¿Por qué el café se enfría? Secretos de la mecánica de fluidos en

1. Diferencia de temperatura — La diferencia de temperatura inicial entre el café y el ambiente es simplemente la resta de temperaturas.
   $$\mathrm{\Delta }T=T_{\text{café}}-T_{\text{ambiente}}=85\text{°C}-32\text{°C}=53\text{ K}$$
2. Ley de Fourier para conducción — La ley de Fourier establece que el flujo de calor por conducción es proporcional al área, la diferencia de temperatura y la conductividad térmica, e inversamente proporcional al espesor.
   $$Q=-k\cdot A\cdot \frac{\mathrm{\Delta }T}{e}$$
3. Cálculo del flujo de calor — Sustituyendo los valores conocidos en la ley de Fourier obtenemos el flujo de calor instantáneo.
   $$Q=-205\text{ W/m·K}\times 0.02{\text{ m}}^2\times \frac{53\text{ K}}{0.002\text{ m}}=-109150\text{ W}$$
4. Energía térmica perdida — La energía perdida se calcula multiplicando el flujo de calor constante por el tiempo. Aunque el flujo disminuye con el tiempo, usamos este valor como aproximación para los primeros minutos.
   $$E=|Q|\times t=109150\text{ W}\times 300\text{ s}=32745000\text{ J}=3.27\times {10}^7\text{ J}$$

$$E=3.27\times {10}^7\text{ J}$$

→ La energía térmica perdida por conducción en los primeros 5 minutos es aproximadamente 3.27 × 10⁷ J. Una taza de cerámica sería mejor aislante porque su conductividad térmica (1.5 W/m·K) es mucho menor que la del aluminio.

1. Ecuación diferencial — La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la ambiente.
   $$\frac{dT}{dt}=-h\cdot A\cdot \frac{T-T_{\text{amb}}}{m\cdot c}$$
2. Solución de la ecuación — La solución de esta ecuación diferencial es una función exponencial decreciente.
   $$T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})\cdot e^{-\frac{hA}{mc}t}$$
3. Cálculo de h — Sustituyendo los valores conocidos en el tiempo t = 600 s y despejando h.
   $$60=25+(80-25)\cdot e^{-\frac{hA}{0.25\times 4186}\times 600}$$
4. Simplificación — Despejando el exponente y resolviendo para h.
   $$h=-\frac{mc}{At}\ln \left(\frac{T-T_{\text{amb}}}{T_0-T_{\text{amb}}}\right)$$

$$h=12.5{\text{ W/m}}^2\cdot \text{K}$$

→ El coeficiente de convección h es aproximadamente 12.5 W/m²·K. Este valor es mayor en Maracaibo debido a la mayor velocidad del viento y la humedad relativa más baja.

1. Resistencia térmica de la cerámica — La resistencia térmica por conducción se calcula como el cociente entre el espesor y el producto de la conductividad y el área.
   $$R_{\text{cerámica}}=\frac{e}{kA}=\frac{0.003}{1.5\times 0.015}=0.133\text{ K/W}$$
2. Resistencia térmica del aire — Aunque el aire es un mal conductor, su resistencia térmica es significativa debido al mayor espesor.
   $$R_{\text{aire}}=\frac{0.005}{0.026\times 0.015}=12.82\text{ K/W}$$
3. Resistencia total — Para la taza de cerámica, la resistencia total es simplemente la de la cerámica. Para la taza al vacío, es la suma de ambas resistencias.
   $$R_{\text{total, cerámica}}=0.133\text{ K/W}{R}_{\text{total, vacío}}=0.133+12.82=12.953\text{ K/W}$$
4. Recomendación — La taza al vacío tiene una resistencia térmica 97 veces mayor, por lo que mantiene mejor el calor.

$$R_{\text{vacío}}=12.953\text{ K/W}$$

→ La resistencia térmica de la taza de cerámica es 0.133 K/W, mientras que la de la taza al vacío es 12.953 K/W. La taza al vacío es la mejor opción para mantener el café caliente en Mérida.

1. Energía térmica disponible — La energía que puede perder el café es la diferencia entre su energía inicial y la que tendría a 60°C.
   $$Q_{\text{perdida}}=m\cdot c\cdot (T_0-T_f)=0.3\times 4186\times (85-60)=31395\text{ J}$$
2. Área superficial del cilindro — El área de un cilindro (sin considerar las bases) es 2πrh.
   $$A=2\pi rh=2\times \pi \times 0.04\times 0.12=0.0302{\text{ m}}^2$$
3. Ecuación de transferencia para cilindro — Para un cilindro, la transferencia de calor por conducción sigue una relación logarítmica debido a la geometría.
   $$Q=\frac{2\pi kL(T_i-T_a)}{\ln (r_2/r_1)}\cdot t$$
4. Cálculo del espesor — Despejando el espesor (r2 - r1) de la ecuación de transferencia.
   $$e=r_2-r_1=r_1(\exp \left(\frac{2\pi kL(T_i-T_a)t}{Q_{\text{perdida}}}\right)-1)$$

$$e=1.8\text{ cm}$$

→ El espesor mínimo de lana de vidrio necesario es aproximadamente 1.8 cm para mantener el café por encima de 60°C durante los 15 minutos de viaje.

1. Energía térmica perdida — La energía perdida es la diferencia de energía interna del café.
   $$Q_{\text{perdida}}=m\cdot c\cdot (T_0-T_f)=0.25\times 4186\times (80-50)=31395\text{ J}$$
2. Flujo de calor promedio — El flujo de calor es la energía perdida dividida por el tiempo.
   $$Q_{\text{flujo}}=\frac{Q_{\text{perdida}}}{t}=\frac{31395}{1200}=26.16\text{ W}$$
3. Mecanismo dominante — En este caso, la conducción a través del acero domina porque el vacío se perdió y el acero es un buen conductor.
4. Solución propuesta — Usar un termo con doble pared de acero inoxidable y vacío entre ellas, o llevar el termo en una mochila térmica.

$$Q=31395\text{ J}$$

→ Se perdieron 31395 J de energía térmica. El mecanismo dominante fue la conducción a través del acero inoxidable, que tiene una conductividad térmica mucho mayor que el vacío.