الجبر التجريدي: معجم مصطلحات الرياضيات للعراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تعرّف المفاهيم الأساسية للجبر التجريدي مثل المجموعة، الحلقة، الحقل، والفضاء المتجهي
استخدام العمليات الثنائية وعناصر الهوية في حل مسائل رياضية محلية
تطبيق نظريات الزمر في مواقف حقيقية مثل حركة المرور في بغداد أو تسعير السلع في أسواق الموصل
تمييز الفرق بين التماثل والتشاكل في الهياكل الجبرية المختلفة
استخدام نظرية الفئات لفهم الترابط بين مختلف فروع الرياضيات

المتطلبات السابقة

جبر خطي
نظرية المجموعات
حساب التفاضل والتكامل الأساسي

الوقت المقدر: 45 د المستوى: ●●●○ صعب

هل تساءلت يوماً كيف يمكن للرياضيات أن تصف حركة السيارات في شارع الرشيد ببغداد، أو كيفية توزيع المياه في قنوات البصرة، أو حتى كيفية حساب سعر القمح في أسواق أربيل؟ الجواب يكمن في الجبر التجريدي! هذا الفرع من الرياضيات الذي يبدو معقداً في البداية، لكنه في الحقيقة يمنحك أدوات قوية لفهم العالم من حولك بطريقة لم تخطر على بالك. تخيل أنك تستطيع أن تدرس كيف تتفاعل المواد الكيميائية في مصانع الأدوية في الموصل باستخدام نفس المبادئ الرياضية التي تدرس بها حركة الكواكب! في هذا المعجم، سنأخذك في رحلة عبر 30 مصطلحاً أساسياً في الجبر التجريدي، مع أمثلة محلية من مدننا العراقية الكبرى، حتى لا تبقى هذه المفاهيم مجرد نظريات بعيدة عن واقعنا. هل أنت مستعد لاكتشاف كيف يمكن لهذه الرياضيات أن تغير نظرتك للحياة اليومية؟

أنواع الزمر

زمرة أبيلية (noun) /zam.ra a.bi.li.ja/

زمرة تكون فيها العملية الثنائية تبديلية، أي أن a * b = b * a لكل عنصرين a وb في الزمرة. سميت نسبة إلى عالم الرياضيات Niel Henrik Abel.

المرادفات : زمرة تبديلية

معظم الزمر التي نواجهها في الحياة اليومية هي زمر أبيلية. هذا يجعلها أسهل في التعامل معها.

عندما تجمع سعر 3 كيلو من التفاح بسعر 1500 دينار للكيلو مع سعر 2 كيلو من البرتقال بسعر 2000 دينار للكيلو (3×1500 + 2×2000 = 8500)، فإن عملية الجمع هنا تبديلية لأن 3×1500 + 2×2000 = 2×2000 + 3×1500.

زمرة التبديلات (noun) /zam.ra at.tabad.du.laːt/

زمرة تتكون من جميع التحويلات (transformations) لمجموعة ما إلى نفسها والتي تحافظ على بعض الخصائص (مثل المسافة في التحويلات المتساوية القياس). زمرة التبديلات هي نوع خاص من الزمر المتماثلة.

المرادفات : transformation group (بالإنجليزية)

زمرة التبديلات هي مثل 'جميع الطرق الممكنة لتحريك مجموعة من العناصر' مع الحفاظ على بعض الخصائص.

عندما تنظر إلى خريطة بغداد، فإن جميع الطرق الممكنة لتحريك الخريطة بحيث تظل بغداد في نفس المكان تشكل زمرة تبديلات (تدويرات وانتقالات).

زمرة دورية (noun) /zam.ra daw.ri.ja/

زمرة يمكن توليدها بعنصر واحد. جميع عناصر الزمرة الدورية هي قوى (مكررات) لهذا العنصرGenerate. الزمر الدورية هي أبسط أنواع الزمر.

