علم التوافيق: دليل المصطلحات الأساسية في العراق | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

أن تحسب عدد التباديل والتوافيق لمواقف محلية عراقية مثل ترتيب طلاب في جامعة بغداد أو اختيار فريق كرة قدم من 23 لاعباً
أن تميز بين المسار الأيلر والمسار الهاملتوني في نظرية الرسوم البيانية باستخدام خرائط المدن العراقية
أن تطبق مبدأ الإدراج والإقصاء لحل مسائل عد يومية مثل حساب الطلاب المسجلين في مادتين في جامعة البصرة
أن تستخدم مثلث باسكال لحساب المعاملات الثنائية بسرعة في مسائل اليانصيب العراقي
أن تفسر علاقة تكرارية بسيطة مثل متتالية فيبوناتشي في سياق جدولة الدورات الدراسية

المتطلبات السابقة

مفاهيم المجموعات
الضرب والجمع
الرسوم البيانية الأساسية

الوقت المقدر: 25 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يوماً عن عدد الطرق المختلفة لتنظيم مباريات الدوري العراقي الممتاز؟ أو كيف يمكن لحارس سوق السراي في بغداد أن يعد البضائع دون تكرار؟ علم التوافيق يجيب على هذه الأسئلة! في هذا الدليل، نستكشف المصطلحات الأساسية لهذا العلم الحيوي مع أمثلة من حياتنا اليومية في العراق - من أسواقنا إلى جامعاتنا إلى ملاعبنا. انتظر حتى ترى كيف يتصل هذا العلم البسيط بحياة طالب عراقي مثلك!

الرياضيات дискريتية

نظرية الرسوم البيانية (noun)

فرع من الرياضيات يدرس الرسوم البيانية، وهي هياكل تتكون من رؤوس متصلة بحواف، ويُستخدم في نمذجة العلاقات بين الكائنات. هو أساس خوارزميات المسارات مثل خرائط جوجل.

كل خريطة جوجل، كل شبكة تواصل اجتماعي، كل نظام نقل - كلها مبنية على نظرية الرسوم البيانية!

في خريطة بغداد، يمكن تمثيل التقاطعات كقمم والشارع كحواف، ثم حساب أقصر مسار من الكرخ إلى الأعظمية باستخدام خوارزمية دijkstra.

الرياضيات العامة

علم التوافيق (noun)

فرع من الرياضيات يدرس طرق عد العناصر في المجموعات المنتهية، ودراسة البنى المنتهية مثل الرسوم البيانية والشبكات. هو علم أساسي في تحليل الخوارزميات وعلوم الحاسوب، ويستخدم في حل مشاكل يومية مثل جدولة المباريات أو إدارة المخزون.

هو العلم الذي يجعل من المستحيل أن تصبح الأمور فوضوية! بدون التوافيق، لن نستطيع حساب أي شيء معقد في حياتنا اليومية.

في سوق السراي ببغداد، يريد بائع أن يعد 3 أنواع من التمور و4 أنواع من المكسرات. كم خياراً مختلفاً لديه لبيع علبة تحتوي على نوع واحد من التمور ونوع واحد من المكسرات؟ الحل: 3 × 4 = 12 خياراً.

دالات أساسية

المضروب (noun)

دالة رياضية تُرمز بـ n! وتُعرف بأنها جداء جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n، مع تعريف 0! = 1. هو حجر الأساس في حساب التباديل والتوافيق.

مضروب 5 هو 5×4×3×2×1 = 120. استخدمه لحساب كل شيء في التوافيق!

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1

إذا كان لديك 4 كتب مختلفة، فكم ترتيباً مختلفاً يمكنك ترتيبها على الرف؟ الحل: 4! = 24 ترتيباً.

عد واختيار

التوافيق (noun)

اختيار مجموعة من العناصر حيث لا يكون ترتيب العناصر مهمًا، ويُرمز لعدد التوافيق لـ n عنصر مأخوذاً r في كل مرة بـ C(n,r) أو nCr أو

(\binom{n}{r})

. يُستخدم في اختيار فريق من اللاعبين أو مواد دراسية.

