المتعددات الحدود: دليل شامل لطلاب العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تعرّف على تعريف متعدد الحدود ومكوناته الأساسية مثل الحدود، المعاملات، والدرجة
احسب قيمة متعدد حدود عند نقطة معينة باستخدام التعويض المباشر
حلل متعدد حدود إلى عوامله الأولية باستخدام طرق التحليل المختلفة
استخدم نظرية الباقي ونظرية العامل لحل مسائل متعلقة بجذور متعدد الحدود
طوّر نماذج رياضية بسيطة باستخدام متعددات الحدود لحل مسائل من الحياة اليومية في العراق

المتطلبات السابقة

العمليات الحسابية الأساسية
قوانين الأسس
تحليل الأعداد إلى عوامل

الوقت المقدر: 25 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يومًا كيف يمكن لنموذج رياضي بسيط أن يتنبأ بسعر الخضار في سوق السعدون؟ أو كيف تحسب تكلفة بناء منزل في النجف بناءً على مساحته؟ الإجابة تكمن في متعددات الحدود! هذه الأداة الرياضية القوية التي نستخدمها يوميًا دون أن ندرك ذلك. تخيل أنك تريد حساب تكلفة رحلة عائلية من بغداد إلى البصرة: تكلفة الوقود تعتمد على المسافة ( $395$ كيلومتر) وسعر لتر البنزين ( $0.5$ دولار أمريكي)، ثم نضيف تكلفة الطريق ( $50000$ دينار عراقي) ورسوم العبور ( $15000$ دينار). هذا المثال البسيط هو متعدد حدود من الدرجة الأولى. في هذا الدليل، سنكتشف معًا كيف تعمل متعددات الحدود، وكيف يمكنك استخدامها لحل مشاكل حقيقية في حياتك اليومية في العراق.

الجبر

تحليل متعدد الحدود (noun) /tahliil mutaʕaddid al-hu.dud/

عملية كتابة متعدد الحدود على شكل حاصل ضرب عوامل أبسط، غالبًا ما تكون حدودًا من الدرجة الأولى أو الثانية. يسهل هذا التحليل حل المعادلات وفهم سلوك الدالة.

المرادفات : تفكيك متعدد الحدود, تحليل إلى عوامل

التحليل الجيد هو المفتاح لحل معظم مسائل متعددات الحدود بكفاءة.

P (x) = (x - r_{1}) (x - r_{2}) . . . (x - r_{n}) Q (x)

يمكن تحليل المتعدد $x^{2} - 5 x + 6$ إلى $(x - 2) (x - 3)$ . تخيل أنك تريد تقسيم قطعة أرض في أربيل إلى قطعتين متساويتين، فإن التحليل يساعدك على تحديد الأبعاد المناسبة.

جذر متعدد الحدود (noun) /jath mutaʕaddid al-hu.dud/

القيمة التي تجعل قيمة متعدد الحدود تساوي صفرًا. أي حل للمعادلة

P (x) = 0

. يمكن أن يكون حقيقيًا أو مركبًا.

المرادفات : حل متعدد الحدود, صفر الدالة

معرفة جذور متعدد الحدود تمكنك من تحليلها إلى عوامل وحل المعادلات المرتبطة بها.

P (r) = 0

إذا كان لديك متعدد حدود يمثل ربح متجر في بغداد، فإن جذوره تمثّل نقاط التعادل (حيث لا ربح ولا خسارة). على سبيل المثال، جذر $x - 5 = 0$ هو $x = 5$ .

حد (noun) /ħadd/

جزء من متعدد الحدود يتكون من معامل مضروب في متغير مرفوع لأس معين. يمكن أن يكون الحد ثابتًا (بدون متغير) أو متغيرًا واحدًا أو عدة متغيرات.

المرادفات : حد جبري, مصطلح

الحدود هي اللبنات الأساسية التي يبنى منها أي متعدد حدود.

