Domina la Mecánica Estadística con Ejercicios Prácticos enVenezu

1. Conversión de temperatura — Primero convierte la temperatura de grados Celsius a Kelvin. La temperatura ambiente de 25°C equivale a 298.15 K.
   $$T=25+273.15=298.15\text{ K}$$
2. Aplicación de la fórmula — Aplica la fórmula de la energía cinética promedio para un gas ideal monoatómico, donde $k_B$ es la constante de Boltzmann.
   $$⟨E_k⟩=\frac{3}{2}{k}_{B}T$$
3. Cálculo final — Sustituye los valores conocidos y realiza el cálculo aritmético para obtener la energía cinética promedio por molécula.
   $$⟨E_k⟩=\frac{3}{2}\times 1.38\times {10}^{-23}\times 298.15=6.17\times {10}^{-21}\text{ J}$$

$$6.17\times {10}^{-21}\text{ J}$$

→ La energía cinética promedio de cada molécula de aire en el aula es aproximadamente $6.17\times {10}^{-21}$ julios.

1. Conversión de temperatura — Convierte la temperatura de 30°C a Kelvin para usar en la fórmula.
   $$T=30+273.15=303.15\text{ K}$$
2. Ecuación de los gases ideales — Usa la forma microscópica de la ecuación de los gases ideales que relaciona presión, volumen, número de moléculas, constante de Boltzmann y temperatura.
   $$P=\frac{N{k}_{B}T}{V}$$
3. Cálculo de la presión — Sustituye los valores conocidos y calcula la presión en pascales.
   $$P=\frac{3\times {10}^{27}\times 1.38\times {10}^{-23}\times 303.15}{120}=1.04\times {10}^5\text{ Pa}$$

$$1.04\times {10}^5\text{ Pa}$$

→ La presión del aire dentro del vagón del Metro de Caracas es aproximadamente $1.04\times {10}^5$ pascales.

1. Cálculo de la energía total — Calcula la energía total liberada al consumir todas las arepas. Considera que cada arepa aporta aproximadamente 250 kcal (1 kcal = 4184 J).
   $$Q=500\times 250\times 4184=5.23\times {10}^8\text{ J}$$
2. Conversión de temperatura — Convierte la temperatura corporal de Celsius a Kelvin para usar en la fórmula de entropía.
   $$T=37+273.15=310.15\text{ K}$$
3. Cálculo del cambio de entropía — Aplica la fórmula del cambio de entropía para un proceso isotérmico: $\mathrm{\Delta }S=\frac{Q}{T}$.
   $$\mathrm{\Delta }S=\frac{5.23\times {10}^8}{310.15}=1.69\times {10}^6\text{ J/K}$$

$$1.69\times {10}^6\text{ J/K}$$

→ El cambio de entropía total al consumir las 500 arepas es aproximadamente $1.69\times {10}^6$ julios por kelvin.

1. Conversión de unidades — Convierte la temperatura a Kelvin y la masa molar a kg/mol para trabajar en unidades del SI.
   $$T=15+273.15=288.15\text{ K},M=29\times {10}^{-3}\text{ kg/mol}$$
2. Cálculo de la constante de los gases — Calcula el valor de la constante de los gases ideales $R=k_B{N}_A$.
   $$R=1.38\times {10}^{-23}\times 6.02\times {10}^{23}=8.314\text{ J/(mol·K)}$$
3. Cálculo del exponente — Calcula el valor del exponente en la distribución de Boltzmann: $\frac{Mgh}{RT}$.
   $$\frac{Mgh}{RT}=\frac{29\times {10}^{-3}\times 9.8\times 3165}{8.314\times 288.15}=3.72$$
4. Cálculo de la densidad final — Aplica la distribución de Boltzmann para encontrar la densidad molecular en Pico Espejo.
   $$n_h=2.5\times {10}^{25}\times \exp (-3.72)=2.5\times {10}^{25}\times 0.024=6.0\times {10}^{23}{\text{ m}}^{-3}$$

$$6.0\times {10}^{23}{\text{ m}}^{-3}$$

→ La densidad molecular del aire en Pico Espejo es aproximadamente $6.0\times {10}^{23}$ moléculas por metro cúbico.

1. Cálculo de la masa de aire — Calcula la masa total de aire dentro del autobús usando la densidad y el volumen.
   $$m=\rho V=1.2\times 12=14.4\text{ kg}$$
2. Energía térmica emitida — Calcula la energía total emitida por los 30 pasajeros adicionales durante 15 minutos.
   $$Q=30\times 100\times (15\times 60)=2.7\times {10}^6\text{ J}$$
3. Cambio de temperatura — Usa la capacidad calorífica para calcular el cambio de temperatura del aire en el autobús.
   $$\mathrm{\Delta }T=\frac{Q}{m{C}_v}=\frac{2.7\times {10}^6}{14.4\times 1005}=186.6\text{ K}$$
4. Temperatura final — Suma el cambio de temperatura a la temperatura inicial para obtener la temperatura final.
   $$T_{final}=22+186.6=208.6°\text{C}$$

$$209°\text{C}$$

→ La temperatura del aire en el autobús aumentaría aproximadamente $187°\text{C}$, alcanzando $209°\text{C}$ si no hubiera disipación de calor.