الاختيار فقط! لا يهم الترتيب في التوافيق. {1,2,3} نفس {3,2,1}.

(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}

في فريق كرة القدم العراقي، يريد المدرب اختيار 11 لاعباً من 23 لاعباً متاحاً. كم خياراً مختلفاً لديه؟ الحل: C(23,11) = 1352078 خياراً.

عد وترتيب

التباديل (noun)

ترتيب مجموعة من العناصر حيث يكون ترتيب العناصر مهمًا، ويُرمز لعدد التباديل لـ n عنصر مأخوذاً r في كل مرة بـ P(n,r) أو nPr. يُستخدم في ترتيب المقاعد أو تشكيلات اللاعبين.

الترتيب مهم! 1,2,3 مختلف عن 3,2,1 في التباديل.

P (n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}

في حفل تخرج في جامعة الموصل، يريد 5 طلاب الجلوس على 3 مقاعد متتالية. كم ترتيباً مختلفاً يمكن تشكيله؟ الحل: P(5,3) = 5!/(5-3)! = 60 ترتيباً.

مبادئ العد

مبدأ الإدراج والإقصاء (noun)

مبدأ حسابي لحساب حجم اتحاد عدة مجموعات عن طريق الإدراج والإقصاء المتناوب للقطع المشتركة. يُستخدم لحساب عدد العناصر التي تنتمي إلى مجموعة أو أخرى دون تكرار العد.

بدلاً من العد مرتين لنفس الشيء، نعد مرة ثم نطرح ما تم عدّه مرتين!

| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |

في جامعة البصرة، 100 طالب يدرسون الرياضيات، 80 يدرسون الفيزياء، و30 يدرسون الرياضيات والفيزياء معاً. كم طالباً يدرس الرياضيات أو الفيزياء؟ الحل: 100 + 80 - 30 = 150 طالباً.

مبدأ الحمام (noun)

إذا وضعت n+1 حمامة في n أعشاش، فإن هناك عشاً واحداً على الأقل يحتوي على حمامتين على الأقل. يُستخدم لإثبات وجود حلول أو تكرارات في المشاكل الرياضية.

في الحياة، إذا كان هناك أكثر من الحمامات من الأعشاش، فسيكون هناك تكرار! هذا المبدأ البسيط يحل مشاكل معقدة.

في مدينة بغداد، إذا كان هناك 367 شخصاً، فبالتأكيد هناك شخصان لهما نفس عيد الميلاد (باستثناء 29 فبراير). لأن هناك 366 يوماً فقط في السنة.

مبدأ العد الأساسي (noun)

إذا كان لديك حدثان مستقلان، الأول له m نتيجة محتملة والثاني له n نتيجة محتملة، فإن الحدثين معاً لهما m × n نتيجة محتملة. هو الأساس لحساب التباديل والتوافيق.

المرادفات : قاعدة الضرب, مبدأ الضرب

مبدأ الضرب هو أبسط طريقة لحساب الاحتمالات عندما تختار شيئاً ثم شيئاً آخر.

n = m \times n

في مطعم "أبو علي" في البصرة، يقدم المطعم 5 أنواع من الشوربات و3 أنواع من الأطباق الرئيسية. كم وجبة مختلفة يمكن للزبون أن يختارها إذا اختار شوربة واحدة وطبقاً رئيسياً واحداً؟ الحل: 5 × 3 = 15 وجبة.

متتاليات

الدالة المولدة (noun)

دالة رياضية تُستخدم لتمثيل متتالية من الأعداد، حيث معاملات متسلسلة القوى تمثل حدود المتتالية. تُستخدم لحل العلاقات التكرارية وحساب مجموع المتتاليات.