في المتعدد $3 x^{2} + 2 x - 5$ ، الحدود هي $3 x^{2}$ و $2 x$ و $- 5$ . الحد $3 x^{2}$ يمثل تكلفة بناء $3$ أمتار مربعة من الأرضيات في مشروعك في أربيل.

درجة متعدد الحدود (noun) /daraja mutaʕaddid al-hu.dud/

أكبر أس للمتغير في متعدد الحدود بعد تجميع الحدود المتشابهة. إذا لم يكن هناك متغير (أي متعدد حدود ثابت)، تكون الدرجة صفرًا.

المرادفات : رتبة متعدد الحدود

درجة متعدد الحدود تحدد شكله وسلوكه عند رسمه بيانيًا.

d e g (P) = m a x n | a_{n} \neq 0

المتعدد $4 x^{5} - 3 x^{2} + 2$ درجته $5$ لأنه أعلى أس للمتغير $x$ . إذا كنت تحسب تكلفة بناء جسر في الموصل بناءً على ارتفاعه ( $x$ أمتار)، فإن الدرجة تحدد مدى تعقيد الحسابات.

قوانين الأسس (noun) /qawaaniin al-as-s/

قوانين رياضية تحكم عمليات الضرب والقسمة والرفع لأسس مختلفة للمتغيرات. هذه القوانين أساسية في التعامل مع متعددات الحدود.

المرادفات : قواعد الأسس, خواص الأسس

إتقان قوانين الأسس يحل معظم مشاكل متعددات الحدود بسرعة ودقة.

x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}, {(x^{m})}^{n} = x^{m n}, x^{m} / x^{n} = x^{m - n}

عند حساب تكلفة بناء جدار في الموصل بارتفاع $x^{2}$ وطول $x^{3}$ ، فإن المساحة هي $x^{2} \cdot x^{3} = x^{2 + 3} = x^{5}$ .

متعدد الحدود (noun) /mu.taʕ.d.did al-hu.dud/

تعبير رياضي مكون من حدود جبرية، حيث كل حد هو حاصل ضرب معامل في متغير مرفوع لأس صحيح غير سالب. يمكن أن يحتوي على عمليات الجمع والطرح والضرب فقط.

المرادفات : دالة متعددة الحدود, بولينوم

هو الأساس في حل المعادلات الرياضية وفي نمذجة الظواهر الطبيعية والاقتصادية.

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}

إذا أردت حساب تكلفة شراء $5$ كيلو من الطماطم بسعر $2000$ دينار للكيلو في سوق الشورجة، فإن التعبير $2000 \times 5$ هو متعدد حدود من الدرجة صفر (ثابت).

متعدد حدود تربيعي (noun) /muttaʕdid hu.dud tarbiʕi/

متعدد حدود من الدرجة الثانية، يكون على الصورة

a x^{2} + b x + c

حيث

a

و

b

و

c

ثوابت و

a \neq 0

. يشكل منحنى مكافئًا عند رسمه بيانيًا.

المرادفات : دالة تربيعية, بولينوم من الدرجة الثانية

يستخدم في مسائل المساحات والحركة تحت تأثير الجاذبية الأرضية.

P (x) = a x^{2} + b x + c

إذا أردت حساب مساحة قطعة أرض مستطيلة في البصرة بعد إزالة جزء مربع الشكل، فقد تحتاج إلى متعدد حدود تربيعي مثل $x^{2} - 4 x + 4$ حيث $x$ هو طول الضلع المربع.

متعدد حدود تكعيبي (noun) /muttaʕdid hu.dud takʕubi/

متعدد حدود من الدرجة الثالثة، يكون على الصورة

a x^{3} + b x^{2} + c x + d

حيث

a

و

b

و

c

و

d

ثوابت و

a \neq 0

. يشكل منحنى معقدًا عند رسمه بيانيًا.