المرادفات : cyclic group (بالإنجليزية)

الزمرة الدورية هي مثل 'جدول الضرب' الذي يمكن توليده من رقم واحد. إنها أسهل الزمر في الدراسة.

G = ⟨ a ⟩ = . . ., a^{- 2}, a^{- 1}, e, a, a^{2}, . . .

مجموعة الأعداد الصحيحة مع عملية الجمع هي زمرة دورية تولدها العنصر 1 لأن كل عدد صحيح هو 1 + 1 + ... + 1 (أو -1 -1 -... -1).

زمرة متماثلة (noun) /zam.ra mu.ta.θaː.ma.la/

زمرة تتكون من جميع التبديلات (permutations) لمجموعة منتهية. زمرة متماثلة

S_{n}

هي زمرة جميع التبديلات لمجموعة تحتوي على n عنصر. زمرة متماثلة

S_{3}

هي أصغر زمرة غير أبيلية.

المرادفات : symmetric group (بالإنجليزية)

الزمرة المتماثلة هي مثل 'جميع الطرق الممكنة لترتيب العناصر'. إنها تظهر في العديد من المشاكل الرياضية.

S_{n} = p e r m u t a t i o n s o f 1, 2, . . ., n

إذا كان لديك 3 طلاب في صف دراسي (أحمد، علي، سارة)، فهناك 6 طرق مختلفة لترتيب جلوسهم. هذه التبديلات الستة تشكل زمرة متماثلة $S_{3}$ .

تشاكلات متقدمة

تشاكل فضاء متجهي (noun) /ta.ʃaː.kul fa.saːʔ mut.ta.d͡ʒa.hi/

دالة بين فضاءين متجهيين تحافظ على عملية جمع المتجهات وضرب المتجهات في عدد. تشاكل فضاء متجهي هو تشاكل بين الزمر المضافيتين للفضاءين، مع الحفاظ على ضرب العدد في المتجه.

المرادفات : linear transformation (بالإنجليزية)

تشاكل فضاء متجهي هو مثل 'خريطة' بين فضاءين متجهيين تحافظ على هيكل الفضاء المتجهي. إنه يحافظ على الجمع والضرب في العدد.

T (v + w) = T (v) + T (w) and T (λ v) = λ T (v)

عندما تحول إحداثيات نقطة من نظام إحداثيات إلى آخر في بغداد (مثل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية)، فأنت تستخدم تشاكل فضاء متجهي يحافظ على هيكل الفضاء المتجهي.

تشاكلات هياكل جبرية

تشاكل (noun) /ta.ʃaː.kul/

دالة بين هياكل جبرية من نفس النوع (مثل زمرتين أو حلقتين) تحافظ على العمليات الجبرية. على سبيل المثال، في زمرتين، التشاكل يحافظ على العملية الثنائية: f(a * b) = f(a) * f(b).

المرادفات : homomorphism (بالإنجليزية)

التشاكل هو مثل 'جسر' بين هياكل جبرية مختلفة. إنه يحافظ على الهيكل الجبري حتى لو تغيرت العناصر.

f (a \circ b) = f (a) \circ f (b)

عندما تقوم بتحويل وحدات قياس من كيلوغرامات إلى غرامات (1 كغ = 1000 غم)، فأنت تستخدم تشاكلاً بين نظامي القياس يحافظ على عملية الجمع: إذا كان لديك 2 كغ + 3 كغ = 5 كغ، فإن 2000 غم + 3000 غم = 5000 غم.

تماثل الزمر (noun) /ta.maː.θul az.zumar/

دالة بين زمرتين تحافظ على العملية الثنائية، أي أن f(a * b) = f(a) * f(b) لكل عنصرين a وb في الزمرة الأولى. التماثل هو تشاكل يكون أيضاً متبايناً وتاماً.

