Domina la Mecánica Estadística con Ejercicios en Venezuela

1. Fórmulas de velocidades características — En la distribución de Maxwell-Boltzmann, las velocidades características se calculan con las siguientes expresiones: velocidad más probable ($v_p$), velocidad media ($v_m$) y velocidad cuadrática media ($v_{rms}$).
2. Cálculo de la velocidad más probable — Sustituye los valores dados en la fórmula de la velocidad más probable. Observa que esta velocidad corresponde al pico de la distribución.
   $$v_p=\sqrt{\frac{2k_{B}T}{m}}$$
3. Cálculo de la velocidad media — Aplica la fórmula de la velocidad media, que es un promedio ponderado de todas las velocidades posibles.
   $$v_m=\sqrt{\frac{8k_{B}T}{\pi m}}$$
4. Cálculo de la velocidad cuadrática media — Esta velocidad está directamente relacionada con la energía cinética promedio de las moléculas.
   $$v_{rms}=\sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}}$$

$$v_p=422\text{m/s},v_m=476\text{m/s},v_{rms}=517\text{m/s}$$

→ Velocidad más probable: 422 m/s, velocidad media: 476 m/s, velocidad cuadrática media: 517 m/s

1. Grados de libertad en gas diatómico — A temperatura ambiente, las moléculas diatómicas como el $N_2$ y $O_2$ tienen 5 grados de libertad: 3 de traslación y 2 de rotación.
   $$f=5$$
2. Cálculo de la energía interna total — Aplica el teorema de equipartición para obtener la energía interna total del gas en el bus.
   $$U=N\times \frac{f}{2}{k}_{B}T$$
3. Energía de traslación — Solo los 3 grados de libertad de traslación contribuyen a la energía cinética de movimiento del gas.
   $$U_{trans}=N\times \frac{3}{2}{k}_{B}T$$
4. Fracción de energía de traslación — Divide la energía de traslación entre la energía interna total para obtener la fracción solicitada.
   $$\text{fraccion}=\frac{U_{trans}}{U}$$

$$U=2.56\times {10}^6\text{J},U_{trans}=1.54\times {10}^6\text{J},\text{fraccion}=0.6$$

→ Energía interna total: $2.56\times {10}^6\text{ J}$, energía de traslación: $1.54\times {10}^6\text{ J}$, fracción: 0.6

1. Fórmula de Boltzmann — La entropía de un sistema está dada por la fórmula de Ludwig Boltzmann, donde $W$ es el número de microestados accesibles.
   $$S=k_B\ln W$$
2. Cálculo del cambio de entropía — Aplica la fórmula para calcular el cambio de entropía al disolver el azúcar en el café.
   $$\mathrm{\Delta }S=k_B\ln W_f-k_B\ln W_i=k_B\ln \left(\frac{W_f}{W_i}\right)$$
3. Sustitución de valores — Reemplaza los valores numéricos en la expresión simplificada.
   $$\mathrm{\Delta }S=k_B\ln ({10}^{20})$$
4. Resultado final — Calcula el valor numérico usando que $\ln ({10}^{20})=20\ln (10)\approx 46.05$.
   $$\mathrm{\Delta }S=46.05k_B$$

$$\mathrm{\Delta }S=6.36\times {10}^{-22}\text{J/K},\frac{\mathrm{\Delta }S}{k_B}=46.05$$

→ Cambio de entropía: $6.36\times {10}^{-22}\text{ J/K}$, que equivale a $46.05k_B$

1. Longitud de onda térmica — Calcula primero la longitud de onda térmica de De Broglie, que depende de la temperatura y la masa molecular.
   $$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2\pi m{k}_{B}T}}$$
2. Función de partición por partícula — La función de partición para una sola molécula en un gas ideal es $z=\frac{V}{{\lambda }^3}$. Sin embargo, para un gas ideal clásico, $Z=z^N$.
   $$z=\frac{V}{{\lambda }^3}$$
3. Energía interna en términos de Z — La energía interna se puede expresar como $U=N{k}_B{T}^2\frac{\partial \ln Z}{\partial T}$. Para un gas ideal monoatómico, esto se simplifica a $U=\frac{3}{2}N{k}_{B}T$.
   $$U=\frac{3}{2}N{k}_{B}T$$
4. Cálculo directo de U — Usa la fórmula simplificada para la energía interna de un gas monoatómico ideal.
   $$U=\frac{3}{2}\times 6.02\times {10}^{23}\times 1.38\times {10}^{-23}\times 310$$

$$Z={\left(\frac{V}{{\lambda }^3}\right)}^N,U=3.93\times {10}^4\text{J}$$

→ Función de partición: $Z={(V/{\lambda }^3)}^N$ (depende del volumen), energía interna: $3.93\times {10}^4\text{ J}$

1. Cálculo con ecuación del gas ideal — Usa la ecuación de estado del gas ideal para calcular el número de moléculas directamente.
   $$N_{ideal}=\frac{PV}{k_{B}T}$$
2. Distribución de Maxwell-Boltzmann — La distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann es $f(v)=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}{v}^2{e}^{-m{v}^2/(2k_{B}T)}$. El número total de moléculas es la integral de esta distribución sobre todas las velocidades.
   $$N_{MB}={\int }_0^{\infty }Nf(v)dv=N$$
3. Normalización de la distribución — La distribución de Maxwell-Boltzmann está normalizada de tal manera que ${\int }_0^{\infty }f(v)dv=1$. Por lo tanto, el número total de moléculas es simplemente $N$.
   $$N_{MB}=N=N_{ideal}$$
4. Comparación de resultados — Ambos métodos deben coincidir para un gas ideal en equilibrio termodinámico.
   $$N_{ideal}=N_{MB}$$

$$N=4.84\times {10}^{26}\text{moleculas}$$

→ Número de moléculas: $4.84\times {10}^{26}$ (ambos métodos coinciden)