المرادفات : دالة تكعيبية, بولينوم من الدرجة الثالثة

يستخدم في نماذج أكثر تعقيدًا مثل حساب حجم المواد في البناء أو التحليل الاقتصادي.

P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

عند حساب حجم خزان ماء أسطواني في مصنع في النجف، قد تحتاج إلى متعدد حدود تكعيبي يعتمد على ارتفاع الخزان وقطره.

متعدد حدود ثابت (noun) /muttaʕdid hu.dud thaabit/

متعدد حدود لا يحتوي على أي متغيرات، فقط ثابت عددي. درجته دائمًا صفر.

المرادفات : دالة ثابتة, بولينوم من الدرجة صفر

على الرغم من بساطته، إلا أن المتعددات الثابتة مهمة في العديد من التطبيقات مثل حساب التكاليف الثابتة.

P (x) = c

إذا كانت تكلفة استئجار قاعة في بغداد هي $500000$ دينار بغض النظر عن عدد الحضور، فإن هذا التعبير هو متعدد حدود ثابت.

متعدد حدود ثابت (noun) /muttaʕdid hu.dud thaabit/

متعدد حدود لا يحتوي على أي متغيرات، فقط ثابت عددي. درجته دائمًا صفر.

المرادفات : دالة ثابتة, بولينوم من الدرجة صفر

على الرغم من بساطته، إلا أن المتعددات الثابتة مهمة في العديد من التطبيقات مثل حساب التكاليف الثابتة.

P (x) = c

إذا كانت تكلفة استئجار قاعة في بغداد هي $500000$ دينار بغض النظر عن عدد الحضور، فإن هذا التعبير هو متعدد حدود ثابت.

متعدد حدود خطي (noun) /muttaʕdid hu.dud xatti/

متعدد حدود من الدرجة الأولى، يكون على الصورة

a x + b

حيث

a

و

b

ثوابت و

a \neq 0

. يمثل خطًا مستقيمًا عند رسمه بيانيًا.

المرادفات : دالة خطية, بولينوم من الدرجة الأولى

يستخدم في نماذج التنبؤ البسيطة مثل حساب التكاليف بناءً على الكمية.

P (x) = a x + b

إذا كانت تكلفة استئجار سيارة أجرة في بغداد هي $20000$ دينار زائد $5000$ دينار لكل كيلومتر، فإن التعبير $20000 + 5000 x$ هو متعدد حدود خطي يمثل التكلفة الكلية.

متعدد حدود غير معروف الدرجة (noun) /muttaʕdid hu.dud ghayr maʕruuf al-daraja/

متعدد حدود درجته غير محددة أو غير معروفة. في هذه الحالة، نتعامل معه بشكل عام دون تحديد درجة محددة.

المرادفات : بولينوم عام

المتعددات غير المعروفة الدرجة تظهر في المسائل النظرية أو عند التعامل مع متغيرات عامة.

P (x) = a_{n} x^{n} + . . . + a_{0}, n غير معروف

عند التعامل مع مسألة نظرية حول متعدد حدود عام، قد لا نحدد درجة محددة مثل $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ حيث $n = 3$ ، بل نتعامل معه بشكل عام.

متعدد حدود من الدرجة الأولى (noun) /muttaʕdid hu.dud min al-daraja al-ʔuulaa/

انظر إلى مصطلح "متعدد حدود خطي".

المرادفات : بولينوم من الدرجة الأولى

P (x) = a x + b

انظر إلى مثال متعدد حدود خطي أعلاه.

متعدد حدود من الدرجة الثالثة (noun) /muttaʕdid hu.dud min al-daraja al-thaalitha/

انظر إلى مصطلح "متعدد حدود تكعيبي".

المرادفات : بولينوم من الدرجة الثالثة

P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

انظر إلى مثال متعدد حدود تكعيبي أعلاه.

متعدد حدود من الدرجة الثانية (noun) /muttaʕdid hu.dud min al-daraja al-thaaniyya/

انظر إلى مصطلح "متعدد حدود تربيعي".