الدالة المولدة مثل 'آلة موسيقية' للمتتاليات - تعطي نغمة لكل حد!

G (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

الدالة المولدة للمتتالية الثابتة $a_{n}$ = 1 لكل n هي 1/(1-x). يمكنك استخدامها لإيجاد مجموع المتتالية 1+1+1+...

علاقة تكرارية (noun)

معادلة تعبر عن حد في متتالية بدلالة الحدود السابقة، ويُستخدم لحساب الحدود دون حساب جميع الحدود السابقة. يُستخدم في تحليل تعقيد الخوارزميات.

بدلاً من حساب كل شيء من الصفر، نستخدم ما نعرفه بالفعل لحساب الجديد!

a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (ع ل ا ق ة ف ي ب و ن ا ت ش ي)

في متتالية فيبوناتشي، كل حد هو مجموع الحدين السابقين: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... لاحظ كيف 5 = 2 + 3 و 8 = 3 + 5.

متتاليات متقدمة

أعداد ستيرلنغ (noun)

نوعان من الأعداد: الأول يحسب عدد طرق تقسيم مجموعة إلى k subsets غير فارغة، والثاني يحسب عدد طرق تقسيم مجموعة إلى k دورات. يُستخدم في نظرية المجموعات ونظرية الأعداد.

أعداد ستيرلنغ هي 'أداة القسمة' في التوافيق - تقسم المجموعات كما تريد!

S (n, k) = S (n - 1, k - 1) + k S (n - 1, k)

عدد الطرق لتقسيم 4 طلاب إلى فريقين (2 و2) هو 7 (S(4,2) = 7). جرب: {1,2}{3,4}, {1,3}{2,4}, {1,4}{2,3}, {1}{2,3,4}, {2}{1,3,4}, {3}{1,2,4}, {4}{1,2,3}.

أعداد كتالان (noun)

متتالية من الأعداد الطبيعية تظهر في العديد من مشاكل العد، مثل عدد الطرق الصحيحة لإغلاق الأقواس أو عدد الأشجار الثنائية الكاملة. تُستخدم في نظرية المترجمات.

أعداد كتالان هي 'أرقام السحر' في التوافيق - تظهر في أماكن لا تتوقعها!

C_{n} = \frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n})

عدد الطرق المختلفة لترتيب 3 أزواج من الأقواس بشكل صحيح هو 5، وهو $C_{3}$ = 5. جرب: (()()), ()(()), (())(), ()()(), ((())).

نظرية الأعداد

مثلث باسكال (noun)

ترتيب هندسي للأعداد حيث كل عدد هو مجموع العددين فوقه، ويُظهر المعاملات الثنائية في كل صف. يُستخدم لحساب المعاملات الثنائية بسرعة وبدون استخدام المضروب.

الصف 0: 1. الصف 1: 1 1. الصف 2: 1 2 1. الصف 3: 1 3 3 1... لاحظ النمط!

في مثلث باسكال، ما هو المعامل الثنائي للاختيار 3 عناصر من 5؟ ابحث في الصف الخامس (الصف 0) عن الرقم الثالث: 10.

نظرية الاحتمالات

المعامل الثنائي (noun)

العدد

(\binom{n}{k})

الذي يمثل عدد الطرق لاختيار k عنصراً من مجموعة تحتوي على n عنصراً، ويُظهر في توسيع ثنائي الحد (a+b)^n. يُستخدم في نظرية الاحتمالات واحتمالات الفوز.

المعامل الثنائي هو جسر بين التوافيق ونظرية الاحتمالات. يظهر في مثلث باسكال!

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

في اليانصيب العراقي، إذا كان هناك 49 رقمًا تختار منه 6 أرقام، فما عدد الطرق لاختيار 6 أرقام؟ الحل: $(\binom{49}{6})$ = 13,983,816 طريقة.

