Mecánica Cuántica: El Mundo que Desafía tu Sentido Común en la FÍ

1. Densidad de probabilidad — La densidad de probabilidad está dada por el cuadrado de la función de onda. Calcula $P(r)=|\psi (r){|}^2$.
   $$P(r)=|\psi (r){|}^2={\left(\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-r/a_0}\right)}^2=\frac{1}{\pi a_0^3}{e}^{-2r/a_0}$$
2. Probabilidad total — La probabilidad de encontrar al electrón dentro de una esfera de radio $R$ se calcula integrando la densidad de probabilidad en todo el volumen esférico.
   $$P_{\text{total}}={\int }_0^{R}P(r)\cdot 4\pi r^{2}dr={\int }_0^{2a_0}\frac{1}{\pi a_0^3}{e}^{-2r/a_0}\cdot 4\pi r^{2}dr$$
3. Integración — Resuelve la integral usando sustitución $u=2r/a_0$. Recuerda que ${\int }_0^x{u}^2{e}^{-u}du=2-e^{-x}(x^2+2x+2)$.
   $$P_{\text{total}}=\frac{4}{a_0^3}{\int }_0^{2a_0}{r}^2{e}^{-2r/a_0}dr=1-e^{-4}(8+8+2)=1-18e^{-4}$$
4. Resultado numérico — Calcula el valor numérico de la probabilidad con $e^{-4}\approx 0.0183$.
   $$P_{\text{total}}\approx 1-18\times 0.0183=1-0.3294=0.6706$$

$$P_{\text{total}}\approx 0.6706$$

→ La probabilidad de encontrar al electrón dentro de una esfera de radio $2a_0$ es aproximadamente 0.6706 o 67.06%.

1. Energía del fotón — Usa la relación de Planck-Einstein para calcular la energía del fotón.
   $$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{(4.136\times {10}^{-15}\text{eV}\cdot \text{s})(3\times {10}^8\text{m/s})}{632.8\times {10}^{-9}\text{m}}\approx 1.96\text{eV}$$
2. Energía del nivel final — Aplica la fórmula de niveles de energía del modelo de Bohr para $n_f=2$.
   $$E_f=-\frac{R_H}{n_f^2}=-\frac{13.6\text{eV}}{2^2}=-3.4\text{eV}$$
3. Energía del nivel inicial — La energía del fotón es igual a la diferencia de energía entre los niveles inicial y final.
   $$E=E_i-E_f\Rightarrow E_i=E+E_f=1.96\text{eV}-3.4\text{eV}=-1.44\text{eV}$$
4. Nivel inicial $n_i$ — Usa la fórmula de energía para encontrar $n_i$.
   $$E_i=-\frac{R_H}{n_i^2}\Rightarrow -1.44=-\frac{13.6}{n_i^2}\Rightarrow n_i^2=\frac{13.6}{1.44}\approx 9.44\Rightarrow n_i=3$$

$$n_i=3$$

→ El nivel inicial desde el cual ocurrió la transición es $n_i=3$.

1. Incertidumbre en momento — Aplica directamente el principio de incertidumbre de Heisenberg.
   $$\mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }x}=\frac{1.055\times {10}^{-34}}{2\times 1\times {10}^{-10}}=5.275\times {10}^{-25}\text{kg}\cdot \text{m/s}$$
2. Incertidumbre en velocidad — Usa la relación entre momento y velocidad para un electrón.
   $$\mathrm{\Delta }v=\frac{\mathrm{\Delta }p}{m_e}=\frac{5.275\times {10}^{-25}}{9.11\times {10}^{-31}}\approx 5.79\times {10}^5\text{m/s}$$
3. Interpretación — Esta incertidumbre en velocidad es enorme comparada con velocidades típicas en circuitos electrónicos clásicos, lo que muestra los límites fundamentales de la medición a escala cuántica.

$$\mathrm{\Delta }p\approx 5.28\times {10}^{-25}\text{kg}\cdot \text{m/s},\mathrm{\Delta }v\approx 5.79\times {10}^5\text{m/s}$$

→ La mínima incertidumbre en el momento lineal es $\mathrm{\Delta }p\approx 5.28\times {10}^{-25}\text{kg}\cdot \text{m/s}$ y la incertidumbre en velocidad es $\mathrm{\Delta }v\approx 5.79\times {10}^5\text{m/s}$.