المرادفات : بولينوم من الدرجة الثانية

P (x) = a x^{2} + b x + c

انظر إلى مثال متعدد حدود تربيعي أعلاه.

متعدد حدود من الدرجة الخامسة (noun) /muttaʕdid hu.dud min al-daraja al-khaamisah/

انظر إلى المصطلح أعلاه.

المرادفات : بولينوم خماسي

P (x) = a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + e x + f

انظر إلى مثال متعدد حدود من الدرجة الخامسة فما فوق أعلاه.

متعدد حدود من الدرجة الخامسة فما فوق (noun) /muttaʕdid hu.dud min al-daraja al-khaamisah fa-fawq/

متعدد حدود درجته ≥5. هذه متعددات الحدود نادرة نسبيًا في المسائل الأساسية ولكنها تظهر في تطبيقات متقدمة مثل نظرية الفوضى أو النماذج الرياضية المعقدة.

المرادفات : متعدد حدود عالي الدرجة

في المستوى الثانوي، نادرًا ما نتعامل مع متعددات الحدود من الدرجة الخامسة فما فوق، لكنها تظهر في الرياضيات المتقدمة.

P (x) = a_{n} x^{n} + . . . + a_{0}, n \geq 5

في بعض نماذج التنبؤ بالطقس أو تحليل البيانات الكبيرة، قد نستخدم متعدد حدود من الدرجة الخامسة أو أعلى.

متعدد حدود من الدرجة الرابعة (noun) /muttaʕdid hu.dud min al-daraja al-raabiʕah/

متعدد حدود من الدرجة الرابعة، يكون على الصورة

a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

حيث

a \neq 0

. يشكل منحنى معقدًا عند الرسم البياني.

المرادفات : دالة من الدرجة الرابعة, بولينوم رباعي

يستخدم في نماذج أكثر تعقيدًا مثل حساب المساحات الكبيرة أو التحليلات الاقتصادية المتقدمة.

P (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

عند حساب حجم خزان ماء كبير في مصنع في البصرة، قد تحتاج إلى متعدد حدود من الدرجة الرابعة يعتمد على عدة أبعاد.

متعدد حدود من الدرجة الرابعة (noun) /muttaʕdid hu.dud min al-daraja al-raabiʕah/

انظر إلى المصطلح أعلاه.

المرادفات : بولينوم رباعي

P (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

انظر إلى مثال متعدد حدود من الدرجة الرابعة أعلاه.

معامل (noun) /mu.ʕa.ddil/

العدد الثابت الذي يضرب في المتغير في الحد الجبري. يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.

المرادفات : عامل, ثابت

تحديد المعاملات بشكل صحيح هو مفتاح حل أي مسألة تتعلق بمتعددات الحدود.

في الحد $7 x^{3}$ ، المعامل هو $7$ . إذا كنت تحسب تكلفة شراء $7$ صناديق من التمر بسعر $30000$ دينار للصندوق، فإن $30000$ هو المعامل.

نظرية الباقي (noun) /naẓariyyat al-baaqi/

تنص على أن باقي قسمة متعدد الحدود

P (x)

على

(x - c)

هو

P (c)

. هذه النظرية تساعد في حساب الباقي دون إجراء القسمة المطولة.

المرادفات : نظرية الباقي لقسمة متعددات الحدود

توفر طريقة سريعة لحساب الباقي في مسائل القسمة.

P (x) = (x - c) Q (x) + P (c)

إذا قسمنا المتعدد $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ على $(x - 1)$ ، فإن الباقي هو $P (1) = 1 - 2 + 1 - 1 = - 1$ . تخيل أنك تريد حساب الباقي من قسمة كمية من الدقيق في مخبز في بغداد.