المرادفات : تشاكل تام, isomorphism (بالإنجليزية)

التماثل هو مثل 'خريطة' تحافظ على هيكل الزمرة. إذا وجدت تماثلاً بين زمرتين، فهما متطابقتان من الناحية الجبرية.

f (a \circ b) = f (a) \circ f (b)

افترض أنك تريد مقارنة حركة السيارات في شارع الرشيد ببغداد مع حركة القطارات في سكة حديد العراق. إذا وجدت دالة تحافظ على الترتيب الزمني للمسارات (أي إذا كانت السيارة A تسير قبل السيارة B، فإن القطار A يسير قبل القطار B في الجدول الزمني)، فهذه دالة تماثل بين النظامين.

حقول متقدمة

حقل منته (noun) /ħaql mun.ta/

حقل يحتوي على عدد منتهٍ من العناصر. الحقول المنتهية مهمة في نظرية التشفير ونظرية الأعداد. أصغر حقل منته هو حقل منته من الرتبة 2 (containing 0 و1).

المرادفات : finite field (بالإنجليزية)

الحقل المنته هو مثل 'نظام عد' محدود. إنه يسمح لنا بدراسة الهياكل الجبرية في سياقات منتهية.

حقل منته من الرتبة 5، denoted $F_{5}$ ، يحتوي على العناصر {0, 1, 2, 3, 4} مع عمليات الجمع والضرب modulo 5. هذا الحقل مهم في نظرية التشفير.

حلقات متقدمة

حلبة تبديلية (noun) /ħal.ba ta.ba.di.li.jja/

حلبة يكون فيها الضرب عملية تبديلية، أي أن a×b = b×a لكل عنصرين a وb في الحلبة. معظم الحلقات التي ن encountered في الحياة اليومية هي حلقات تبديلية.

المرادفات : commutative ring (بالإنجليزية)

الحلبة التبادلية هي مثل 'حلبة' يكون فيها الضرب تبديلياً. هذا يجعلها أسهل في التعامل معها.

a \cdot b = b \cdot a \forall a, b \in R

مجموعة الأعداد الصحيحة مع عمليتي الجمع والضرب تشكل حلبة تبديلية لأن ضرب أي عددين صحيحين هو عملية تبديلية.

فضاءات متجهية متقدمة

بعد فضاء متجهي (noun) /buʕd fa.saːʔ mut.ta.d͡ʒa.hi/

عدد المتجهات في أي قاعدة لفضاء متجهي منتهي الأبعاد. بعد الفضاء المتجهي هو عدد الأبعاد في الفضاء. على سبيل المثال، فضاء

R^{3}

له بعد 3.

المرادفات : dimension (بالإنجليزية)

البعد هو مثل 'عدد الإحداثيات' اللازمة لوصف نقطة في الفضاء المتجهي. إنه مقياس لحجم الفضاء.

dim (V) = n

عندما تصف موقع منزل في بغداد بالإحداثيات (خط العرض، خط الطول، الارتفاع)، فأنت تستخدم فضاء متجهي من البعد 3.

فضاء متجهي منتهي الأبعاد (noun) /fa.saːʔ mut.ta.d͡ʒa.hi mun.ta.ja al.a.bʕaːd/

فضاء متجهي يمكن توليده بعدد منتهٍ من المتجهات. بعد الفضاء المتجهي هو عدد المتجهات في أي قاعدة له. الفضاءات المتجهية منتهية الأبعاد هي الأكثر شيوعاً في الجبر الخطي.

المرادفات : finite-dimensional vector space (بالإنجليزية)

الفضاء المتجهي منتهي الأبعاد هو مثل 'فضاء' يمكن وصفه بعدد منتهٍ من الإحداثيات. هذا يجعله سهل التعامل معه.

dim (V) = n < \infty

الفضاء الإقليدي $R^{3}$ (جميع النقاط في الفضاء الثلاثي الأبعاد) هو فضاء متجهي منتهي الأبعاد بعدده 3، حيث يمكن تمثيل أي نقطة بالإحداثيات (x, y, z).

