -3.

الصيغة باستخدام المميز theorem

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`Δ`	المميز Δ = b² - 4ac

Exemple : المعادلة 3x² - 12x + 9 = 0: Δ = 144 - 108 = 36. الجذور هي x = 12/6 ± 6/6 → x = 2 ± 1 → x = 3 أو x = 1.

الصيغ الخاصة

صيغ مختصرة لحالات خاصة من المعادلات التربيعية

المعادلة النقية (بدون حد خطي) law

a x^{2} + c = 0

Formes alternatives

$x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$ — حل المعادلة النقية

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`c`	الثابت يجب أن يكون c سالباً للحصول على حلول حقيقية
`x`	المتغير الجذر التربيعي

Exemple : حل المعادلة 5x² - 20 = 0: 5x² = 20 → x² = 4 → x = ±2. هذه القيم تمثل الكميات التي يكون عندها الدخل صفراً في نموذج اقتصادي بسيط.

المعادلة بدون ثابت (بدون حد ثابت) law

a x^{2} + b x = 0

Formes alternatives

$x (a x + b) = 0$ — تحليل المعادلة

Symbole	Signification	Unité
`a`	المعامل التربيعي a ≠ 0
`b`	المعامل الخطي
`x`	المتغير الحلول x=0 و x=-b/a

Exemple : حل المعادلة 4x² + 12x = 0: 4x(x + 3) = 0 → x = 0 أو x = -3. الحلول تمثل الكميات التي يكون عندها السعر صفر دينار في نموذج محلي.

المعادلة التربيعية الكاملة law

x^{2} + p x + q = 0

Symbole	Signification	Unité
`p`	المعامل الخطي p = b/a
`q`	الثابت q = c/a
`x`	المتغير الجذور

Exemple : حل المعادلة x² - 5x + 6 = 0: باستخدام الصيغة التربيعية x = [5 ± √(25-24)]/2 = [5 ± 1]/2 → x = 3 أو x = 2.

الصيغة العامة

حل المعادلة التربيعية

العلاقات بين الجذور

تحليل المميز

الصيغة التربيعية العامة

الصيغ الخاصة

المصادر