نظرية الرسوم البيانية

الدورة (noun)

مسار يبدأ وينتهي بنفس القمة، ولا يمر بنفس القمة مرتين باستثناء البداية والنهاية. تُستخدم الدورات في العديد من التطبيقات مثل دوائر الكهرباء.

الدورة هي طريق مغلق. مثل السير حول ساحة الخلاني في بغداد ثم العودة إليها.

في خريطة بغداد، الدورة التي تمر عبر ساحة التحرير - شارع الرشيد - ساحة الخلاني - شارع المتنبي - ساحة التحرير هي دورة كلاسيكية للسياح، طولها حوالي 3 كيلومترات.

الرسم البياني البسيط (noun)

رسم بياني لا يحتوي على حواف مكررة (بين نفس القمتين) ولا حواف من قمة إلى نفسها (حلقات). هو أبسط أنواع الرسوم البيانية.

الرسم البياني البسيط هو الأساس الذي نبني عليه كل أنواع الرسوم البيانية الأخرى!

خريطة بسيطة لمدينة صغيرة مثل الحلة: كل تقاطع هو قمة، وكل شارع هو حافة بدون تكرار أو حلقات. هذا رسم بياني بسيط.

الرسم البياني الكامل (noun)

رسم بياني حيث كل زوج من القمم متصل بحواف، ويُرمز له بـ

K_{n}

حيث n هو عدد القمم. يُستخدم في نمذجة الشبكات الكاملة مثل شبكات الحاسوب أو العلاقات الاجتماعية الكاملة.

في الرسم البياني الكامل، الجميع متصل بالجميع! مثل مجموعة أصدقاء في فيسبوك يتابع بعضهم بعضاً جميعاً.

في مجموعة من 4 أصدقاء في Erbil، الرسم البياني الكامل $K_{4}$ يمثل جميع الصداقات الممكنة بينهم - 6 حواف في المجموع (كل شخص متصل بثلاثة آخرين).

الرسم البياني المتعدد (noun)

رسم بياني يمكن أن يحتوي على حواف مكررة بين نفس القمتين أو حواف من قمة إلى نفسها (حلقات). يُستخدم في نمذجة العلاقات المتعددة مثل الرحلات الجوية المتكررة بين مدينتين.

مثل وجود عدة طرق بين بغداد والموصل، أو عدة رحلات طيران في نفس اليوم.

في جدول رحلات الطيران بين بغداد والبصرة، إذا كان هناك 5 رحلات يومياً، فهذا يمثل 5 حواف مكررة بين المدينتين في الرسم البياني المتعدد.

الرسم البياني المنتظم (noun)

رسم بياني حيث كل قمة لها نفس الدرجة (عدد الحواف المتصلة بها). يُستخدم في نمذجة الشبكات المتجانسة مثل شبكات الحاسوب المتساوية.

في الرسم البياني المنتظم من الدرجة 3، كل شخص متصل بثلاثة أشخاص آخرين - مثل شبكة تواصل اجتماعي متوازنة.

في شبكة حواسيب في جامعة البصرة، إذا كان كل حاسوب متصل بثلاثة حواسيب أخرى، فهو رسم بياني منتظم من الدرجة 3. هذا يجعل الشبكة متوازنة وفعالة.

الرسم البياني الموجه (noun)

رسم بياني حيث الحواف لها اتجاه، أي أن الحافة من A إلى B تختلف عن الحافة من B إلى A. يُستخدم في نمذجة العلاقات أحادية الاتجاه مثلOne-way streets أو تفاعلات اجتماعية.

في الرسم البياني الموجه، الاتجاه مهم! مثل شارع واحد باتجاه في بغداد، لا يمكنك العودة بنفس الطريق.

في خريطة بغداد، شارع الرشيد باتجاه واحد (من الميدان إلى السراي) هو حافة موجهة. يمكنك الذهاب من الميدان إلى السراي، لكن لا يمكنك العودة بنفس الطريق.

