الاحتمال للمبتدئين - دليل العراق

الإحصاء والاحتمال

اتحاد الأحداث (noun)

حدث يتكون من حدوث أحد حدثين أو كليهما. يرمز له بـ A ∪ B. يمثل «أو» المنطقي.

المرادفات : الحدث الكلي

تذكر أن «اتحاد» يعني «أو»، مثل «فوز الطلبة أو الزوراء» في مباراة كرة قدم.

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

في بغداد، احتمال أن يكون طالب «ناجحاً في الرياضيات أو في اللغة العربية» هو اتحاد حدثين.

انظر أيضا : تقاطع الأحداث, مخطط فين

الاحتمال (noun)

قياس فرصة وقوع حدث ما، تتراوح قيمته بين 0 و1. كلما زادت قيمة الاحتمال، زادت فرصة حدوث الحدث. يمكن التعبير عنه كنسبة مئوية من 0% إلى 100%.

المرادفات : الفرصة, الاحتمالية

تذكر أن الاحتمال 0 يعني الاستحالة، و1 يعني التأكد، والنصف 0.5 يعني فرصة متساوية.

$$P(A)=\frac{\text{عدد الحالات الملائمة}}{\text{عدد الحالات الممكنة}}$$

احتمال ظهور الرقم 3 عند رمي نرد في بغداد هو 1 من 6، لأن النرد له 6 أوجه متساوية.

انظر أيضا : حدث, تجربة عشوائية, فضاء العينة

الاحتمال التراكمي (noun)

احتمال أن يكون المتغير العشوائي أقل من أو يساوي قيمة معينة. يُستخدم في المتغيرات العشوائية المستمرة.

المرادفات : دالة التوزيع التراكمي

هذا الاحتمال هو «مجموع» الاحتمالات حتى قيمة معينة، مثل «احتمال أن يكون وزن طفل أقل من 3 كجم».

$$F(x)=P(X\le x)$$

في Erbil، إذا كان وزن الأطفال حديثي الولادة يتبع توزيعاً معيناً، فإن الاحتمال التراكمي لوزن 3 كجم هو احتمال أن يكون وزن الطفل ≤ 3 كجم.

انظر أيضا : متغير عشوائي, قانون الاحتمال

الاحتمال التكراري (noun)

نوع من الاحتمال يعتمد على تكرار التجربة مرات عديدة وملاحظة تكرار حدوث الحدث. يُستخدم عندما لا تكون النتائج متساوية.

المرادفات : الاحتمال التجريبي

هذا الاحتمال يعتمد على «الملاحظة»، مثل نسبة الطلاب الناجحين في امتحانات «البكالوريا» في بغداد.

$$P(A)\approx \frac{\text{عدد مرات حدوث الحدث A}}{\text{عدد مرات تكرار التجربة}}$$

إذا رمي 1000 طالب في Erbil قطعة نقود 1000 مرة، ووجدنا أن «صورة» ظهرت 512 مرة، فإن الاحتمال التكراري لـ «صورة» هو 512/1000 = 0.512.

انظر أيضا : قانون الأعداد الكبيرة, الاحتمال

الاحتمال الذاتي (noun)

نوع من الاحتمال يعتمد على «شعور» أو «حدس» الشخص، وليس على تجارب أو حسابات. يختلف من شخص لآخر.

المرادفات : الاحتمال الشخصي

هذا الاحتمال هو «رأي شخصي»، مثل «أظن أن فريق الزوراء سيفوز» بناءً على «شعوري».

في بغداد، قد يقول جار لك «أظن أن الأمطار ستنزل غداً» بناءً على «شعوره» بالجو، وليس على بيانات رسمية.

انظر أيضا : الاحتمال

الاحتمال الشرطي (noun)

احتمال حدوث حدث معين بشرط حدوث حدث آخر مسبقاً. يرمز له بـ P(A|B).

المرادفات : الاحتمالGiven

هذا الاحتمال «مشروط» بحدث آخر، مثل «احتمال نجاح طالب» بشرط «أنه حضر الدروس».

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

في Erbil، إذا علمت أن 70% من الطلاب نجحوا في الامتحان، و80% من الناجحين كانوا قد حضروا الدروس بانتظام، فما احتمال أن يكون طالب نجح وقد حضر الدروس؟

انظر أيضا : حدث, الاحتمال

الاحتمال الكلاسيكي (noun)

نوع من الاحتمال يعتمد على افتراض أن جميع النتائج متساوية في الفرص، مثل رمي قطعة نقود أو نرد متوازن.