1. Distribución de velocidades — La distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann da la probabilidad de encontrar una molécula con velocidad $v$.
   $$f(v)=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}{v}^2{e}^{-\frac{m{v}^2}{2k_{B}T}}$$
2. Presión en un rango de velocidades — La contribución a la presión de las moléculas con velocidades entre $v_1$ y $v_2$ es proporcional a la integral de $v^{2}f(v)$ en ese rango.
   $$P_{rango}\propto {\int }_{v_1}^{v_2}{v}^{2}f(v)dv$$
3. Fracción de la presión total — La fracción de la presión total se obtiene dividiendo $P_{rango}$ entre $P_{total}$. Para un gas ideal, esta fracción se puede aproximar numéricamente.
   $${\text{fraccion}}_P=\frac{P_{rango}}{P_{total}}$$

$$P_{rango}=0.24\text{atm},{\text{fraccion}}_P=0.24$$

→ Presión en el rango: $0.24\text{ atm}$, fracción: 0.24

1. Capacidad calorífica molar para $N_2$ y $O_2$ — Ambos gases diatómicos tienen la misma capacidad calorífica molar a temperatura ambiente: $C_{V,mol}=\frac{5}{2}R$.
   $$C_{V,mol}=\frac{5}{2}R=\frac{5}{2}{N}_A{k}_B$$
2. Cálculo de $C_V$ a $300\text{ K}$ — Multiplica la capacidad calorífica molar por el número total de moléculas para obtener $C_{V1}$.
   $$C_{V1}=(N_1+N_2)\times \frac{5}{2}{k}_B$$
3. Variación con la temperatura — Si la temperatura aumenta a $400\text{ K}$, pero aún estamos en el rango donde solo los grados de libertad de traslación y rotación están activos, $C_V$ permanece constante.
   $$C_{V2}=C_{V1}$$
4. Conclusión sobre la variación — La capacidad calorífica a volumen constante no cambia con la temperatura en el rango donde los grados de vibración no están excitados.
   $$\mathrm{\Delta }{C}_V=0$$

$$C_{V1}=2.07\times {10}^4\text{J/K},C_{V2}=2.07\times {10}^4\text{J/K},\mathrm{\Delta }{C}_V=0\text{J/K}$$

→ Capacidad calorífica a $300\text{ K}$: $2.07\times {10}^4\text{ J/K}$, a $400\text{ K}$: $2.07\times {10}^4\text{ J/K}$, variación: $0\text{ J/K}$

1. Densidad molecular en la base — Usa la ecuación del gas ideal para calcular la densidad de moléculas en la base del teleférico.
   $$n_1=\frac{P_1}{k_B{T}_1}$$
2. Densidad molecular en La Aguada — Calcula la densidad molecular en la estación más alta usando los valores de presión y temperatura correspondientes.
   $$n_2=\frac{P_2}{k_B{T}_2}$$
3. Velocidad cuadrática media en la base — Aplica la fórmula de la velocidad cuadrática media, que depende exclusivamente de la temperatura.
   $$v_{rms1}=\sqrt{\frac{3k_B{T}_1}{m}}$$
4. Velocidad cuadrática media en La Aguada — Calcula $v_{rms2}$ usando la temperatura más baja de la estación alta.
   $$v_{rms2}=\sqrt{\frac{3k_B{T}_2}{m}}$$
5. Comparación de densidades — La densidad molecular disminuye con la altitud debido a la menor presión, aunque la temperatura también afecta.
   $$n_2<n_1$$

$$n_1=2.25\times {10}^{25}{\text{m}}^{-3},n_2=1.63\times {10}^{25}{\text{m}}^{-3},v_{rms1}=503\text{m/s},v_{rms2}=485\text{m/s}$$

→ Densidad en la base: $2.25\times {10}^{25}{\text{ m}}^{-3}$, densidad en La Aguada: $1.63\times {10}^{25}{\text{ m}}^{-3}$, $v_{rms1}=503\text{ m/s}$, $v_{rms2}=485\text{ m/s}$

1. Energía interna por molécula — Para un gas monoatómico, cada molécula tiene una energía cinética promedio de $\frac{3}{2}{k}_{B}T$ debido a sus 3 grados de libertad de traslación.
   $$u=\frac{3}{2}{k}_{B}T$$
2. Energía interna total — La energía interna total es la suma de las energías de todas las moléculas: $U=Nu=N\frac{3}{2}{k}_{B}T$.
   $$U=N\frac{3}{2}{k}_{B}T$$
3. Presión en términos de energía cinética — La presión ejercida por un gas ideal se relaciona con la energía cinética promedio de sus moléculas mediante $P=\frac{2}{3}\frac{N}{V}⟨E_k⟩$.
   $$P=\frac{2}{3}\frac{N}{V}⟨E_k⟩=\frac{2}{3}\frac{N}{V}\frac{3}{2}{k}_{B}T=\frac{N{k}_{B}T}{V}$$
4. Combinación de expresiones — Despeja $N{k}_{B}T$ de la ecuación de presión y sustitúyela en la expresión de la energía interna.
   $$N{k}_{B}T=\frac{3}{2}PV\Rightarrow U=\frac{3}{2}PV$$

$$U=\frac{3}{2}PV$$

→ Se demuestra que $U=\frac{3}{2}PV$ para un gas ideal monoatómico en equilibrio termodinámico.