الرسم البياني الموصل (noun)

رسم بياني حيث يوجد مسار بين أي قمتين، أي أنه لا يمكن تقسيمه إلى جزئين منفصلين. يُستخدم في شبكات النقل مثل الطرق بين المدن.

الرسم البياني الموصل مثل شبكة طرق بين المدن - يمكنك الذهاب من أي مدينة إلى أي مدينة أخرى!

خريطة الطرق بين بغداد والموصل والرمادي هي رسم بياني موصل، بينما إذا انفصلت الرمادي عن الطريق الرئيسي، يصبح الرسم البياني غير موصل.

الرسم البياني ثنائي التجزئة (noun)

رسم بياني يمكن تقسيم قممها إلى مجموعتين بحيث لا توجد حواف بين قمم في نفس المجموعة. يُستخدم في نمذجة العلاقات الثنائية مثل الطلاب والمقررات الدراسية.

مثل разделение الطلاب إلى مجموعتين: مجموعة A تدرس الرياضيات ومجموعة B تدرس الفيزياء، مع حواف تمثل تسجيل الطلاب للمقررات.

في جامعة بغداد، يمكن تمثيل الطلاب في مجموعة والمقررات في مجموعة أخرى، مع وجود حواف إذا سجل الطالب المقرر. هذا رسم بياني ثنائي التجزئة.

الرسوم البيانية الدائرية (noun)

رسوم بيانية يمكن رسمها على سطح كرة دون تقاطعات، مثل الرسوم البيانية المستوية ولكن على كرة بدلاً من مستو. تُستخدم في نظرية الأوتار وفي الرسوم البيانية على الكواكب.

مثل رسم خريطة العالم على كرة أرضية - لا توجد بداية ولا نهاية، كل شيء متصل!

خريطة Erbil القديمة على شكل دائرة (القلعة) يمكن تمثيلها كرسوم بيانية دائرية، حيث القمة المركزية تمثل القلعة والحواف تمثل الشوارع الدائرية.

الرسوم البيانية الكاملة ثنائية التجزئة (noun)

رسم بياني ثنائي التجزئة حيث كل قمة في المجموعة الأولى متصلة بجميع قمم المجموعة الثانية. يُرمز له بـ

K_{m, n}

حيث m عدد القمم في المجموعة الأولى وn في الثانية.

المرادفات : الرسم البياني الكامل ثنائي القسم

مثل مطعم به m طاولات وn أطباق - كل طاولة يمكن أن تختار أي طبق!

في مطعم " Babylon" في بغداد، إذا كان هناك 3 طاولات و5 أطباق رئيسية، فإن الرسم البياني الكامل ثنائي التجزئة $K_{3,5}$ يمثل جميع الاختيارات الممكنة.

الرسوم البيانية المتزامنة (noun)

رسوم بيانية لها نفس البنية، أي أنه يمكن إعادة تسمية قممها للحصول على نفس الرسم البياني. يُستخدم في دراسة خصائص الرسوم البيانية دون النظر إلى التسميات.

المرادفات : رسوم بيانية متكافئة

مثل صورتين لنفس المبنى من زوايا مختلفة - نفس الشكل، نفس الخصائص، فقط التسميات مختلفة.

الرسم البياني لمباراة كرة قدم بين فريقين (كل فريق 11 لاعباً) هو نفس الرسم البياني بغض النظر عن أسماء اللاعبين -这就是 الرسوم البيانية المتزامنة.

الرسوم البيانية المستوية (noun)

رسم بياني يمكن رسمه على مستو دون أن تتقاطع أي حوافه باستثناء عند القمم. تُستخدم في تصميم الدوائر الإلكترونية أو الخرائط.

مثل رسم خريطة بغداد على ورقة دون أن تتقاطع الشوارع -这就是 الرسم البياني المستوي!

خريطة مترو بغداد هي رسم بياني مستوي - يمكنك رسمها على ورقة دون أن تتقاطع الخطوط (الخطوط).