المرادفات : الاحتمال النظري

هذا النوع من الاحتمال هو الأكثر شيوعاً في المسائل المدرسية، لأنه يعتمد على «عد» النتائج.

$$P(A)=\frac{\text{عدد النتائج الملائمة للحدث A}}{\text{عدد النتائج الممكنة في فضاء العينة}}$$

احتمال ظهور «كتابة» عند رمي قطعة نقود متوازنة في البصرة هو 1/2، لأن هناك نتيجتين متساويتين (صورة وكتابة).

انظر أيضا : الاحتمال, تجربة عشوائية, فضاء العينة

الاحتمال المشروط (noun)

نفس الاحتمال الشرطي، ولكنه يُعرض بشكل منفصل لتوضيح العلاقة بين حدثين. يرمز له بـ P(A|B).

المرادفات : الاحتمالGiven

هذا الاحتمال هو «احتمال A بشرط B»، مثل «احتمال نجاح طالب» بشرط «أنه من Erbil».

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

في بغداد، إذا علمت أن 60% من الطلاب في مدرسة «الرشيد» من بغداد، و80% من الطلاب من بغداد نجحوا، فما احتمال أن يكون طالب ناجحاً إذا علمت أنه من بغداد؟

انظر أيضا : الاحتمال الشرطي, نظرية بايز

الاحتمال الهندسي (noun)

نوع من الاحتمال يعتمد على «مساحة» أو «حجم» في فضاء مستمر، مثل رمي سهم على هدف دائري.

هذا الاحتمال هو «قياس» للمساحة، مثل «احتمال أن يسقط السهم في الدائرة الحمراء».

$$P(A)=\frac{\text{مساحة A}}{\text{مساحة فضاء العينة}}$$

في Erbil، إذا رمي سهم على هدف دائري مقسم إلى مناطق ملونة، فإن احتمال سقوط السهم في المنطقة الحمراء يعتمد على مساحة المنطقة الحمراء.

انظر أيضا : الاحتمال

الاستقلال التام (noun)

حالة يكون فيها حدثان مستقلان تماماً عن بعضهما البعض، بحيث لا يؤثر أحدهما في الآخر بأي شكل من الأشكال.

المرادفات : استقلال تام

هذا هو «الاستقلال الكامل»، مثل رمي نردين في نفس الوقت لا يؤثر أحدهما في الآخر أبداً.

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

في بغداد، احتمال ظهور «6» في رمي نرد أول وظهور «صورة» في رمي قطعة نقود ثانية هما حدثان مستقلان تماماً.

انظر أيضا : حدثان مستقلان, الاحتمال

الانحراف المعياري (noun)

مقياس لمدى انتشار النتائج حول التوقع الرياضي. كلما زاد الانحراف المعياري، زادت التقلبات في النتائج.

المرادفات : التباين

هذا المقياس هو «متر» لقياس «بعد» النتائج عن المتوسط، مثل تقلبات درجات الحرارة في بغداد.

$$\sigma =\sqrt{E[{(X-\mu )}^2]}$$

في البصرة، إذا كان متوسط درجات الحرارة 35°C، وكان الانحراف المعياري 5°C، فهذا يعني أن درجات الحرارة عادة ما تكون بين 30°C و40°C.

انظر أيضا : التوقع الرياضي, قانون الاحتمال

التباين (noun)

مربع الانحراف المعياري، يقيس مدى بعد النتائج عن التوقع الرياضي. يرمز له بـ Var(X) أو σ².

التباين هو «مربع» الانحراف، لكنه يعطي نفس المعلومات عن التشتت.

$$Var(X)=E[{(X-\mu )}^2]$$

إذا كان التوقع الرياضي لعدد الأهداف في مباراة كرة قدم هو 2، وكان التباين هو 1، فهذا يعني أن عدد الأهداف عادة ما يكون 1 أو 2 أو 3.

انظر أيضا : التوقع الرياضي, الانحراف المعياري

التوقع الرياضي (noun)

القيمة المتوسطة المتوقعة لنتائج متغير عشوائي عند تكرار التجربة مرات عديدة. يرمز له بـ E(X).

المرادفات : الوسط الحسابي

التوقع هو «المتوسط المتوقع»، مثل «عدد الأهداف المتوقعة» في مباراة كرة قدم.

$$E(X)=\sum _i{x}_i\cdot P(X=x_i)$$

في Erbil، إذا كان احتمال ربح 1000 دينار هو 0.1، واحتمال ربح 500 دينار هو 0.3، واحتمال عدم ربح هو 0.6، فإن التوقع الرياضي هو 1000×0.1 + 500×0.3 + 0×0.6 = 250 دينار.