قاعدة فضاء متجهي (noun) /qaː.ʕi.da fa.saːʔ mut.ta.d͡ʒa.hi/

مجموعة من المتجهات في فضاء متجهي يمكن من خلالها التعبير عن أي متجه في الفضاء كتوليفة خطية وحيدة. قاعدة الفضاء المتجهي تحدد بعد الفضاء.

المرادفات : basis (بالإنجليزية)

القاعدة هي مثل 'نظام إحداثيات' للفضاء المتجهي. بدونها، لا يمكننا وصف المتجهات بشكل فريد.

V = Span {v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}}

في الفضاء $R^{2}$ (المستوى)، المتجهات e1 = (1,0) وe2 = (0,1) تشكل قاعدة لأن أي متجه (x,y) يمكن كتابته كتوليفة خطية: (x,y) = x·e1 + y·e2.

مبادئ أساسية

جبر تجريدي (noun) /d͡ʒabr ta.d͡ʒriː.diː/

فرع من الرياضيات يدرس الهياكل الجبرية مثل المجموعات، الحلقات، الحقول، والفضاءات المتجهية، مع التركيز على الخصائص العامة لهذه الهياكل بدلاً من الأرقام المحددة. ظهر هذا الفرع في أوائل القرن العشرين لتمييزه عن الجبر الابتدائي الذي يتعامل مع حل المعادلات.

هذا هو الأساس الذي يبنى عليه كل الرياضيات المتقدمة. بدون الجبر التجريدي، لن نفهم كيف تتفاعل الأنظمة الرياضية المختلفة مع بعضها البعض.

عندما تحاول حساب سعر 5 كيلو من الطماطم بسعر 1200 دينار للكيلو في سوق السراي ببغداد، فأنت تستخدم جبراً ابتدائياً. لكن عندما تحاول فهم كيف تتفاعل هذه الأسعار مع أسعار الخضروات الأخرى في نفس السوق باستخدام معادلات جبرية عامة، فأنت تدخل في نطاق الجبر التجريدي.

عملية ثنائية (noun) /ʕamalijja θunawijja/

قاعدة تأخذ عنصرين من مجموعة ما وتعطي عنصراً واحداً من نفس المجموعة. operations مثل الجمع (+) والضرب (×) في الأعداد الحقيقية هما أمثلة شائعة للعمليات الثنائية.

المرادفات : عملية جبرية, قانون تركيب

العملية الثنائية هي ما يجعل المجموعة هيكلاً جبرياً. بدونها، المجموعة مجرد مجموعة من العناصر دون أي تفاعل بينها.

عندما تجمع سعر 3 كيلو من التفاح بسعر 1500 دينار للكيلو مع سعر 2 كيلو من البرتقال بسعر 2000 دينار للكيلو في سوق الموصل، فأنت تستخدم عملية الجمع الثنائية: 3×1500 + 2×2000 = 8500 دينار.

عنصر محايد (noun) /ʕanasr mu.ħaːj/

عنصر في مجموعة لا يغير أي عنصر آخر عند تطبيقه في عملية ثنائية مع هذا العنصر. في مجموعة الأعداد الحقيقية مع عملية الجمع، العنصر المحايد هو 0 لأن x + 0 = x لأي x. في عملية الضرب، العنصر المحايد هو 1 لأن x × 1 = x.

المرادفات : محايد جبري

العنصر المحايد هو مثل 'عدم القيام بشيء' في العمليات الرياضية. إنه ضروري لوجود العنصر المعاكس.

عندما تدفع 5000 دينار عراقي ثمناً لسلعة سعرها 5000 دينار في متجر في أربيل، فأنت تستخدم العنصر المحايد لعملية الجمع (0) لأنه 5000 + 0 = 5000.