الرسوم البيانية الملونة (noun)

رسم بياني حيث تم تلوين القمم أو الحواف وفقاً لقاعدة معينة، مثل عدم وجود قمتين متجاورتين لهما نفس اللون. يُستخدم في جدولة المهام أو حل الألغاز.

مثل تلوين خريطة العراق بحيث لا تتشابه محافظتان متجاورتان بنفس اللون -这就是 مسألة الألوان الأربعة الشهيرة!

في جدول دراسي لجامعة بغداد، نلون القاعات بحيث لا يكون هناك محاضرتان لنفس المادة في قاعتين متجاورتين -这就是 تلوين القمم.

الشجرة (noun)

رسم بياني متصل لا يحتوي على دورات، ويُستخدم لتمثيل التسلسلات الهرمية مثل شجرة العائلة أو هيكلية الملفات في الحاسوب.

في علوم الحاسوب، الأشجار الثنائية هي أساس هياكل البيانات مثل الأشجار الحمراء والسوداء المستخدمة في قواعد البيانات.

في هيكلية ملفات الحاسوب، يمكن تمثيل مجلد "الوثائق" كجذر، والمجلدات الفرعية كفروع، والملفات كأوراق. هذه هي شجرة الملفات!

المسار (noun)

تسلسل من القمم في الرسم البياني حيث كل قمتين متتاليتين متصلتين بحواف، ولا يمر بنفس القمة مرتين. يُستخدم في خوارزميات الملاحة مثل حساب أقصر طريق بين مدينتين.

المسار هو الطريق الذي تسلكه دون تكرار أي تقاطع. مثل الطريق من باب المعظم إلى شارع المتنبي في بغداد.

في خريطة Erbil إلى Sulaymaniyah، المسار الأمثل هو الطريق السريع 2 الذي يمر عبر كركوك، وهو مسار طوله 220 كيلومتراً.

المسار الأيلر (noun)

مسار يمر بجميع حواف الرسم البياني مرة واحدة بالضبط، ويمكن أن يمر بنفس القمة عدة مرات. يُستخدم في مشاكل مثل مسح جميع الشوارع في مدينة ما (مسألة الجسر السبعة Königsberg).

المسار الأيلر هو جولة 'نظيفة' تمر بكل شارع مرة واحدة فقط! مثل بائع متجول يمر بكل شارع في مدينة ما.

في خريطة Erbil القديمة، المسار الذي يمر بجميع الجسور (الآن جسور) مرة واحدة هو مثال للمسار الأيلر.可惜، لا يوجد مسار أيلر في Erbil بسبب تصميم الجسور!

المسار الهاملتوني (noun)

مسار يمر بجميع قمم الرسم البياني مرة واحدة بالضبط. يُستخدم في مشاكل مثل جدولة رحلات الطيران لزيارة جميع المدن مرة واحدة.

المسار الهاملتوني هو جولة 'نظيفة' تمر بكل مدينة مرة واحدة فقط! مثل رحلة سياحية تمر بجميع معالم بغداد دون تكرار.

في خريطة المدن العراقية، مسار من بغداد إلى البصرة مروراً بالموصل وكركوك هو مثال للمسار الهاملتوني. طول هذا المسار حوالي 550 كيلومتراً.

درجة القمة (noun)

عدد الحواف المتصلة بقمة معينة في الرسم البياني. في الرسم البياني الموجه، نفرق بين الدرجة الداخلة (عدد الحواف الواردة) والدرجة الخارجة (عدد الحواف الصادرة).

المرادفات : درجة الرأس

درجة القمة مثل عدد الأصدقاء الذين لديك في فيسبوك - كلما زادت الدرجة، زادت الاتصالات!

d e g (v) = ع د د ا ل ح و ا ف ا ل م ت ص ل ة ب ا ل ق م ة v

في خريطة بغداد، التقاطع عند ساحة الخلاني له درجة 4 (4 شوارع متصلة به: الرشيد، المتنبي، السعدون، المأمون).