نظرية العامل (noun) /naẓariyyat al-ʕaamil/

تنص على أنه إذا كان

r

جذرًا لمتعدد الحدود

P (x)

، فإن

(x - r)

هو عامل من عوامل

P (x)

. هذه النظرية أساسية في تحليل متعددات الحدود.

المرادفات : نظرية الباقي (جزء منها), نظرية العوامل

توفر طريقة عملية للتحقق من أن عددًا معينًا هو جذر لمتعدد حدود معين.

P (r) = 0 \Rightarrow (x - r) | P (x)

إذا كان $x = 2$ جذرًا للمتعدد $P (x) = x^{2} - 4$ ، فإن $(x - 2)$ هو عامل من عوامله، ويمكن كتابة $P (x) = (x - 2) (x + 2)$ .

العمليات على متعددات الحدود

جمع الحدود المتشابهة (noun) /jamʕ al-huduud al-mutashaabihah/

عملية تبسيط متعدد الحدود بجمع الحدود التي لها نفس المتغير والأس. هذه العملية أساسية في تبسيط التعبير الرياضي.

المرادفات : تبسيط الحدود, دمج الحدود

الجمع الصحيح للحدود المتشابهة يقلل من تعقيد الحسابات ويجعلها أكثر كفاءة.

a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n}

عند حساب تكلفة شراء $3$ كيلو تفاح بسعر $2000$ دينار للكيلو و $2$ كيلو موز بسعر $3000$ دينار للكيلو، فإن المجموع هو $3 \times 2000 + 2 \times 3000 = 6000 + 6000 = 12000$ دينار.

جمع متعددات الحدود (noun) /jamʕ mutaʕaddidaat al-hu.dud/

عملية جمع اثنين أو أكثر من متعددات الحدود عن طريق جمع الحدود المتشابهة. الناتج هو متعدد حدود جديد.

المرادفات : دمج متعددات الحدود

جمع متعددات الحدود هو عملية أساسية في تبسيط التعبيرات المعقدة.

(a_{n} x^{n} + . . . + a_{0}) + (b_{n} x^{n} + . . . + b_{0}) = (a_{n} + b_{n}) x^{n} + . . . + (a_{0} + b_{0})

إذا كان لديك تكلفة شراء مواد بناء في أربيل ( $3 x^{2} + 2 x + 50000$ ) وتكلفة النقل ( $x^{2} + 3 x + 20000$ )، فإن المجموع هو $4 x^{2} + 5 x + 70000$ .

ضرب الحدود (noun) /durb al-huduud/

عملية ضرب حدين أو أكثر للحصول على حد جديد. عند ضرب حدود لها نفس المتغير، نجمع الأسس.

المرادفات : ضرب الحدود الجبرية, توسيع الحدود

ضرب الحدود هو الأساس في توسيع متعددات الحدود وفي حل المعادلات.

(a x^{m}) (b x^{n}) = a b x^{m + n}

إذا أردت حساب مساحة أرض مستطيلة في البصرة بعد توسيعها، فإنك تضرب الطول في العرض: $(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$ .

ضرب متعددات الحدود (noun) /durb mutaʕaddidaat al-hu.dud/

عملية ضرب اثنين من متعددات الحدود للحصول على متعدد حدود جديد. يتم ذلك بضرب كل حد في الأول بكل حد في الثاني ثم جمع الحدود المتشابهة.

المرادفات : توسيع متعددات الحدود

ضرب متعددات الحدود هو عملية أساسية في توسيع التعبيرات المعقدة وفي حل المعادلات.

(a_{n} x^{n} + . . . + a_{0}) (b_{m} x^{m} + . . . + b_{0}) = c_{n + m} x^{n + m} + . . . + c_{0}

عند حساب مساحة أرض مستطيلة في البصرة بعد توسيعها من $x + 2$ إلى $x^{2} + 3 x + 2$ ، فإن المساحة الجديدة هي $(x + 2) (x^{2} + 3 x + 2) = x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ .

طرح متعددات الحدود (none) /tarh mutaʕaddidaat al-hu.dud/

عملية طرح متعدد حدود من آخر عن طريق طرح الحدود المتشابهة. الناتج هو متعدد حدود جديد.

المرادفات : طرح الحدود الجبرية

طرح متعددات الحدود هو عملية أساسية في حل المعادلات وفهم العلاقات بين الكميات.

(a_{n} x^{n} + . . . + a_{0}) - (b_{n} x^{n} + . . . + b_{0}) = (a_{n} - b_{n}) x^{n} + . . . + (a_{0} - b_{0})

إذا كانت أرباح متجر في بغداد ( $5 x^{2} + 3 x + 100000$ ) وتكاليفه ( $2 x^{2} + x + 50000$ )، فإن صافي الربح هو $3 x^{2} + 2 x + 50000$ .

تقييم متعددات الحدود

قيمة متعدد الحدود (noun) /qiyma mutaʕaddid al-hu.dud/

نتيجة حساب متعدد الحدود عند قيمة معينة للمتغير. يتم ذلك بتعويض قيمة المتغير في التعبير ثم إجراء العمليات الحسابية.

المرادفات : تعويض في متعدد الحدود, تقييم الدالة

حساب قيمة متعدد حدود عند نقطة معينة هو عملية أساسية في العديد من التطبيقات العملية.

P (c) = a_{n} c^{n} + a_{n - 1} c^{n - 1} + . . . + a_{1} c + a_{0}

إذا كان لديك متعدد حدود يمثل تكلفة استئجار شقة في بغداد ( $200000 x + 500000$ ) وتريد حساب التكلفة لشقة بمساحة $30$ متر مربع، فإن القيمة هي $200000 \times 30 + 500000 = 6500000$ دينار.

خصائص متعددات الحدود

متعدد حدود غير متجانس (noun) /muttaʕdid hu.dud ghayr mutajaanis/

متعدد حدود ليس جميع حدوده لها نفس الدرجة الكلية. معظم متعددات الحدود التي نتعامل معها في المسائل اليومية تكون غير متجانسة.

المرادفات : بولينوم غير متجانس

المتعددات غير المتجانسة أكثر شيوعًا في التطبيقات العملية لكنها أكثر تعقيدًا في التحليل.

P (x) = x^{3} + x^{2} + 1 (درجات مختلفة: 3, 2, 0)

المتعدد $x^{3} + 2 x^{2} + x + 5$ غير متجانس لأن حدوده لها درجات مختلفة. تخيل حساب تكلفة بناء مبنى في بغداد مع إضافة تكاليف ثابتة مثل رسوم التصاريح.

متعدد حدود غير متماثل (noun) /muttaʕdid hu.dud ghayr mutaamathil/

متعدد حدود لا يكون متماثلًا حول أي محور أو نقطة. معظم متعددات الحدود التي نتعامل معها في المسائل اليومية تكون غير متماثلة.

المرادفات : بولينوم غير متماثل

المتعددات غير المتماثلة أكثر شيوعًا في التطبيقات العملية لكنها أكثر تعقيدًا في التحليل.

P (x) \neq P (- x)

المتعدد $x^{3} + 2 x + 1$ غير متماثل لأن $P (1) = 4$ بينما $P (- 1) = - 2$ . تخيل مبنى في بغداد له شكل مختلف من الجانبين الأيمن والأيسر.

متعدد حدود كامل (noun) /muttaʕdid hu.dud kaamil/

متعدد حدود يحتوي على جميع الحدود من الدرجة صفر حتى درجته، بدون أي حدود مفقودة. على سبيل المثال، متعدد حدود من الدرجة 3 يجب أن يحتوي على

x^{3}

,

x^{2}

,

x

, و

c

.

المرادفات : بولينوم كامل

المتعددات الكاملة أسهل في التعامل معها لأنها تحتوي على جميع الأجزاء اللازمة.

