¿Por qué el agua fluye? Secretos de la mecánica de fluidos enVene

1. Cálculo del radio — Primero calculamos el radio del grifo. El diámetro es $2.5\text{ cm}$, así que el radio $r$ es la mitad.
   $$r=\frac{d}{2}=\frac{2.5\text{ cm}}{2}=1.25\text{ cm}$$
2. Conversión a metros — Convertimos el radio a metros para trabajar con unidades consistentes en el sistema internacional.
   $$r=1.25\text{ cm}\times \frac{1\text{ m}}{100\text{ cm}}=0.0125\text{ m}$$
3. Cálculo del área — Ahora calculamos el área de la sección transversal del grifo usando la fórmula del círculo.
   $$A=\pi r^2=\pi {(0.0125\text{ m})}^2$$
4. Cálculo del caudal — Finalmente, aplicamos la ecuación de continuidad para encontrar el caudal volumétrico.
   $$Q=A\cdot v=\pi {(0.0125\text{ m})}^2\times 1.2\text{ m/s}$$
5. Conversión a litros por segundo — Convertimos el resultado de metros cúbicos por segundo a litros por segundo.
   $$Q=[\pi {(0.0125)}^2\times 1.2]{\text{ m}}^3/\text{s}\times \frac{1000\text{ L}}{1{\text{ m}}^3}$$

$$Q\approx 0.074\text{ L/s}$$

→ El grifo de Ana proporciona un caudal de aproximadamente 0.074 litros por segundo.

1. Aplicación directa de la fórmula — Sustituimos los valores conocidos en la fórmula de presión hidrostática.
   $$P=\rho gh=1030{\text{ kg/m}}^3\times 9.8{\text{ m/s}}^2\times 3.5\text{ m}$$
2. Cálculo numérico — Realizamos la multiplicación para obtener el valor de la presión.
   $$P=1030\times 9.8\times 3.5\approx 35519\text{ Pa}$$
3. Conversión a kilopascales — Convertimos el resultado a kilopascales para facilitar su interpretación.
   $$P=35519\text{ Pa}\times \frac{1\text{ kPa}}{1000\text{ Pa}}=35.519\text{ kPa}$$

$$P\approx 35.5\text{ kPa}$$

→ La presión hidrostática en la piscina de Francisquí es de aproximadamente 35.5 kPa.

1. Aplicación del principio de Torricelli — Sustituimos los valores en la fórmula de Torricelli para encontrar la velocidad de salida.
   $$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8{\text{ m/s}}^2\times 979\text{ m}}$$
2. Cálculo numérico — Realizamos el cálculo bajo el signo de la raíz cuadrada.
   $$v=\sqrt{2\times 9.8\times 979}=\sqrt{19188.4}\approx 138.5\text{ m/s}$$

$$v\approx 138.5\text{ m/s}$$

→ El agua sale del recipiente a una velocidad aproximada de 138.5 metros por segundo.

1. Cálculo del área de la compuerta — Primero calculamos el área de la compuerta, que es rectangular.
   $$A=H\times L=15\text{ m}\times 10\text{ m}=150{\text{ m}}^2$$
2. Cálculo de la profundidad del centroide — El centroide de una superficie rectangular vertical sumergida está a la mitad de la altura del agua que la cubre.
   $$h_c=\frac{h}{2}=\frac{100\text{ m}}{2}=50\text{ m}$$
3. Cálculo de la presión en el centroide — Calculamos la presión hidrostática en el centroide de la compuerta.
   $$P_c=\rho g{h}_c=1000{\text{ kg/m}}^3\times 9.8{\text{ m/s}}^2\times 50\text{ m}=490000\text{ Pa}$$
4. Cálculo de la fuerza total — La fuerza total es el producto de la presión en el centroide por el área de la compuerta.
   $$F=P_c\times A=490000\text{ Pa}\times 150{\text{ m}}^2$$

$$F\approx 7.35\times {10}^7\text{ N}$$

→ La fuerza total que ejerce el agua sobre la compuerta de la represa de Guri es de aproximadamente 73,500,000 newtons.

1. Conversión de unidades — Convertimos el ancho del río de kilómetros a metros para trabajar con unidades consistentes.
   $$w=1.5\text{ km}\times \frac{1000\text{ m}}{1\text{ km}}=1500\text{ m}$$
2. Cálculo del área de la sección transversal — Calculamos el área del río multiplicando el ancho por la profundidad promedio.
   $$A=w\times d=1500\text{ m}\times 20\text{ m}=30000{\text{ m}}^2$$
3. Cálculo del caudal volumétrico — Aplicamos la ecuación de continuidad para encontrar el caudal en metros cúbicos por segundo.
   $$Q=A\cdot v=30000{\text{ m}}^2\times 1.8\text{ m/s}=54000{\text{ m}}^3/\text{s}$$
4. Conversión a litros por segundo — Convertimos el caudal a litros por segundo para facilitar su interpretación.
   $$Q_L=54000{\text{ m}}^3/\text{s}\times \frac{1000\text{ L}}{1{\text{ m}}^3}=54000000\text{ L/s}$$

$$Q=5.4\times {10}^4{\text{ m}}^3/\text{s}\text{y}{Q}_L=5.4\times {10}^7\text{ L/s}$$

→ El caudal del río Orinoco en Ciudad Bolívar es de 54,000 metros cúbicos por segundo, equivalente a 54 millones de litros por segundo.