1. Cálculo del número de moles — Calcula el número de moles de agua en el vaso de café usando la masa y la masa molar del agua.
   $$n=\frac{m}{M}=\frac{200\text{ g}}{18\text{ g/mol}}=11.11\text{ mol}$$
2. Capacidad calorífica total — Calcula la capacidad calorífica total del café a volumen constante.
   $$C_V=n\times C_{V,molar}=11.11\times 75.3=836.6\text{ J/K}$$
3. Temperatura promedio — Usa la temperatura promedio entre el café y el ambiente para calcular la fluctuación típica de energía.
   $$T=\frac{70+25}{2}+273.15=330.65\text{ K}$$
4. Cálculo de la fluctuación — Aplica la fórmula de la fluctuación típica de energía usando la capacidad calorífica y la temperatura.
   $$\mathrm{\Delta }E=\sqrt{k_B{T}^2{C}_V}=\sqrt{1.38\times {10}^{-23}\times {(330.65)}^2\times 836.6}=1.87\times {10}^{-7}\text{ J}$$

$$1.87\times {10}^{-7}\text{ J}$$

→ La fluctuación típica de la energía interna del café debido a las colisiones moleculares es aproximadamente $1.87\times {10}^{-7}$ julios.

1. Energía no suministrada por año — Calcula la energía que no se suministra debido a la ineficiencia del sistema eléctrico en un año completo.
   $$E_{no\_suministrada}=3000\times (1-0.85)\times 8760=3.94\times {10}^6\text{ MWh}=3.94\times {10}^9\text{ kWh}$$
2. Costo total de la energía no suministrada — Calcula el costo económico total de la energía no suministrada usando el valor por kWh.
   $$Cost{o}_{total}=3.94\times {10}^9\times 1200=4.73\times {10}^{12}\text{ VES}$$
3. Cálculo de la entropía económica — Usa la temperatura de referencia de 300 K para calcular la entropía económica generada por esta ineficiencia.
   $$\mathrm{\Delta }{S}_{econ\acute{o}mica}=\frac{4.73\times {10}^{12}}{300}=1.58\times {10}^{10}\text{ VES/K}$$

$$1.58\times {10}^{10}\text{ VES/K}$$

→ La entropía económica generada por la ineficiencia del sistema eléctrico de Caracas en un año es aproximadamente $1.58\times {10}^{10}$ VES por kelvin.

1. Distribución de energías — Escribe la distribución de Boltzmann para la energía cinética de las moléculas: $f(E)\propto \exp (-\frac{E}{k_{B}T})$.
   $$f(E)\propto \exp (-\frac{E}{k_{B}T})$$
2. Energía cinética en términos de velocidad — Expresa la energía cinética en términos de la velocidad molecular: $E=\frac{1}{2}m{v}^2$.
   $$E=\frac{1}{2}m{v}^2$$
3. Espacio de velocidades tridimensional — Considera el número de estados con velocidad entre $v$ y $v+dv$ en un espacio tridimensional. El volumen de una cáscara esférica es $4\pi v^{2}dv$.
   $$dN\propto 4\pi v^{2}dv$$
4. Distribución de velocidades — Combina la distribución de energías con el número de estados en el espacio de velocidades para obtener la distribución de Maxwell-Boltzmann.
   $$f(v)dv\propto v^2\exp (-\frac{m{v}^2}{2k_{B}T})dv$$

$$f(v)\propto v^2\exp (-\frac{m{v}^2}{2k_{B}T})$$

→ La distribución de velocidades de las moléculas en equilibrio térmico sigue la ley $f(v)\propto v^2\exp (-\frac{m{v}^2}{2k_{B}T})$, conocida como distribución de Maxwell-Boltzmann.

1. Cálculo del parámetro de Poisson — Calcula el parámetro $\lambda t$ que representa el número esperado de llegadas en 5 minutos.
   $$\lambda t=20\times 5=100$$
2. Aproximación normal — Para valores grandes de $\lambda t$, la distribución de Poisson puede aproximarse por una distribución normal con media $\mu =\lambda t$ y desviación estándar $\sigma =\sqrt{\lambda t}$.
   $$\mu =100,\sigma =\sqrt{100}=10$$
3. Cálculo de la probabilidad — Usa la distribución normal para calcular la probabilidad de que haya más de 100 estudiantes. Aplica la corrección de continuidad para mayor precisión.
   $$P(n>100)=1-P(n\le 100)\approx 1-\mathrm{\Phi }\left(\frac{100.5-100}{10}\right)=1-\mathrm{\Phi }(0.05)=0.4801$$

$$0.48$$

→ La probabilidad de que haya más de 100 estudiantes esperando cuando llegue el bus es aproximadamente 48%.