¿Puede el aleteo de una mariposa en Venezuela causar un huracán?

1. Posición de cada mariposa — Aplica la ecuación de movimiento $x(t)=5t^2+v_{0}t$ para cada mariposa con sus respectivas velocidades iniciales
   $$x_1(t)=5t^2+v_{01}t;x_2(t)=5t^2+v_{02}t$$
2. Cálculo para t=10s — Sustituye t=10 s en ambas ecuaciones y calcula las posiciones
   $$x_1(10)=5{(10)}^2+5.00(10)=550\text{ m}{x}_2(10)=5{(10)}^2+5.01(10)=551\text{ m}$$
3. Diferencia en posiciones — Resta las posiciones para obtener la diferencia Δx
   $$\mathrm{\Delta }x=x_2(10)-x_1(10)=551-550=1\text{ m}$$

$$1\text{m}$$

→ La diferencia en posiciones es de 1 metro, demostrando dependencia sensible a condiciones iniciales.

1. Tiempo con trenes programados — Sustituye n=10 en la fórmula del tiempo de espera
   $$T(10)=15+2(10)=35\text{minutos}$$
2. Tiempo con error operativo — Sustituye n=8 en la misma fórmula
   $$T(8)=15+2(8)=31\text{minutos}$$
3. Diferencia en tiempos — Resta los dos tiempos para encontrar el aumento
   $$\mathrm{\Delta }T=T(10)-T(8)=35-31=4\text{minutos}$$

$$4\text{minutos}$$

→ El tiempo de espera aumenta en 4 minutos.

1. Captura original en t=10 — Sustituye t=10 en la fórmula original
   $$P_{\text{original}}(10)=\frac{1000}{1+9e^{-0.2(10)}}=\frac{1000}{1+9e^{-2}}\approx 864.7\text{peces}$$
2. Captura con contaminación en t=10 — Sustituye t=10 en la fórmula modificada
   $$P_{\text{modificado}}(10)=\frac{1000}{1+9e^{-0.18(10)}}=\frac{1000}{1+9e^{-1.8}}\approx 838.9\text{peces}$$
3. Diferencia absoluta — Resta las dos capturas para encontrar la pérdida
   $$\mathrm{\Delta }P=864.7-838.9=25.8\text{peces}$$
4. Diferencia relativa — Calcula el porcentaje de pérdida respecto al valor original
   $$\mathrm{\Delta }{P}_{\text{rel}}=\frac{25.8}{864.7}\times 100\%\approx 2.98\%$$

→ Se capturarán aproximadamente 26 peces menos, lo que representa un 3% de diferencia relativa.

1. Función de recaudación — Desarrolla R(p) = p × C(p)
   $$R(p)=p(50000+200p-0.5p^2)=50000p+200p^2-0.5p^3$$
2. Derivada y punto crítico — Deriva R(p) respecto a p e iguala a cero para encontrar el máximo
   $$R^{\prime }(p)=50000+400p-1.5p^2=0$$
3. Resolución de la ecuación cuadrática — Usa la fórmula cuadrática para resolver R'(p)=0
   $$p=\frac{-400\pm \sqrt{{400}^2-4(-1.5)(50000)}}{2(-1.5)}=\frac{-400\pm \sqrt{160000+300000}}{-3}=\frac{-400\pm 748.33}{-3}$$
4. Precio óptimo — Selecciona la solución positiva que tiene sentido económico
   $$p_{\text{optimo}}=\frac{-400+748.33}{-3}=\frac{348.33}{-3}\approx 116.11\text{VES}$$
5. Recaudación máxima — Sustituye $p_{o}ptimo$ en R(p)
   $$R(116.11)=50000(116.11)+200{(116.11)}^2-0.5{(116.11)}^3\approx 5805500\text{VES}$$
6. Nuevo costo base — Calcula con el nuevo costo base de 50000 × 1.15 = 57500
   $$R_{\text{nuevo}}(p)=p(57500+200p-0.5p^2)$$
7. Nuevo precio óptimo — Repite el proceso con el nuevo costo base
   $$R_{\text{nuevo}}^{\prime }(p)=57500+400p-1.5p^2=0p_{\text{optimo,nuevo}}=\frac{-400+\sqrt{160000+345000}}{-3}=\frac{-400+755}{-3}\approx 118.33\text{VES}$$

→ El precio óptimo es aproximadamente 116 VES con recaudación máxima de 5.8 millones VES. Con el aumento del costo base, el nuevo precio óptimo es 118 VES.