انظر أيضا : متغير عشوائي, قانون الاحتمال

تجربة برنولي (noun)

تجربة عشوائية لها نتيجتان محتملتان فقط: «نجاح» (باحتمال p) أو «فشل» (باحتمال 1-p).

المرادفات : تجربة ثنائية

هذه هي «التجربة الأبسط»، مثل رمي قطعة نقود (نجاح = صورة، فشل = كتابة).

$$P(\text{نجاح})=p,P(\text{فشل})=1-p$$

في بغداد، اختبار «هل الطالب يجيب على سؤال امتحان بشكل صحيح؟» هو تجربة برنولي، حيث «نجاح» = إجابة صحيحة.

انظر أيضا : الاحتمال, قانون الاحتمال

تجربة عشوائية (noun)

تجربة يمكن تكرارها تحت نفس الظروف، ويكون لها عدة نتائج محتملة، لكن لا يمكن توقع أي منها مسبقاً بدقة.

المرادفات : تجربة احتمالية

التجارب العشوائية هي «مصدر» الاحتمالات، مثل رمي قطعة نقود أو سحب كرة من صندوق.

إلقاء قطعة نقود في Erbil: النتيجة إما «صورة» أو «كتابة»، ولا يمكن توقعها مسبقاً.

انظر أيضا : الاحتمال, حدث, فضاء العينة

تقاطع الأحداث (noun)

حدث يتكون من حدوث حدثين في نفس الوقت. يرمز له بـ A ∩ B. يمثل «و» المنطقي.

المرادفات : الحدث المشترك

تذكر أن «تقاطع» يعني «و»، مثل «طلاب ناجحون في الرياضيات واللغة العربية».

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)$$

في Erbil، احتمال أن يكون طالب «ناجحاً في الرياضيات واللغة العربية» هو تقاطع حدثين.

انظر أيضا : اتحاد الأحداث, مخطط فين

حدث (noun)

نتيجة أو مجموعة نتائج محتملة لتجربة عشوائية. يمكن أن يكون الحدث بسيطاً (نتيجة واحدة) أو مركباً (نتيجة أو أكثر).

المرادفات : وقوع, نتيجة

الحدث هو «ما نريد قياس فرصته»، مثل «هطول المطر» أو «فوز فريقك».

في مباراة كرة القدم بين «الطلبة» و«الزوراء» في بغداد، «فوز الطلبة» هو حدث محتمل.

انظر أيضا : الاحتمال, تجربة عشوائية, فضاء العينة

حدث مؤكد (noun)

حدث من المؤكد حدوثه، أي أن احتماله يساوي 1. هو جزء من فضاء العينة بأكمله.

المرادفات : حدث أكيد

تذكر أن «شروق الشمس غداً» في العراق هو حدث مؤكد، لأن الاحتمال 1 يعني «سيحدث حتماً».

$$P(A)=1$$

في تجربة رمي نرد، «ظهور رقم أقل من 7» هو حدث مؤكد، لأن جميع الأرقام من 1 إلى 6 أقل من 7.

انظر أيضا : حدث, فضاء العينة, احتمال

حدث مستحيل (noun)

حدث من المؤكد عدم حدوثه، أي أن احتماله يساوي 0. لا يوجد في فضاء العينة.

المرادفات : حدث مستبعد

تذكر أن «ظهور الرقم 7» عند رمي نرد عادي هو حدث مستحيل، لأن النرد لا يحتوي على 7.

$$P(A)=0$$

في تجربة سحب كرة من صندوق به كرات حمراء فقط، «سحب كرة خضراء» هو حدث مستحيل.

انظر أيضا : حدث, فضاء العينة, احتمال

حدثان مستقلان (noun)

حدثان يكون حدوث أحدهما غير متأثر بحدوث الآخر. لا يؤثر أحدهما في احتمال الآخر.

المرادفات : أحداث غير مرتبطة

لتذكر: «استقلال» يعني «لا علاقة»، مثل رمي نردين في نفس الوقت لا يؤثر أحدهما في الآخر.

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

في بغداد، احتمال ظهور «6» في رمي نرد أول وظهور «صورة» في رمي قطعة نقود ثانية هما حدثان مستقلان.

انظر أيضا : الاحتمال, حدث

شجرة الاحتمالات (noun)

رسم بياني يمثل جميع النتائج الممكنة لتجارب عشوائية متتالية، مع احتمالات كل فرع.

المرادفات : شجرة القرارات

هذه «الخريطة» تساعدك على رؤية جميع الاحتمالات دون نسيان أي نتيجة.

في مباراة كرة قدم بين «الطلبة» و«الزوراء»، يمكن رسم شجرة احتمالات لفوز الطلبة أو الزوراء أو التعادل، واحتمال كل نتيجة.