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}, a_{i} \neq 0 لجميع i

المتعدد $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5$ كامل، بينما $x^{3} - 5$ غير كامل (مفقود فيه $x^{2}$ و $x$ ).

متعدد حدود متجانس (noun) /muttaʕdid hu.dud mutajaanis/

متعدد حدود جميع حدوده لها نفس الدرجة الكلية. على سبيل المثال، في متعدد حدود متغيرين، إذا كانت الدرجة الكلية لكل حد هي 2، فهو متجانس.

المرادفات : بولينوم متجانس

المتعددات المتجانسة لها خصائص رياضية مميزة وتسهل تحليلها.

P (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} (درجة كل حد هي 2)

المتعدد $x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3}$ متجانس لأن جميع حدوده من الدرجة الثالثة. تخيل حساب تكلفة بناء جدران مبنى في الموصل بناءً على ارتفاعه ( $x$ ) وعرضه ( $y$ ).

متعدد حدود متعامد (noun) /muttaʕdid hu.dud mutaʕaamid/

مجموعة من متعددات الحدود تكون متعامدة فيما بينها بالنسبة لدالة وزن معينة. هذه الخاصية مهمة في نظرية التقريب والتحليل الرياضي المتقدم.

المرادفات : بولينوم متعامد

المتعددات المتعامدة لها تطبيقات في الفيزياء والهندسة الرياضية المتقدمة.

\int_{a}^{b} P_{i} (x) P_{j} (x) w (x) d x = 0 إذا i \neq j

متعددات ليجاندر المتعامدة تستخدم في حل مسائل الفيزياء الرياضية. تخيل استخدام هذه المتعددات في تحليل اهتزازات الجسور في العراق.

متعدد حدود متغير (noun) /muttaʕdid hu.dud mutaghayyir/

متعدد حدود يحتوي على متغير واحد أو أكثر. المتغير هو الكمية التي تتغير قيمتها، بينما المعاملات تبقى ثابتة.

المرادفات : بولينوم متغير

المتعددات المتغيرة هي الأكثر شيوعًا في التطبيقات العملية لأنها تسمح بالنمذجة الديناميكية.

P (x, y) = x^{2} + x y + y^{2}

المتعدد $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ متغير لأنه يحتوي على متغيرين $x$ و $y$ . إذا كنت تحسب تكلفة بناء منزل في النجف بناءً على مساحته ( $x$ ) وعدد الغرف ( $y$ )، فقد تستخدم متعدد حدود متغير.

متعدد حدود متماثل (noun) /muttaʕdid hu.dud mutaamathil/

متعدد حدود يكون فيه جميع الحدود لها نفس الدرجة، أو يكون متناظرًا حول محور أو نقطة معينة. هذه الخاصية تظهر في العديد من التطبيقات الهندسية.

المرادفات : بولينوم متماثل

المتعددات المتماثلة لها خصائص رياضية مميزة تسهل تحليلها وحلها.

P (x) = P (- x) (متماثل حول محور الصادات)

المتعدد $x^{2} + 3$ متماثل لأن $P (x) = P (- x)$ . تخيل شكل أرض مستطيلة في البصرة لها نفس المساحة سواء كانت مستطيلة أو مقلوبة.

متعدد حدود مركب (noun) /muttaʕdid hu.dud murakkab/

متعدد حدود يحتوي على أكثر من متغير واحد. هذه المتعددات شائعة في النماذج الرياضية المعقدة التي تتطلب أكثر من متغير واحد لوصفها.

المرادفات : بولينوم متعدد المتغيرات

المتعددات المركبة ضرورية في النماذج الاقتصادية والهندسية التي تتطلب أكثر من متغير واحد.

P (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + x z + y z

المتعدد $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ مركب لأنه يحتوي على ثلاثة متغيرات. إذا كنت تحسب تكلفة بناء مبنى في بغداد بناءً على ارتفاعه ( $x$ ) ومساحته ( $y$ ) وعدد الطوابق ( $z$ )، فقد تستخدم متعدد حدود مركب.

