¿Puede un gato estar vivo y muerto a la vez? Explora la mecánica

1. Estados base — Identifica los dos estados posibles del gato. En mecánica cuántica, estos se representan como estados base ortogonales.
   $$|\text{vivo}⟩,|\text{muerto}⟩$$
2. Probabilidades — Convierte las probabilidades dadas en amplitudes de probabilidad. La amplitud es la raíz cuadrada de la probabilidad.
   $$\sqrt{0.7}\approx 0.8367,\sqrt{0.3}\approx 0.5477$$
3. Superposición — Escribe el estado cuántico como combinación lineal de los estados base con sus amplitudes respectivas.
   $$|\psi ⟩=\sqrt{0.7}|\text{vivo}⟩+\sqrt{0.3}|\text{muerto}⟩$$

$$|\psi ⟩=\sqrt{0.7}|\text{vivo}⟩+\sqrt{0.3}|\text{muerto}⟩$$

→ El estado cuántico del gato es |ψ⟩ = √0.7 |vivo⟩ + √0.3 |muerto⟩

1. Cálculo de cada término — Multiplica cada ganancia por su probabilidad correspondiente.
   $$0.6\times 5000=3000\text{ VES},0.4\times (-3000)=-1200\text{ VES}$$
2. Suma de términos — Suma los resultados para obtener el valor esperado total.
   $$⟨G⟩=3000+(-1200)=1800\text{ VES}$$

$$1800\text{ VES}$$

→ El valor esperado de tu ganancia es 1800 VES

1. Valor esperado del tiempo — Calcula el tiempo esperado usando la fórmula de valor esperado.
   $$⟨t⟩=0.85\times 2+0.15\times 5=1.7+0.75=2.45\text{ min}$$
2. Operador tiempo — Construye la matriz del operador tiempo en la base {|estación⟩, |movimiento⟩}.
   $$\hat{T}=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$$
3. Aplicación del operador — Aplica el operador tiempo al estado del autobús para obtener el tiempo esperado.
   $$⟨\psi |\hat{T}|\psi ⟩=2.45\text{ min}$$

$$2.45\text{ min}$$

→ El tiempo de llegada esperado es 2.45 minutos

1. Normalización — Verifica que el estado está normalizado. Si no lo está, normalízalo primero.
   $$|0.6{|}^2+|0.8{|}^2=0.36+0.64=1\text{(ya está normalizado)}$$
2. Probabilidad de detección — Calcula la probabilidad de que el detector esté en el estado |1⟩, que corresponde a la liberación de veneno.
   $$P(\text{muerte})=|0.8{|}^2=0.64$$

$$0.64$$

→ La probabilidad de que se libere el veneno es 64%

1. Colapso inicial — La primera medición colapsa el estado a |arriba⟩. El estado después de la medición es |ψ'⟩ = |arriba⟩.
   $$|{\psi }^{\prime }⟩=|\text{arriba}⟩$$
2. Segunda medición — Al medir nuevamente, el sistema ya está en el estado |arriba⟩, por lo que la probabilidad de obtener |arriba⟩ es 1.
   $$P(\text{arriba}\to \text{arriba})=1$$

$$1$$

→ La probabilidad de que el sistema siga en |arriba⟩ es 100%

1. Precio esperado por café — Calcula el precio esperado de un café usando la fórmula de valor esperado.
   $$⟨P⟩=0.7\times 200+0.3\times 500=140+150=290\text{ VES}$$
2. Precio total para 5 cafés — Multiplica el precio esperado por café por el número de cafés.
   $$⟨C⟩=5\times 290=1450\text{ VES}$$
3. Operador precio — El operador precio en la base {|normal⟩, |premium⟩} es $\hat{P}$ = diag(200, 500).
   $$\hat{P}=\left(\begin{array}{cc}200& 0\\ 0& 500\end{array}\right)$$

$$1450\text{ VES}$$

→ El precio total esperado para 5 cafés es 1450 VES

1. Suposición inicial — Supón que |ψ⟩ es un estado propio de $\hat{O}$: $\hat{O}$|ψ⟩ = λ|ψ⟩
   $$\hat{O}(\alpha |\text{vivo}⟩+\beta |\text{muerto}⟩)=\lambda (\alpha |\text{vivo}⟩+\beta |\text{muerto}⟩)$$
2. Aplicar linealidad — Usa la linealidad del operador: $\hat{O}$(α|vivo⟩ + β|muerto⟩) = α$\hat{O}$|vivo⟩ + β$\hat{O}$|muerto⟩
   $$\alpha \hat{O}|\text{vivo}⟩+\beta \hat{O}|\text{muerto}⟩=\lambda \alpha |\text{vivo}⟩+\lambda \beta |\text{muerto}⟩$$
3. Ortogonalidad — Como |vivo⟩ y |muerto⟩ son ortogonales, sus coeficientes deben satisfacer ecuaciones separadas: $\hat{O}$|vivo⟩ = λ|vivo⟩ y $\hat{O}$|muerto⟩ = λ|muerto⟩
   $$\hat{O}|\text{vivo}⟩=\lambda |\text{vivo}⟩,\hat{O}|\text{muerto}⟩=\lambda |\text{muerto}⟩$$
4. Contradicción — Esto implica que tanto |vivo⟩ como |muerto⟩ son estados propios con el mismo valor propio λ. Pero en la realidad, estos estados corresponden a situaciones macroscópicas distintas (vida vs muerte) que no pueden tener la misma energía u observable físico.
   $$\text{Contradicción: }|\text{vivo}⟩\text{ y }|\text{muerto}⟩\text{ no pueden ser estados propios del mismo observable con el mismo }\lambda$$

→ El estado |ψ⟩ no puede ser un estado propio de ningún operador observable físico porque los estados |vivo⟩ y |muerto⟩ son ortogonales y corresponden a situaciones macroscópicas incompatibles.

1. Interacción con el entorno — El gato en la caja interactúa con su entorno: moléculas de aire, radiación térmica, vibraciones, etc. Cada interacción causa decoherencia, destruyendo la superposición.
   $$\text{Decoherencia: }|\psi ⟩=\alpha |\text{vivo}⟩+\beta |\text{muerto}⟩\to \text{estado mezclado}$$
2. Observador indirecto — Aunque un pez no 'mire' directamente la caja, cualquier interacción que pueda correlacionarse con el estado de la caja (por ejemplo, fotones reflejados) causa decoherencia.
   $$\text{Fotón reflejado: }|\varphi \text{ (entorno)}⟩\otimes |\psi ⟩\to |{\varphi }_{\text{vivo}}⟩\otimes |\text{vivo}⟩+|{\varphi }_{\text{muerto}}⟩\otimes |\text{muerto}⟩$$
3. Resultado práctico — Cuando abres la caja, el estado ya ha colapsado debido a la decoherencia. El gato está definitivamente vivo o muerto, no en superposición.
   $$\text{Estado final: }|\text{vivo}⟩\text{ o }|\text{muerto}⟩\text{ (no superposición)}$$

→ En la práctica, el gato no está en superposición cuando abrimos la caja porque interactúa constantemente con su entorno, causando decoherencia cuántica. Cualquier interacción, incluso indirecta (como la observación por un pez), destruye la superposición.