1. Cálculo de la presión hidrostática — Aplicamos la fórmula de presión hidrostática para calcular la presión debida al agua.
   $$P_{\text{hidro}}=\rho gh=1030{\text{ kg/m}}^3\times 9.8{\text{ m/s}}^2\times 30\text{ m}$$
2. Cálculo numérico de la presión hidrostática — Realizamos la multiplicación para obtener el valor de la presión hidrostática.
   $$P_{\text{hidro}}=1030\times 9.8\times 30=302940\text{ Pa}$$
3. Cálculo de la presión total — Sumamos la presión hidrostática con la presión atmosférica para obtener la presión total.
   $$P_{\text{total}}=P_{\text{hidro}}+P_{\text{atm}}=302940\text{ Pa}+101325\text{ Pa}$$

$$P_{\text{total}}\approx 4.04\times {10}^5\text{ Pa}$$

→ El buzo soporta una presión total de aproximadamente 404,265 pascales (404.3 kPa).

1. Cálculo del área de la tubería — Convertimos el diámetro a metros y calculamos el área de la sección transversal.
   $$D=2\text{ cm}=0.02\text{ m}A=\pi {\left(\frac{D}{2}\right)}^2=\pi {\left(0.01\text{ m}\right)}^2$$
2. Cálculo de la velocidad del agua — Usamos el caudal y el área para encontrar la velocidad del agua en la tubería.
   $$v=\frac{Q}{A}=\frac{0.5\text{ L/s}}{A}=\frac{0.0005{\text{ m}}^3/\text{s}}{A}$$
3. Cálculo de la pérdida de carga por diferencia de presión — Usamos la relación entre la diferencia de presión y la pérdida de carga para calcular $h_f$.
   $$h_f=\frac{P_{\text{entrada}}-P_{\text{salida}}}{\rho g}=\frac{(400-350)\text{ kPa}}{1000{\text{ kg/m}}^3\times 9.8{\text{ m/s}}^2}$$
4. Cálculo numérico de $h_f$ — Realizamos la operación para obtener la pérdida de carga.
   $$h_f=\frac{50000\text{ Pa}}{9800\text{ Pa/m}}\approx 5.1\text{ m}$$
5. Verificación con Darcy-Weisbach — Calculamos la velocidad y aplicamos la fórmula de Darcy-Weisbach para verificar.
   $$v=\frac{0.0005}{\pi {(0.01)}^2}\approx 1.59\text{ m/s}{h}_f=0.02\times \frac{50}{0.02}\times \frac{{(1.59)}^2}{2\times 9.8}\approx 5.1\text{ m}$$

$$h_f\approx 5.1\text{ m}$$

→ La pérdida de carga por fricción en la tubería de riego es de aproximadamente 5.1 metros.

1. Conversión de unidades — Convertimos la longitud de kilómetros a metros y el diámetro de centímetros a metros.
   $$L=2\text{ km}=2000\text{ m}D=30\text{ cm}=0.3\text{ m}$$
2. Aplicación de la ecuación de Hagen-Poiseuille — Sustituimos los valores en la fórmula para calcular la caída de presión.
   $$\mathrm{\Delta }P=\frac{128\times 0.1\text{ Pa·s}\times 2000\text{ m}\times 0.8{\text{ m}}^3/\text{s}}{\pi \times {(0.3\text{ m})}^4}$$
3. Cálculo numérico — Realizamos el cálculo paso a paso para obtener la caída de presión.
   $$\mathrm{\Delta }P=\frac{128\times 0.1\times 2000\times 0.8}{\pi \times 0.0081}=\frac{20480}{0.0254469}\approx 804800\text{ Pa}$$
4. Conversión a kilopascales — Convertimos el resultado a kilopascales para facilitar su interpretación.
   $$\mathrm{\Delta }P=804800\text{ Pa}\times \frac{1\text{ kPa}}{1000\text{ Pa}}=804.8\text{ kPa}$$

$$\mathrm{\Delta }P\approx 8.05\times {10}^5\text{ Pa}$$

→ La caída de presión en la tubería de transporte de petróleo en el Lago de Maracaibo es de aproximadamente 804.8 kilopascales.

1. Expresión de las áreas — Escribimos las expresiones para las áreas en ambos pisos usando los diámetros dados.
   $$A_1=\pi {\left(\frac{D_1}{2}\right)}^2=\pi {\left(1\text{ cm}\right)}^2{A}_2=\pi {\left(\frac{D_2}{2}\right)}^2=\pi {\left(0.75\text{ cm}\right)}^2$$
2. Aplicación de la ecuación de continuidad — Usamos la ecuación de continuidad para relacionar las velocidades en ambos pisos.
   $$A_1{v}_1=A_2{v}_2⟹v_2=v_1\frac{A_1}{A_2}$$
3. Cálculo de la relación de áreas — Calculamos la relación $A_1/A_2$ para encontrar cuántas veces es mayor $v_2$ respecto a $v_1$.
   $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{\pi {(1)}^2}{\pi {(0.75)}^2}=\frac{1}{0.5625}=\frac{16}{9}\approx 1.78$$
4. Conclusión sobre la velocidad — Como $A_1>A_2$, entonces $v_2>v_1$. La velocidad en el tercer piso es mayor.
   $$v_2=v_1\times 1.78⟹\frac{v_2}{v_1}=1.78$$

$$\frac{v_2}{v_1}=1.78$$

→ La velocidad del gas en el tercer piso es 1.78 veces mayor que en el primer piso.