¿Sabes por qué el café se enfría? La mecánica estadística lo

1. Concepto de equilibrio térmico — Dos sistemas están en equilibrio térmico cuando no hay flujo neto de energía térmica entre ellos, lo que ocurre cuando sus temperaturas son iguales. Esto es exactamente lo que establece la ley cero de la termodinámica.
2. Energía cinética molecular — La energía cinética promedio de las moléculas de agua en el café es proporcional a la temperatura absoluta. Al inicio, las moléculas tienen mayor energía cinética que las del aire ambiente ($T_{caf\acute{e}}=353$ K vs $T_{aire}=298$ K).
   $$E_c=\frac{3}{2}{k}_{B}T$$
3. Transferencia por colisiones — Las moléculas de agua del café chocan con las del aire más frío, transfiriéndoles energía cinética. Este proceso es irreversible y continúa hasta que la energía cinética promedio de ambas regiones sea igual.
4. Tiempo de relajación — El tiempo de enfriamiento depende de la diferencia inicial de temperaturas y de la tasa de transferencia de calor. Aunque la diferencia es grande al inicio, el flujo de calor disminuye a medida que las temperaturas se acercan.
   $$\frac{dQ}{dt}=-hA(T(t)-T_{ambiente})$$

→ El café se enfría porque sus moléculas, con mayor energía cinética inicial, transfieren energía por colisiones a las moléculas del aire más frío hasta alcanzar equilibrio térmico. Este proceso es irreversible y tarda minutos porque la tasa de transferencia de calor disminuye a medida que las temperaturas se igualan.

1. Cálculo de la masa — La masa se obtiene multiplicando el volumen por la masa volumétrica.
   $$m=V\times \rho =200\text{ mL}\times 1.0\text{ g/mL}=200\text{ g}$$
2. Variación de temperatura — La variación de temperatura en kelvin es igual a la variación en grados Celsius para diferencias de temperatura.
   $$\mathrm{\Delta }T=T_i-T_f=80\text{ °C}-28\text{ °C}=52\text{ K}$$
3. Energía transferida — Usamos la fórmula de transferencia de calor $Q=m\cdot c\cdot \mathrm{\Delta }T$.
   $$Q=200\text{ g}\times 4.18\text{ J/(g·K)}\times 52\text{ K}=43672\text{ J}$$
4. Conversión a kilocalorías — Convertimos julios a kilocalorías usando el factor de conversión dado.
   $$Q=\frac{43672\text{ J}}{4180\text{ J/kcal}}\approx 10.45\text{ kcal}$$

$$Q=43672\text{ J}\approx 10.45\text{ kcal}$$

→ El café transfiere aproximadamente 43672 julios de energía al ambiente, lo que equivale a 10.45 kilocalorías. Esta energía es suficiente para calentar 10.45 mL de agua en 1 °C, pero es menos del 5% del valor energético de una arepa rellena de queso.

1. Distribución de Boltzmann — La probabilidad de un estado con energía $E$ a temperatura $T$ es proporcional a $e^{-E/(k_{B}T)}$.
   $$P(E)\propto e^{-\frac{E}{k_{B}T}}$$
2. Probabilidad relativa $P(E_2)/P(E_0)$ — Como $P(E)\propto e^{-E/(k_{B}T)}$, la probabilidad relativa es el cociente de las exponenciales.
   $$\frac{P(E_2)}{P(E_0)}=\frac{e^{-\frac{2ϵ}{k_{B}T}}}{e^{-\frac{0}{k_{B}T}}}=e^{-\frac{2ϵ}{k_{B}T}}$$
3. Cálculo numérico — Sustituimos los valores dados.
   $$\frac{P(E_2)}{P(E_0)}=e^{-\frac{2\times 1.0\times {10}^{-21}}{1.38\times {10}^{-23}\times 353}}=e^{-40.96}\approx 2.0\times {10}^{-18}$$
4. Interpretación — El resultado muestra que es extremadamente improbable que una molécula tenga el doble de la energía base a $80$ °C. La mayoría de las moléculas tienen energías cercanas a la media, lo que explica por qué el café no 'explota' en moléculas hiperenergéticas.
5. Nueva temperatura ($40$ °C = $313$ K) — Repetimos el cálculo para una temperatura menor.
   $$\frac{P(E_2)}{P(E_0)}=e^{-\frac{2\times 1.0\times {10}^{-21}}{1.38\times {10}^{-23}\times 313}}=e^{-46.03}\approx 1.1\times {10}^{-20}$$

$$\frac{P(E_2)}{P(E_0)}=2.0\times {10}^{-18}(T=80\text{°C})\frac{P(E_2)}{P(E_0)}=1.1\times {10}^{-20}(T=40\text{°C})$$

→ La probabilidad de que una molécula tenga energía $E_2$ es aproximadamente $2.0\times {10}^{-18}$ veces la probabilidad de que tenga energía $E_0$. A $40$ °C, esta probabilidad relativa disminuye aún más a $1.1\times {10}^{-20}$, mostrando que las moléculas prefieren estados de baja energía.

1. Variación de entropía del café — Para un proceso a presión constante con capacidad calorífica constante, $\mathrm{\Delta }S=m\cdot c\cdot \ln (T_f/T_i)$.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{caf\acute{e}}=m\cdot c\cdot \ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right)=500\times 4.18\times \ln \left(\frac{298}{353}\right)$$
2. Cálculo numérico — Evaluamos el logaritmo y multiplicamos.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{caf\acute{e}}=2090\times (-0.171)=-357.4\text{ J/K}$$
3. Entropía del ambiente — El ambiente gana calor $Q=-\mathrm{\Delta }{H}_{caf\acute{e}}=m\cdot c\cdot (T_i-T_f)$. Su entropía aumenta porque recibe calor a temperatura constante $T_f$.
   $$Q=500\times 4.18\times (353-298)=114950\text{ J}\mathrm{\Delta }{S}_{ambiente}=\frac{Q}{T_f}=\frac{114950}{298}=385.7\text{ J/K}$$
4. Variación total del universo — Sumamos las variaciones de entropía del café y el ambiente.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{universo}=\mathrm{\Delta }{S}_{caf\acute{e}}+\mathrm{\Delta }{S}_{ambiente}=-357.4+385.7=28.3\text{ J/K}$$
5. Interpretación — El aumento neto de entropía del universo ($28.3$ J/K) confirma la segunda ley de la termodinámica: en procesos irreversibles, la entropía total siempre aumenta.

$$\mathrm{\Delta }{S}_{universo}=28.3\text{ J/K}>0$$

→ La variación de entropía del café es $-357.4$ J/K (pierde entropía), mientras que la del ambiente es $+385.7$ J/K. La entropía total del universo aumenta en $28.3$ J/K, cumpliendo con la segunda ley de la termodinámica.