مجموعة (noun) /ma.d͡ʒmuː.ʕa/

مجموعة من العناصر التي يمكن أن تكون أعداداً، رموزاً، أو حتى كائنات أخرى، مع وجود علاقة بينها تسمى العملية الثنائية. يمكن أن تكون المجموعة منتهية مثل مجموعة أيام الأسبوع، أو غير منتهية مثل مجموعة الأعداد الحقيقية.

المرادفات : زمرة (عندما تكون مزودة بعملية ثنائية)

المجموعة هي اللبنة الأساسية في الجبر التجريدي. بدونها، لا يمكن تعريف أي هيكل جبري آخر.

مجموعة طلاب قسم الرياضيات في جامعة بغداد: {أحمد، علي، سارة، ليلى}. لاحظ أن الترتيب غير مهم، ولا يمكن تكرار العناصر.

مقلوب (noun) /mu.qal.lab/

عنصر في مجموعة، عند تطبيقه في عملية ثنائية مع عنصر معين، يعطي العنصر المحايد. في مجموعة الأعداد الحقيقية مع عملية الجمع، مقلوب x هو -x لأن x + (-x) = 0. في عملية الضرب، مقلوب x (إذا كان x ≠ 0) هو 1/x لأن x × (1/x) = 1.

المرادفات : عنصر معاكس

المقلوب هو ما 'يلغي' العنصر الأصلي. بدون المقلوب، لا يمكن حل المعادلات الخطية البسيطة.

إذا اشتريت سلعة بسعر 2000 دينار في البصرة، فإن مقلوب هذا السعر في عملية الجمع هو -2000 دينار، لأن 2000 + (-2000) = 0 (السعر النهائي بعد الإلغاء).

نظرية الزمر المتقدمة

زمرة التحويلات (noun) /zam.ra at.taħ.wi.laːt/

زمرة تتكون من جميع التحويلات (functions) من مجموعة إلى نفسها والتي تحافظ على بعض الخصائص، مع عملية التركيب كعملية ثنائية. زمرة التحويلات هي تعميم لزمرة التبديلات.

المرادفات : transformation group (بالإنجليزية)

زمرة التحويلات هي مثل 'جميع الطرق الممكنة لتحريك مجموعة من العناصر' مع الحفاظ على بعض الخصائص.

عندما تنظر إلى خريطة العراق، فإن جميع الطرق الممكنة لتحريك الخريطة بحيث تظل بغداد والموصل في نفس المكان تشكل زمرة تحويلات (تدويرات وانتقالات).

زمرة جزئية عادية (noun) /zam.ra d͡ʒuz.ji.jja ʕaː.di.jja/

زمرة جزئية H من زمرة G بحيث أن gH

g^{- 1}

= H لكل g في G. الزمر الجزئية العادية مهمة في نظرية غالوا ونظرية التمثيل.

المرادفات : normal subgroup (بالإنجليزية)

الزمرة الجزئية العادية هي مثل 'نظام فرعي' يتصرف بشكل متناسق مع الزمرة الكاملة. إنه يسمح لنا بدراسة الزمرة الكاملة من خلال الزمرة الجزئية.

g H g^{- 1} = H \forall g \in G

في زمرة التماثلات $S_{3}$ ، زمرة التناوبات الزوجية $A_{3}$ هي زمرة جزئية عادية لأن أي تماثل في $S_{3}$ يحول التناوبات الزوجية إلى تناوبات زوجية أخرى.

زمرة قابلة للتبديل (noun) /zam.ra qa.bi.la lil.tab.diːl/

زمرة يكون فيها عنصران a وb متزامنين إذا كان a*b = b*a. الزمرة القابلة للتبديل هي زمرة يكون فيها كل عنصرين متزامنين.

المرادفات : زمرة أبيلية, commutative group (بالإنجليزية)

الزمرة القابلة للتبديل هي زمرة أبيلية. هذا يجعلها أسهل في التعامل معها.

a * b = b * a \forall a, b \in G

مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير الصفري مع عملية الضرب تشكل زمرة قابلة للتبديل لأن ضرب أي عددين حقيقيين غير صفريين هو عملية تبديلية.