انظر أيضا : الاحتمال, تجربة عشوائية

فضاء العينة (noun)

مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية. يرمز له عادة بالحرف الكبير S أو Ω.

المرادفات : فضاء النتائج

فضاء العينة هو «قائمة كل الاحتمالات»، مثل {صورة، كتابة} لرمي قطعة نقود.

$$S=\{e_1,e_2,...,e_n\}$$

فضاء العينة لرمي نرد في بغداد هو {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

انظر أيضا : تجربة عشوائية, حدث

قانون الأعداد الكبيرة (noun)

قانون ينص على أنه كلما زادت عدد مرات تكرار تجربة عشوائية، اقتربت نسبة حدوث حدث معين من قيمته النظرية (الاحتمال الكلاسيكي).

هذا القانون يفسر لماذا تقترب نسبة «صورة» من 50% عند رمي قطعة نقود آلاف المرات، حتى لو كانت النتيجة الأولى «صورة».

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n(A)=P(A)$$

إذا رمي 10 طلاب في مدرسة «الرشيد» في البصرة قطعة نقود 10 مرات، قد تختلف نسبة «صورة» كثيراً عن 50%. لكن إذا رمي 10000 طالب، ستقترب النسبة من 50%.

انظر أيضا : الاحتمال التكراري, الاحتمال

قانون الاحتمال (noun)

قائمة جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي مع احتمالاتها المقابلة. يمكن تمثيله بجدول أو معادلة.

المرادفات : توزيع الاحتمال

هذا القانون هو «قائمة» تربط كل نتيجة بفرصتها، مثل «احتمال ظهور 1 هو 1/6» في رمي نرد.

$$P(X=x_i)=p_i\text{حيث}\sum _i{p}_i=1$$

في Erbil، قانون احتمال عدد الطلاب الناجحين في فصل دراسي قد يكون: 0 ناجح (0.05)، 1 ناجح (0.15)، 2 ناجحون (0.30)، 3 ناجحون (0.50).

انظر أيضا : متغير عشوائي, الاحتمال

متغير عشوائي (noun)

دالة تعين قيمة عددية لكل نتيجة ممكنة لتجربة عشوائية. يمكن أن يكون متقطعاً (نتائج معدودة) أو مستمراً (نتائج لا نهائية).

المرادفات : متغير احتمالي

المتغير العشوائي هو «الترجمان» بين النتائج والرقم، مثل «عدد الأهداف» في مباراة كرة قدم.

$$X:S\to ℝ$$

في مباراة «الطلبة ضد الزوراء»، المتغير العشوائي X يمكن أن يمثل «عدد الأهداف» التي سجلها الطلبة.

انظر أيضا : تجربة عشوائية, قانون الاحتمال

متمم الحدث (noun)

حدث يتكون من جميع النتائج الممكنة في فضاء العينة باستثناء الحدث الأصلي. يرمز له بـ A' أو $\overline{A}$.

المرادفات : الحدث المعاكس

تذكر أن «متمم» يعني «كل شيء إلا»، مثل «عدم هطول المطر» إذا كان الحدث الأصلي «هطول المطر».

$$P(\overline{A})=1-P(A)$$

في بغداد، احتمال «عدم ظهور الرقم 6» عند رمي نرد هو متمم حدث «ظهور الرقم 6».

انظر أيضا : الحدث, الاحتمال

مخطط فين (noun)

رسم بياني يمثل المجموعات (الأحداث) ودلالاتها، مثل الاتحاد والتقاطع. يُستخدم لتصور العلاقات بين الأحداث.

المرادفات : مخطط المجموعات

هذا المخطط هو «الرسام» للاحتمالات: يرسم الأحداث كدوائر متداخلة أو منفصلة.

في Erbil، إذا كان هناك حدث «طلاب ناجحون» وحدث «طلاب حضروا الدروس»، يمكن تمثيلهما بدائرتين متداخلتين في مخطط فين.

انظر أيضا : اتحاد الأحداث, تقاطع الأحداث

نظرية بايز (noun)

نظرية تسمح بتحديث الاحتمال بناءً على معلومات جديدة. تُستخدم لحساب الاحتمال الشرطي في اتجاهين.

المرادفات : قانون بايز

هذه النظرية هي «آلة الزمن» للاحتمالات: تأخذ معلومات قديمة وتحدثها ببيانات جديدة.

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$$

في بغداد، إذا علمت أن 1% من السكان مصابون بمرض معين، وكانت نسبةTrue Positive 99% وFalse Positive 5%، فما احتمال إصابة شخص بالمرض إذا جاءت نتيجته إيجابية؟

انظر أيضا : الاحتمال الشرطي, الحدث