متعدد حدود موجب (noun) /muttaʕdid hu.dud mujib/

متعدد حدود جميع معامله موجبة. يمثل هذا النوع من المتعددات غالبًا الربح أو الزيادة في الكميات.

المرادفات : بولينوم موجب

المتعددات الموجبة أكثر شيوعًا في مسائل الربح والخسارة في الاقتصاد المحلي.

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{0}, a_{i} > 0 لجميع i

المتعدد $2 x^{2} + 3 x + 5$ موجب. إذا كان لديك أرباح في متجرك في البصرة، فقد تمثلها بمتعدد حدود موجب.

متعدد حدود ناقص (noun) /muttaʕdid hu.dud naaqiS/

متعدد حدود جميع معامله سالبة. يمكن تحويله إلى متعدد حدود موجب بضرب جميع الحدود في

- 1

.

المرادفات : بولينوم سالب

المتعددات السالبة تظهر في مسائل الخسائر أو الديون في الاقتصاد.

P (x) = - a_{n} x^{n} - a_{n - 1} x^{n - 1} - . . . - a_{0}

المتعدد $- 3 x^{2} - 2 x - 1$ ناقص. إذا كان لديك خسائر في متجرك في بغداد، فقد تمثلها بمتعدد حدود ناقص.

طرق تحليل متعددات الحدود

تحليل bằng التجميع (noun) /tahliil bi-al-tajmiʕ/

طريقة تحليل تستخدم عندما يحتوي متعدد الحدود على أربعة حدود أو أكثر، حيث يتم تجميع الحدود المتشابهة ثم تحليلها بشكل منفصل.

المرادفات : تحليل بالتجميع

هذه الطريقة مفيدة عندما لا يمكن تطبيق طرق التحليل التقليدية.

a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y)

يمكن تحليل $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ إلى $(x^{2} + 1) (x + 2)$ عن طريق تجميع الحدود. تخيل أنك تريد تقسيم كمية من الدقيق في مخبز في بغداد إلى أجزاء متساوية.

تحليل الفرق بين مربعين (noun) /tahliil al-farq bayn murabbaʕayn/

طريقة تحليل تستخدم عندما يكون متعدد الحدود على صورة

a^{2} - b^{2}

، حيث يمكن كتابته على شكل

(a - b) (a + b)

.

المرادفات : تحليل الفرق بين مربعين

هذه الطريقة من أسهل طرق التحليل وأكثرها شيوعًا في المسائل الأساسية.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

يمكن تحليل $x^{2} - 25$ إلى $(x - 5) (x + 5)$ . تخيل قطعة أرض في أربيل مساحتها $x^{2}$ متر مربع، إذا أزلت منها $25$ متر مربع، فإن الباقي يمكن قسمته إلى مستطيلين.

تحليل ثلاثي الحدود التربيعي (noun) /tahliil thulathii al-hu.dud al-tarbiʕi/

طريقة تحليل تستخدم عندما يكون متعدد الحدود على صورة

a x^{2} + b x + c

، حيث نبحث عن عددين حاصل ضربهما

a \times c

ومجموعهما

b

.

المرادفات : تحليل ثلاثي الحدود, تحليل تربيعي

هذه الطريقة أساسية في حل المعادلات التربيعية وتحليل متعددات الحدود من الدرجة الثانية.

a x^{2} + b x + c = (m x + n) (p x + q)

يمكن تحليل $x^{2} + 5 x + 6$ إلى $(x + 2) (x + 3)$ . تخيل أنك تريد تقسيم قطعة أرض في البصرة إلى قطعتين، فإن التحليل يساعدك على تحديد الأبعاد المناسبة.

الجبر

العمليات على متعددات الحدود

تقييم متعددات الحدود

خصائص متعددات الحدود

طرق تحليل متعددات الحدود

المصادر