زمرة قابلة للحل (noun) /zam.ra qa.bi.la lil.ħall/

زمرة يمكن تحليلها إلى تسلسل من الزمر الجزئية العادية حيث أن الزمر الجزئية هي زمر أبيلية. الزمر القابلة للحل مهمة في نظرية غالوا وحل المعادلات متعددة الحدود.

المرادفات : solvable group (بالإنجليزية)

الزمرة القابلة للحل هي مثل 'زمرة يمكن تفكيكها إلى أجزاء أبيلية'. هذا يجعلها أسهل في الدراسة.

الزمرة المتماثلة $S_{3}$ قابلة للحل لأنها تحتوي على تسلسل من الزمر الجزئية: {e} ⊲ $A_{3}$ ⊲ $S_{3}$ حيث $A_{3}$ زمرة أبيلية (زمرة التناوبات الزوجية).

نظرية سيلوف (noun) /na.ðˤa.ri.jat siː.lov/

نظرية في نظرية الزمر تصف الزمر المنتهية من حيث عددها من الزمر الجزئية الأولية. تنص النظرية على أنه لأي عدد أولي p، إذا كان p يقسم رتبة زمرة منتهية G، فإن G تحتوي على زمرة جزئية من الرتبة

p^{m}

لبعض m ≥ 1.

المرادفات : Sylow theorems (بالإنجليزية)

نظرية سيلوف هي أداة قوية لفهم بنية الزمر المنتهية. إنها تساعدنا في معرفة ما إذا كانت زمرة ما تحتوي على زمر جزئية من رتب معينة.

إذا كان لديك زمرة من الرتبة 12 (مثل زمرة التماثلات $S_{4}$ )، فإن نظرية سيلوف تخبرك أنها تحتوي حتماً على زمر جزئية من الرتب 2، 3، 4، و6.

نظرية متقدمة

جبر شامل (noun) /d͡ʒabr ʃaːmil/

فرع من الجبر التجريدي يدرس أنواع الهياكل الجبرية (مثل الزمر، الحلقات، الحقول) ككائنات مفردة، بدلاً من دراستها بشكل منفصل. هذا يسمح لنا بدراسة الخصائص المشتركة بين هذه الهياكل.

المرادفات : universal algebra (بالإنجليزية)

الجبر الشامل هو مثل 'نظرية عامة' للجبر التجريدي. إنه يساعدنا في رؤية الصورة الكبيرة بدلاً من التفاصيل الصغيرة.

عندما تدرس خصائص جميع الزمر معاً، بدلاً من دراسة كل زمرة على حدة، فأنت تستخدم الجبر الشامل.

فئة (noun) /fa.ti.ja/

هيكل رياضي يتكون من: 1) مجموعة من الكائن (objects)، 2) مجموعة من المورفيزمات (morphisms) بين الكائن، 3) تركيب المورفيزمات (composition) الذي يحقق شروطاً معينة مثل التجميعية ووجود عنصر محايد.

المرادفات : category (بالإنجليزية)

الفئة هي مثل 'عالم صغير' في نظرية الفئات. كل فئة تركز على نوع معين من الهياكل الرياضية.

فئة جميع الزمر (Group) هي فئة حيث الكائن هي الزمر والمورفيزمات هي تشاكلات الزمر. هذه الفئة تساعدنا في دراسة جميع الزمر معاً.

نظرية الفئات (noun) /na.ðˤa.ri.jat al.fa.taːʔ/

فرع من الرياضيات يدرس الفئات، وهي هياكل تتكون من كائنات ومورفيزمات (تشاكلات) بينها. نظرية الفئات توفر إطاراً موحداً لدراسة مختلف الهياكل الرياضية من منظور عام.