1. Factor de decaimiento $\kappa$ — El factor $\kappa$ depende de la diferencia entre la energía de la barrera y la energía del electrón.
   $$\kappa =\sqrt{\frac{2m_e(V_0-E)}{{\hslash }^2}}=\sqrt{\frac{2\times 9.11\times {10}^{-31}\times (8.0\times {10}^{-20}-4.8\times {10}^{-20})}{{(1.055\times {10}^{-34})}^2}}\approx 1.37\times {10}^9{\text{m}}^{-1}$$
2. Probabilidad de transmisión — Para una barrera rectangular, la probabilidad de transmisión es $T\approx e^{-2\kappa L}$ cuando $E<V_0$.
   $$T\approx e^{-2\times 1.37\times {10}^9\times 1\times {10}^{-9}}=e^{-2.74}\approx 0.0645$$
3. Interpretación — Aunque la probabilidad es baja, en dispositivos con miles de millones de transistores como los de tu computadora, este efecto es medible y debe ser controlado en el diseño.

$$T\approx 0.0645$$

→ La probabilidad de que el electrón cruce la barrera por efecto túnel es aproximadamente 6.45%.

1. Longitud de onda de De Broglie — Usa la fórmula $\lambda =h/p$ donde $p=m_{e}v$ es el momento lineal del electrón.
   $$\lambda =\frac{h}{m_{e}v}=\frac{6.626\times {10}^{-34}}{9.11\times {10}^{-31}\times 5\times {10}^6}\approx 1.45\times {10}^{-10}\text{m}$$
2. Separación entre franjas — Para interferencia de doble rendija, la separación entre máximos es $\mathrm{\Delta }y=\frac{\lambda D}{d}$.
   $$\mathrm{\Delta }y=\frac{\lambda D}{d}=\frac{1.45\times {10}^{-10}\times 1}{2\times {10}^{-6}}=7.25\times {10}^{-5}\text{m}=72.5\text{mu}\text{m}$$
3. Interpretación de la dualidad — Aunque los electrones son partículas, su comportamiento al pasar por las rendijas muestra un patrón de interferencia típico de ondas, demostrando que tienen propiedades tanto de partícula como de onda.

$$\mathrm{\Delta }y=72.5\text{mu}\text{m}$$

→ La separación entre franjas de interferencia es $\mathrm{\Delta }y=72.5\text{mu}\text{m}$.

1. Estado entrelazado — El estado de Bell para polarización es $|{\mathrm{\Psi }}^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H⟩|V⟩+|V⟩|H⟩)$, donde $|H⟩$ es polarización horizontal y $|V⟩$ es vertical.
   $$|{\mathrm{\Psi }}^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H⟩|V⟩+|V⟩|H⟩)$$
2. Medición en base $+{45}^{\circ }$ — La base $+{45}^{\circ }$ se puede expresar como $|+{45}^{\circ }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H⟩+|V⟩)$ y $|-{45}^{\circ }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H⟩-|V⟩)$. Si el primer fotón se mide como $|+{45}^{\circ }⟩$, el estado colapsa y el segundo fotón debe estar en el estado $|-{45}^{\circ }⟩$ para conservar la correlación.
3. Resultado para el segundo fotón — Dado que el primer fotón dio 'horizontal' en la base $+{45}^{\circ }$ (que es equivalente a $|+{45}^{\circ }⟩$), el segundo fotón debe estar en el estado $|-{45}^{\circ }⟩$.
   $$|\text{Segundo fotón}⟩=|-{45}^{\circ }⟩$$
4. Seguridad en comunicaciones — Cualquier intento de interceptar los fotones alteraría su estado cuántico, alertando a los usuarios sobre la intrusión. Esto hace que el entrelazamiento cuántico sea ideal para generar claves de cifrado que no pueden ser hackeadas clásicamente.

$$|\text{Segundo fotón}⟩=|-{45}^{\circ }⟩$$

→ La polarización del segundo fotón, al medirse en la misma base $+{45}^{\circ }$, es $-{45}^{\circ }$ (o 'vertical' en la base estándar).