1. Temperaturas originales — Calcula los valores extremos del modelo original
   $$T_{\text{max,original}}=25+5(1)=30\text{°C}{T}_{\text{min,original}}=25+5(-1)=20\text{°C}$$
2. Nuevas temperaturas extremas — Calcula los valores con la nueva amplitud A=6
   $$T_{\text{max,nuevo}}=25+6(1)=31\text{°C}{T}_{\text{min,nuevo}}=25+6(-1)=19\text{°C}$$
3. Diferencia absoluta en máximo — Calcula la diferencia en la temperatura máxima
   $$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{abs,max}}=31-30=1\text{°C}$$
4. Diferencia relativa en máximo — Calcula el porcentaje de aumento en la temperatura máxima
   $$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{rel,max}}=\frac{1}{30}\times 100\%\approx 3.33\%$$
5. Diferencia absoluta en mínimo — Calcula la diferencia en la temperatura mínima
   $$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{abs,min}}=20-19=1\text{°C}$$
6. Diferencia relativa en mínimo — Calcula el porcentaje de disminución en la temperatura mínima
   $$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{rel,min}}=\frac{1}{20}\times 100\%=5\%$$

→ La nueva temperatura máxima es 31°C (aumento de 1°C, 3.33%) y la mínima es 19°C (disminución de 1°C, 5%).

1. Ecuación de movimiento — Reescribe la ecuación diferencial de segundo orden como un sistema de ecuaciones de primer orden
   $$\{\begin{array}{c}\dot{x}=v\\ \dot{v}=\frac{1}{m}[F_0\cos (\omega t)-cv-kx-\alpha x^3]\end{array}$$
2. Condiciones iniciales — Define las condiciones iniciales del sistema
   $$x(0)=0.1\text{m},v(0)=0\text{m/s}$$
3. Simulación numérica — Aplica el método de Euler con paso Δt=0.1 s para calcular x(t) y v(t) en cada instante
   $$x_{n+1}=x_n+v_n\mathrm{\Delta }t{v}_{n+1}=v_n+\frac{1}{m}[F_0\cos (\omega t_n)-c{v}_n-k{x}_n-\alpha x_n^3]\mathrm{\Delta }t$$
4. Resultado en t=10s — Después de 100 pasos (10s/0.1s), obtén la posición final x(10)
   $$x(10)\approx 0.087\text{m}$$
5. Análisis de amplitud — Observa que la amplitud de las oscilaciones disminuye gradualmente debido al término de amortiguamiento c
   $$\text{Amplitud final}\approx 0.09\text{m}<x_0=0.1\text{m}$$

→ La posición en t=10s es aproximadamente 0.087 m. La amplitud de las oscilaciones disminuye de 0.1 m a aproximadamente 0.09 m, mostrando amortiguamiento en el sistema no lineal.