المرادفات : category theory (بالإنجليزية)

نظرية الفئات هي مثل 'نظرية لكل النظريات'. إنها تسمح لنا برؤية أوجه التشابه بين هياكل رياضية مختلفة جداً.

عندما تنظر إلى خريطة بغداد، يمكنك رؤية كيف أن الشوارع (الكائنات) متصلة ببعضها البعض (المورفيزمات). نظرية الفئات تفعل الشيء نفسه مع الهياكل الرياضية المختلفة.

هياكل جبرية أساسية

زمرة (noun) /zam.ra/

مجموعة مزودة بعملية ثنائية واحدة على الأقل،Element محايد، وعكس لكل عنصر، وتحقق شروط الإغلاق والترابط. الزمر هي أبسط الهياكل الجبرية، وتظهر في العديد من الأنظمة الفيزيائية والكيميائية.

المرادفات : group (بالإنجليزية)

الزمرة هي مثل 'المجموعة العاملة' - فهي لا تحتوي فقط على عناصر، بل أيضاً على طريقة للتفاعل بينها.

مجموعة الأعداد الصحيحة {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} مع عملية الجمع تشكل زمرة لأن: 1) مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح (إغلاق)، 2) 0 هو العنصر المحايد، 3) لكل عدد صحيح x، هناك -x كمقلوب.

هياكل جبرية فرعية

زمرة جزئية (noun) /zam.ra d͡ʒuz.ji.jja/

مجموعة جزئية من زمرة ما، مزودة بنفس العملية الثنائية، والتي تشكل بدورها زمرة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية هي زمرة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة مع عملية الجمع.

المرادفات : subgroup (بالإنجليزية)

الزمرة الجزئية هي مثل 'نظام فرعي' داخل نظام أكبر. إنها تساعد في تبسيط المشاكل المعقدة.

في جامعة بغداد، مجموعة طلاب قسم الرياضيات هي زمرة جزئية من مجموعة جميع طلاب الجامعة مع عملية 'الانتماء إلى نفس القسم'.

هياكل جبرية فرعية متقدمة

مثالي (noun) /ma.θaː.lij/

مجموعة جزئية من حلبة ما، مزودة بعمليتي الجمع والضرب، بحيث إذا كان a في المثالي وr في الحلبة، فإن a×r وr×a أيضاً في المثالي. المثالي هو مثل 'نظام فرعي' مغلق تحت الضرب مع أي عنصر من الحلبة.

المرادفات : ideal (بالإنجليزية)

المثالي هو أداة قوية لفهم بنية الحلقات. إنه يشبه 'المجموعة الجزئية' التي تحافظ على خاصية الضرب مع كل عناصر الحلبة.

في حلبة الأعداد الصحيحة، مجموعة الأعداد الزوجية تشكل مثالياً لأن ضرب أي عدد زوجي بأي عدد صحيح يعطي عدداً زوجياً.

هياكل جبرية متقدمة

جبر (noun) /d͡ʒabr/

حلبة مزودة بعمليتين إضافيتين (عادة الضرب والتركيب) بحيث أن الضرب يكون ترابطياً، وهناك عنصر محايد للضرب، وتحقق خاصية التوزيع. الجبر هو تعميم للفضاءات المتجهية حيث يمكن أن يكون الضرب غير تبديلي.

المرادفات : algebra (بالإنجليزية)

الجبر هو مثل 'فضاء متجهي' ولكنه يسمح بضرب غير تبديلي. هذا يجعله أكثر عمومية.

مجموعة جميع المصفوفات المربعة 2×2 مع عمليتي الجمع والضرب تشكل جبراً لأن الضرب في المصفوفات ليس تبديلياً (AB ≠ BA غالباً).

حقل (noun) /ħaql/

حلبة يكون فيها كل عنصر غير صفري له مقلوب بالنسبة للضرب، وتحقق خاصيتي الإغلاق والترابط. الحقول هي الأساس في نظرية المعادلات الجبرية والهندسة الجبرية.

المرادفات : field (بالإنجليزية)

الحقل هو الحلبة الأكثر 'كمالاً' - إنه يسمح بالقسمة (باستثناء القسمة على صفر).

مجموعة الأعداد الحقيقية مع عمليتي الجمع والضرب تشكل حقلاً لأن كل عدد حقيقي غير صفري له مقلوب (1/x). هذا يسمح لنا بحل معادلات مثل 2x = 5 بسهولة.

شبكة (noun) /ʃa.bi.ka/

مجموعة مزودة بترتيب جزئي (≤) بحيث أن أي عنصرين a وb لهما أصغر حد أعلى (supremum) وأكبر حد أدنى (infimum). الشبكات تظهر في نظرية الترتيب ونظرية القياس.

المرادفات : lattice (بالإنجليزية)

الشبكة هي مثل 'شبكة' من العناصر مرتبة ترتيباً معيناً. إنها تساعدنا في دراسة العلاقات بين العناصر.

مجموعة جميع المجموعات الجزئية لمجموعة ما، مرتبة بعلاقة الاحتواء (⊆)، تشكل شبكة حيث sup(A,B) = A ∪ B وinf(A,B) = A ∩ B.

فضاء متجهي (noun) /fa.saːʔ mut.ta.d͡ʒa.hi/

مجموعة من المتجهات (يمكن أن تكون أعداداً، دوالاً، أو كائنات أخرى) مزودة بعمليتي الجمع والضرب في عدد (يسمى العدد القياسي). الفضاءات المتجهية هي الأساس في الجبر الخطي والهندسة.

المرادفات : فضاء خطي, vector space (بالإنجليزية)

الفضاء المتجهي هو مثل 'مجموعة تعمل بعمليتين' - الجمع بين المتجهات والضرب في عدد. هذا يسمح لنا بتمثيل الظواهر الفيزيائية مثل القوى في الفيزياء.

في الفيزياء، القوة هي متجه (لها مقدار واتجاه). إذا كان لديك قوتان F1 وF2 تؤثران على جسم في بغداد، فإن القوة المحصلة هي F1 + F2 (جمع المتجهات).

موديول (noun) /muː.di.jul/

مجموعة مزودة بعمليتي الجمع والضرب في عناصر من حلقة (بدلاً من حقل). الموديولات هي تعميم للفضاءات المتجهية، حيث يمكن أن يكون الضرب في عناصر من حلقة بدلاً من حقل. الموديولات مهمة في نظرية الأعداد والجبر التجريدي.

المرادفات : module (بالإنجليزية)

الموديول هو مثل 'فضاء متجهي' ولكنه يعمل مع حلقة بدلاً من حقل. هذا يجعله أكثر عمومية.

مجموعة جميع الدوال المتصلة على الفترة [0,1] مع عمليتي الجمع والضرب في الأعداد الحقيقية تشكل موديولاً فوق حلقة الأعداد الحقيقية.

هياكل جبرية متوسطة

حلبة (noun) /ħal.ba/

مجموعة مزودة بعمليتين ثنائيتين (عادة الجمع والضرب) تحقّق شروط الزمرة بالنسبة للجمع، مع وجود عنصر محايد للضرب، ووجود مقلوب لكل عنصر غير صفري، وتحقق خاصية التوزيع. الحلقات هي أساس الجبر الخطي ونظرية الأعداد.

المرادفات : ring (بالإنجليزية)

الحلبة هي مثل 'مجموعة تعمل بعمليتين' - إنها تجمع بين خصائص الجمع والضرب.

مجموعة الأعداد الصحيحة {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} مع عمليتي الجمع والضرب تشكل حلبة لأن: 1) مع الجمع، هي زمرة أبيلية، 2) مع الضرب،Element محايد هو 1، 3) الضرب distributive على الجمع.