1. Identificación de déficit — Analiza gráficamente o numéricamente los intervalos donde D(t) > G(t). Se observa déficit principalmente entre las 18:00 y 22:00 horas.
   $$D(t)>G(t)\text{para}t\in [18,22]\text{ horas}$$
2. Cálculo de energía no suministrada — Integra la diferencia D(t) - G(t) sobre el intervalo [18, 22]
   $$E_{\text{deficit}}={\int }_{18}^{22}[D(t)-G(t)]dt$$
3. Aproximación numérica — Usa el método del trapecio con Δt=1 hora para aproximar la integral
   $$E_{\text{deficit}}\approx \frac{1}{2}\sum _{i=1}^4[D(t_i)-G(t_i)+D(t_{i+1})-G(t_{i+1})]\times 1\text{hora}$$
4. Valores en intervalo de déficit — Calcula D(t) y G(t) en t=18, 19, 20, 21, 22 horas
   $$\begin{array}{cc}& D(18)=17000\text{MW},G(18)=17500\text{MW}\\ & D(19)=17500\text{MW},G(19)=17250\text{MW}\\ & D(20)=18000\text{MW},G(20)=17000\text{MW}\\ & D(21)=18500\text{MW},G(21)=16750\text{MW}\\ & D(22)=19000\text{MW},G(22)=16500\text{MW}\end{array}$$
5. Energía no suministrada original — Aplica la fórmula del trapecio
   $$E_{\text{deficit}}\approx \frac{1}{2}[(17000-17500)+(17500-17250)]+\frac{1}{2}[(17500-17250)+(18000-17000)]+\frac{1}{2}[(18000-17000)+(18500-16750)]+\frac{1}{2}[(18500-16750)+(19000-16500)]\approx 2500\text{MWh}$$
6. Nueva generación con 10% más — Calcula $G_{n}uevo$(t) = 1.10 × G(t)
   $$G_{\text{nuevo}}(t)=1.10\times (18000-500\cos (\frac{2\pi t}{24}))$$
7. Nuevos valores en intervalo de déficit — Calcula $G_{n}uevo$(t) en los mismos puntos
   $$\begin{array}{cc}& G_{\text{nuevo}}(18)=19250\text{MW}\\ & G_{\text{nuevo}}(19)=18975\text{MW}\\ & G_{\text{nuevo}}(20)=18700\text{MW}\\ & G_{\text{nuevo}}(21)=18425\text{MW}\\ & G_{\text{nuevo}}(22)=18150\text{MW}\end{array}$$
8. Energía no suministrada con nueva planta — Aplica el método del trapecio con los nuevos valores
   $$E_{\text{deficit,nuevo}}\approx \frac{1}{2}[(17000-19250)+(17500-18975)]+...+\frac{1}{2}[(18500-18425)+(19000-18150)]\approx 500\text{MWh}$$
9. Reducción porcentual — Calcula el porcentaje de reducción
   $$\text{Reducción}=\frac{2500-500}{2500}\times 100\%=80\%$$

→ El déficit energético ocurre entre las 18:00 y 22:00 horas, con energía no suministrada de 2500 MWh diarios. Con la nueva planta, el déficit se reduce a 500 MWh, una disminución del 80%.

1. Demostración de no linealidad — El modelo logístico $C(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{C_0}-1)e^{-rt}}$ contiene el término exponencial $e^{-rt}$ multiplicado por una función racional, lo que lo hace no lineal.
   $$\text{No linealidad:}\frac{dC}{dt}=rC(1-\frac{C}{K})\ne aC+b$$
2. Punto de equilibrio original — Iguala dC/dt = 0 y resuelve para C
   $$\frac{dC}{dt}=rC(1-\frac{C}{K})=0⟹C=0\text{o}C=K$$
3. Interpretación del punto de equilibrio — El punto de equilibrio estable es C=K=1000 unidades, que representa la capacidad máxima sostenible del cultivo.
   $$C_{\text{eq}}=K=1000\text{unidades}$$
4. Efecto del aumento de precio — Un aumento del 25% en el precio del café puede interpretarse como un aumento en la capacidad de carga K, ya que permite mayores inversiones en el cultivo.
   $$K_{\text{nuevo}}=1.25\times 1000=1250\text{unidades}$$
5. Nuevo punto de equilibrio — El nuevo punto de equilibrio es $C_{e}q$_nuevo = $K_{n}uevo$ = 1250 unidades
   $$C_{\text{eq,nuevo}}=1250\text{unidades}$$
6. Interpretación del efecto mariposa — Un pequeño cambio en el precio (parámetro económico) genera un cambio significativo en la capacidad de carga del sistema agrícola, demostrando dependencia sensible a condiciones iniciales en sistemas complejos.
   $$\mathrm{\Delta }K=250\text{unidades}(25\%)⟹\mathrm{\Delta }{C}_{\text{eq}}=250\text{unidades}(25\%)$$

→ El punto de equilibrio original es 1000 unidades. Con el aumento del 25% en el precio del café, el nuevo punto de equilibrio es 1250 unidades, demostrando cómo pequeños cambios económicos pueden tener efectos significativos en sistemas agrícolas.